Свободные колебания системы с двумя степенями свободы. Малые свободные колебания системы с двумя степенями свободы Переход к главным координатам

Колебания системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные практические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свободы рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особенностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями свободы.

Пусть положение системы определяется обобщенными координатами и при система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:

где инерционные коэффициенты и квазиупругие коэффициенты - величины постоянные. Если воспользоваться двумя уравнениями Лагранжа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы

Будем искать решение уравнений (145) в виде:

где A, B, k, a - постоянные величины. Подставив эти значения в уравнения (145) и сократив на получим

Чтобы уравнения (147) давали для А и В решения, отличные от иуля, определитель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при A и В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.

Отсюда для определения получаем следующее уравнение, называемое уравнением частот.

Корни этого уравнения вещественны и положительны; это доказывается математически, но может быть обосновано и тем, что иначе не будут вещественны уравнения (145) не будут иметь решений вида (146), чего для системы, находящейся в устойчивом равновесии, быть не может (после возмущений она должна двигаться вблизи положения

Определив нз (149) , найдем две совокупности частных решений вида (146). Если учесть, что согласно эти решения будут:

где и - значения, которые я получает из (148) при и соответственно.

Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты и кг - собственными частотами системы. При этом, колебание с частотой (всегда меныией) называют первым главным колебанием, а с частотой - вторым главным колебанием. Числа определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. ) в каждом из этих колебаний, называют коэффициентами формы.

Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений (150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных определяемых по начальным условиям, дают общее решение уравнений (145) и определяют закон малых колебаний системы. колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если ) и колебание будет гармоническим.

Собственные частоты и коэффициенты формы не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками малых колебаний системы; решение конкретных задач обычно сводится к определению этих характеристик.

Сопоставляя результаты этого и предыдущего параграфов, можно получить представление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы. Мы этого рассматривать не будем, отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы может возникать дважды: при и при ( - частота возмущающей силы). Наконец, отметим, что колебания системы с s степенями свободы будут слагаться из s колебаний с частотами которые должны определяться из уравнения степени s относительно Это связано со значительными математическими трудностями, преодолеть которые можно с помощью электронных вычислительных (или аналоговых) машин.

Задача 185. Определить собственные частоты и коэффициенты формы малых колебаний двойного физического маятника, образованного стержнями и 2 одинаковой массы и длины l (рис. 374, а).

Решение. Выберем в качестве обобщенных координат малые углы . Тогда , где и, при требуемой точности подсчетов, . В итоге

В частном случае системы с двумя степенями свободы квадратичные формы Т, П, Ф будут соответственно равны

а дифференциальные уравнения малых колебаний примут вид

Рассмотрим свободные колебания консервативной системы. В этом случае

и дифференциальные уравнения принимают вид:

Начальные условия для имеют вид:

В силу положительной определенности квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлетворяют соотношениям

а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов

являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы.

Коэффициенты и , связывающие в уравнениях (4.5) обобщенные координаты и , называют соответственно коэффициентами инерционной и упругой связи. Если в колебательной системе коэффициент , ее называют системой с упругой связью, а если – системой с инерционной связью.

Парциальной системой, соответствующей обобщенной координате , называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат, кроме . Парциальными частотами называют собственные частоты парциальных систем:

Поскольку уравнения (4.5) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решение в виде

где – пока неопределенные величины.

Подставив (4.8) в (4.5) и приравняв коэффициенты при синусах, получим однородную алгебраическую систему относительно и :

Для того, чтобы однородная алгебраическая система (4.9) имела ненулевое решение, она должна быть вырожденной, т.е. ее определитель должен равняться нулю:

Следовательно, решение (4.7) будет иметь смысл только при тех значениях , которые удовлетворяют условию (4.9). Раскрывая (4.10), получаем

Уравнение, представленное в форме (4.10), (4.11) или (4.12) называют частотным. Как видно из (4.12) частотное уравнение – биквадратное уравнение. Найденные из (4.10)–(4.12) значения называют собственными частотами колебаний системы.

Исследование корней частотного уравнения позволяет сделать следующие выводы:

1) если положение равновесия устойчивое, то оба корня частотного уравнения положительны;

2) первая собственная частота системы всегда меньше меньшей парциальной частоты, а вторая – больше большей парциальной частоты.

Для колебательных систем с упругой связью ( = 0) справедливо равенство

Запишем два частных независимых решения, соответствующих частотам и , в виде

где вторая цифра в индексе соответствует номеру частоты, или номеру тона колебаний.

Константы не являются независимыми, так как система (4.9) вырожденная. Коэффициенты связаны между собой соотношениями

Где . (4.15)

Где . (4.16)

С учетом (4.15) и (4.16) частные решения (4.14) будут иметь вид

Колебания, уравнения которых имеют вид (4.17) называют главными колебаниями. Они представляют собой гармонические колебания с частотами и соответственно. Коэффициенты называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют отношение амплитуд в главных колебаниях или форму главных колебаний.

Коэффициенты распределения амплитуд и, следовательно, формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы и не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют, так же как и частоты, собственными формами колебаний при колебаниях по соответствующему тону.

Общее решение системы уравнений (4.5) может быть представлено как сумма найденных частных решений (4.17)

Общее решение содержит четыре неопределенные постоянные , которые должны определяться из начальных условий (4.6).

При произвольных начальных условиях обе константы и отличны от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму гармонических колебаний с частотами и . А такие колебания являются не только не гармоническими, но в общем случае и не периодическими.

Рассмотрим случай свободных колебаний системы, когда собственные частоты колебаний системы и мало отличаются друг от друга:

Обозначим разность аргументов синусов в общем решении (4.18) уравнений свободных колебаний

При величина , а с возрастанием времени эта зависимость из-за малости увеличивается очень медленно. Тогда

С учетом последнего равенства, общее решение уравнений свободных колебаний (4.18) может быть записано в виде:

В этих уравнениях

Так как выражения (4.21) зависят от и , а угол медленно изменяется с изменением времени, то рассматриваемые колебания (4.20) будут колебаниями с периодически изменяющейся амплитудой. Период изменения амплитуды в этом случае значительно больше периода колебаний (рис. 4.1). Если коэффициенты распределения амплитуд и имеют разные знаки, то максимуму соответствует минимум и наоборот. При усилении первого главного колебания интенсивность второго главного колебания уменьшается и наоборот, то есть энергия движения системы периодически оказывается как бы сосредоточенной то в одном, то в другом звене этой вибрирующей системы. Такое явление называют биением.

Возможен другой подход к решению задачи о свободных колебаниях системы – найти какие-то новые обобщенные координаты и называемые нормальными или главными , для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и гармоническим.

Зависимость между обобщенными координатами и , выбранными произвольно, и главными координатами и можно выразить так:

где и – коэффициенты распределения амплитуд (коэффициенты формы). Можно показать, что переход от исходных координат к главным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергии к каноническому виду:

Подставив полученные для и выражения (4.23) в уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний системы в главных координатах: . Выражения кинетической и потенциальной энергии будут иметь канонический вид: и

Из уравнений движения консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия

в случае двух степеней свободы имеем:

(1)

(Согласно критерию Сильвестра:

(1) система дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия . Ее решение ищется в виде:

(2)

Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнений малых колебаний дает:

(3)

Относительно A и B это система однородных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равен нулю:

(4)

Это биквадратное уравнение называется уравнением частот, оно имеет два положительных корня , которым соответствуют два решения системы дифференциальных уравнений малых колебаний:

Таким образом, каждая обобщенная координата находится как сумма двух колебаний разной частоты, которые называются главными колебанииями . При этом, как следует из системы (3), амплитуды главных колебаний связаны между собой следующим образом:

(5)

где - коэффициенты формы главных колебаний.

В итоге решение уравнений свободных колебаний (1) окончательно принимает вид:

(6)

Входящие в(6) амплитуды , и начальные фазы , колебаний определяются из начальных условий.

Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Динамический гаситель колебаний

Исключение нежелательных колебаний в механических системах называется виброзащитой (демпфированием). Используемые при этом технические устройства называются виброгасителями (демпферами).

Принцип работы динамического гасителя основан на использовании явления антирезонанса, когда действие периодически изменяющейся возмущающей обобщенной силы соответствующей одной координате, нейтрализуется действием потенциальной обобщенной силы, соответствующей другой координате.

Пусть к механической системе помимо консервативных сил приложена возмущающая сила, которая изменяется с течением времени по гармоническому закону

Дифференциальные уравнения движения механической системы в этом случае имеют вид:

Общее решение системы линейных дифференциальных неоднородных(в данном случае) уравнений ищем как сумму двух решений: ,- общее решение системы однородных дифференциальных уравнений; -частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.

С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное решение ищется в виде

Подстановка его в систему дифференциальных уравнений дает:

Решая эту систему по правилу Крамера, получим

Поскольку совпадает с левой частью уравнения частот и обращается в ноль

при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных

колебаний или Коэффициенты A и B при этом обращаются в бесконечность. Таким образом, в случае колебаний системы с двумя степенями свободы существуют две резонансные частоты

Общее решение системы дифференциальных уравнений вынужденных

колебаний при имеет вид:

Как видно, за счет выбора параметров колеблющейся системы можно добиться, например, выполнения условия А =0, т. е. амплитуда вынужденных колебаний, соответствующих первой обобщенной координате, обращается в ноль.

Такое явление и называется антирезонансом.

В рассматриваемом случае это имеет место, если

Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара

Явление, при котором за малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости точек материальных объектов изменяются на конечные величины, называется ударом .

Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за весьма малый промежуток времени, то при этом возникают очень большие ускорения, а, следовательно, и очень большие силы. Эти силы действуют в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами.

Силы, возникающие при ударе в течение малого промежутка времени, но достигающие при этом большой величины, так что их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами, называются ударными силами .

Малый промежуток времени, в течение которого длится удар, называется временем удара. Импульсы ударных сил за время удара называются ударными импульсами .

Пусть дана МТ массы m, которая движется под действием обычной (неударной) силы . В момент , когда рассматриваемая МТ имеет скорость – скорость до удара, на нее начинает действовать ударная сила , действие которой прекращается в момент . Определим движение МТ под действием сил и за время удара .

Применяя теорему об изменении количества движения точки, получим:

,

где – скорость точки в момент после удара.

По теореме о среднем значении определенного интеграла можно написать:

,

где и есть средние значения сил и в некоторый промежуток времени. При этом является конечной величиной; ударная сила за время удара достигает весьма большой величины (порядка ). Поэтому произведение будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением , являющимся величиной конечной.

Теория свободных колебаний систем с несколькими степенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены в § 21 одномерные колебания.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат , имеет минимум при . Вводя малые смещения

и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты и входят в (23,2) умноженными на одну и ту же величину , то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам

В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид

(см. (5,5)), полагаем в коэффициентах и, обозначая постоянные посредством , получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, a k на i; учитывая при этом симметричность коэффициентов , получим:

Отсюда видно, что

Поэтому уравнения Лагранжа

(23,5)

Они представляют собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций в виде

где - некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (23,6) в систему (23,5), получаем по сокращении на систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные :

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель

Уравнение (23.8) - так называемое характеристическое уравнение представляет собой уравнение степени s относительно Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины называются собственными частотами системы.

Вещественность и положительность корней уравнения (23,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у со мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат (23,6) (а с ними и скоростей ) экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии системы в противоречии с законом ее сохранения.

В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (23,7) на и просуммировав затем по получим:

Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов и , действительно,

Они также существенно положительны, а потому положительно

После того как частоты найдены, подставляя каждое из них в уравнения (23,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Если все корни характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты А пропорциональны минорам определителя (23,8), в котором и заменена соответствующим значением обозначим эти миноры через До. Частное решение системы дифференциальных уравнений (23,5) имеет, следовательно, вид

где - произвольная (комплексная) постоянная.

Общее же решение даетбя суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде

где мы ввели обозначение

(23,10)

Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собрй наложение s простых периодических колебаний с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (23,9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая s соотношений (23,9) как систему уравнений с s неизвестными величинами мы можем, разрешив эту систему, выразить величины через координаты . Следовательно, величины можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания - нормальными колебаниями системы.

Нормальные координаты удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям

(23,11)

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.

Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот т. е. имеет вид

(23,12)

где - положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (23,9) обе квадратичные формы - кинетическая энергия (23,3) и потенциальная (23,2) одновременно приводятся к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь ) равенствами

Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (23,9), (23,10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.

Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ) входят в виде одинаково преобразующихся сумм то их можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.

Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, z, а кинетическая энергия

(m - масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда

и колебания вдоль осей х, у, z являются главными с частотами

В частном случае центрально-симметричного поля эти три частоты совпадают (см. задачу 3).

Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид

(23,15)

где лагранжева функция свободных колебаний.

Вводя вместо координат нормальные координаты, получим:

где введено обозначение

Соответственно уравнения движения

(23.17)

Задачи

1. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если ее функция Лагранжа

Как известно, тело, ничем не ограниченное в движениях, называется свободным, так как может двигаться в любом направлении. Отсюда, каждое свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы движения. Оно обладает возможностью производить следующие перемещения: три перемещения поступательного характера, соответственно трем основным системам координат, и три вращательных движения вокруг этих трех координатных осей.

Наложение связей (закрепление) уменьшает количество степеней свободы. Так, если тело в одной своей точке закреплено, оно не может производить перемещение вдоль координатных осей, его движения ограничиваются лишь вращением вокруг этих осей, т.е. тело имеет три степени свободы. В том случае, когда закрепленными являются две точки, тело обладает только одной степенью свободы, оно может лишь вращаться вокруг линии (оси), проходящей через обе эти точки. И наконец, при трех закрепленных точках, не лежащих на одной линии, количество степеней свободы равно нулю, и никаких движений тела быть не может. У человека пассивный аппарат движения составляют части его тела, называемые звеньями. Все они соединены между собой, поэтому теряют возможность к трем видам движений вдоль координатных осей. У них остаются только возможности вращения вокруг этих осей. Таким образом, максимальное количество степеней свободы, которым может обладать одно звено тела по отношению к другому звену, смежному с ним, равняется трем.

Это относится к наиболее подвижным суставам человеческого тела, имеющим шаровидную форму.

Последовательно или разветвленные соединения частей тела (звеньев) образуют кинематические цепи.

У человека различают:

• - открытые кинематические цепи , имеющие свободный подвижный конец, закрепленный лишь на одном своем конце (например, рука по отношению к туловищу);
• - замкнутые кинематические цепи , закрепленные на обоих концах (например, позвонок - ребро - грудина - ребро - позвонок).

Следует отметить, что это касается потенциально возможных размахов движений в суставах. В действительности же у живого человека эти показатели всегда меньше, что доказано многочисленными работами отечественных исследователей - П. Ф. Лесгафтом, М. Ф. Иваницким, М. Г. Привесом, Н. Г. Озолиным и др. На величину подвижности в соединениях костей у живого человека влияет ряд факторов, связанных с возрастом, полом, индивидуальными особенностями, функциональным состоянием нервной системы, степенью растяжения мышц, температурой окружающей среды, временем дня и, наконец, что важно для спортсменов, степенью тренированности. Так, во всех соединениях костей (прерывных и непрерывных) степень подвижности у лиц молодого возраста больше, чем у старшего возраста; у женщин в среднем больше, чем у мужчин. На величину подвижности оказывает влияние степень растяжения тех мышц, которые находятся на стороне, противоположной движению, а также сила мышц, производящих данное движение. Чем эластичнее первые из названных мышц и сильнее вторые, тем размах движений в данном соединении костей больше, и наоборот. Известно, что в холодном помещении движения имеют меньший размах, чем в теплом, утром они меньше, чем вечером. Применение различных упражнений по-разному влияет на подвижность соединений. Так, систематические тренировки упражнениями «на гибкость» увеличивают амплитуду движений в соединениях, тогда как «силовые» упражнения, наоборот, уменьшают ее, приводя, к «закрепощению» суставов. Однако уменьшение амплитуды движений в суставах при применении силовых упражнений не является абсолютно неизбежным. Его можно предотвратить правильным сочетанием силовых упражнений с упражнениями на растяжение тех же самых мышечных групп.

В открытых кинематических цепях человеческого тела подвижность исчисляется десятками степеней свободы. Например, подвижность запястья относительно лопатки и подвижность предплюсны относительно таза насчитывает по семь степеней свободы, а кончики пальцев кисти относительно грудной клетки - 16 степеней свободы. Если суммировать все степени свободы конечностей и головы относительно туловища, то это выразится числом 105, слагающимся из следующих позиций:

• - голова - 3 степени свободы;
• - руки - 14 степеней свободы;
• - ноги - 12 степеней свободы;
• - кисти и стопы - 76 степеней свободы.

Для сравнения укажем, что преобладающее большинство машин обладает всего одной степенью свободы движений.

В шаровидных суставах возможны вращения около трех взаимно перпендикулярных осей. Общее же количество осей, около которых возможны в этих суставах вращения, до бесконечности велико. Следовательно, относительно шаровидных суставов можно сказать, что сочленяющиеся в них звенья из возможных шести степеней свободы движений имеют три степени свободы и три степени связанности.

Меньшей подвижностью обладают суставы с двумя степенями свободы движений и четырьмя степенями связанности. К ним относятся суставы яйцевидной или эллипсовидной и седловиной форм, т.е. двухосные. В них возможны движения вокруг этих двух осей.

Одну степень свободы подвижности и вместе с этим пять степеней связанности имеют звенья тела в тех суставах, которые обладают одной осью вращения, т.е. имеют две закрепленные точки.

В преобладающей части суставов тела человека две или три степени свободы. При нескольких степенях свободы движений (двух или более) возможно бесчисленное множество траекторий. Соединения костей черепа имеют шесть степеней связанности и являются неподвижными. Соединение костей при помощи хрящей и связок (синхондрозы и синдесмозы) могут иметь в некоторых случаях значительную подвижность, которая зависит от эластичности и от размеров хрящевых или соединительнотканных образований, находящихся между данными костями.