Первообразная функции 3 x. Лекция "Первообразная. Понятие первообразной. Основное свойство первообразной функции" (11-й класс). Задачи для самостоятельного решения

Определение 1. Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F (x ) дифференцируема и выполняется равенство F "(x ) = f (x ).

Пример 1. Функция F (x ) = sin x является первообразной функции f (x ) = cos x на бесконечном промежутке (– ¥; +¥), так как

F ’(x ) = (sin x ) " = cos x = f (x ) для x Î (– ¥;+¥).

Нетрудно убедиться, что функции F 1 (x ) = sin x + 5 и F 2 (x ) = sin x – 10 также являются первообразными функции f (x ) = cos x для всех (– ¥;+¥), т.е. если для функции f (x ) на некотором промежутке существует первообразная функции, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f (x ) есть множество, которое задаётся формулой F (x ) + C , где C – любая постоянная величина.

Теорема 1 (об общем виде первообразной). Пусть F (x ) – одна из первообразных для функции f (x ) на интервале (a ;b ). Тогда любая другая первообразная для функции f (x ) на интервале (a ;b ) представлена в видеF (x ) + C , где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F (x ) + C также является первообразной для функции f (x ) на интервале (a ;b ).

По условию теоремы F (x ) на интервале (a ;b f (x ), поэтому выполняется равенство:

F "(x ) = f (x ) при любом x Î (a ;b ).

Так как С – некоторое число, то

(F (x ) + С ) " = F "(x )+С " = F "(x ) + 0 = f (x ).

Отсюда следует: (F (x ) + С)" = f (x ) при любом x Î (a ;b ), а значит F (x ) + С на интервале (a ;b ) является первообразной для функции f (x ).

Во-вторых, проверим, что если F (x ) и Ф(x ) – две первообразные для функции f (x ) на интервале (a ;b ), то они различаются между собой на постоянную величину, т.е. F (x ) – Ф(x ) = const.

Обозначим j(x ) = F (x ) – Ф(x ). Так как по предположению функции F (x ) и Ф(x ) первообразные на интервале (a ;b ) для функции f (x ), то выполняются равенства: F "(x ) = f (x ) и Ф"(x ) = f (x ) при любом x Î (a ;b ). Следовательно, j"(x ) = F "(x ) – Ф" (x ) = f (x ) – f (x ) = 0 при любом x Î (a ;b ).

Функция j(x ) непрерывна и дифференцируема при x Î (a ;b ). Значит, на любом отрезке [x 1 ; x 2 ] Ì (a ; b ) функция j(x ) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î(x 1 ; x 2), для которой выполняется равенство:

j(x 2) – j(x 1) = j" ()× (x 2 – x 1) = 0×(x 2 – x 1) = 0

Þ j(x 2) – j(x 1) = 0 Þ j(x 2) = j(x 1) Þ j(x ) = const.

Значит, F (x ) – Ф(x ) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F (x ) для функции f (x ) на интервале (a ;b ), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F (x ) + С , где С – произвольная постоянная величина. Такая форма записи первообразных носит название общего вида первообразной .

Понятие неопределённого интеграла

Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f (x ) на интервале (a ;b ) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

В обозначении знак называется знаком интеграла , – подынтегральным выражением , – подынтегральной функцией , – переменной интегрирования .

Теорема 2. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке (a ;b ), то она имеет на промежутке (a ;b ) первообразную и неопределённый интеграл.

Замечание. Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции f (x ) на некотором промежутке носит название интегрирования функции f (x ).

Свойства неопределённого интеграла

Из определений первообразной F (x ) и неопределённого интеграла от данной функции f (x ) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого интеграла:

1. .

2. .

3. , где С – произвольная постоянная.

4. , где k = const.

Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.

Таблица основных неопределённых интегралов

Действие интегрирования является обратным действию дифференцирования, т.е. по заданной производной функции f (x ) надо восстановить начальную функцию F (x ). Тогда из определения 2 и таблицы производных (см. §4, п. 3, с. 24) получается таблица основных интегралов .

3. .

4. .

Документ

Некотором промежутке Х. Если для любого хХ F"(x) = f(x), то функция F называется первообразной для функции f на промежутке Х. Первообразную для функции можно попытаться найти...

  • Первообразной для функции

    Документ

    ... . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x). Например, для функции x2 первообразной будет функция x3 ...

  • Основы интегрального исчисления Учебное пособие

    Учебное пособие

    ... ; 5. Найти интеграл. ; B) ; C) ; D) ; 6. Функция называется первообразной к функции на множестве, если: для всех; в некоторой точке; для всех; в некоторой... интервалом. Определение 1. Функция называется первообразной для функции на множестве, ...

  • Первообразная Неопределённый интеграл

    Документ

    Интегрирования. Первообразная . Непрерывная функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X , если для каждого F’ (x) = f (x). П р и м е р. Функция F (x) = x 3 является первообразной для функции f (x) = 3x ...

  • СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (С ПРОГРАММОЙ) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

    Методические указания

    Вопросы для самопроверки Дайте определение первообразной функции . Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций . Что называется неопределенным...

    • Первообразная

    Определение первообразной функции

    • Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

    Можно прочесть двумя способами:

    1. f производная функции F
    2. F первообразная для функции f

    Свойство первообразных

    • Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.

    Геометрическая интерпретация

    • Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .

    Правила вычисления первообразных

    1. Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
    2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
    3. Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .

    Запомни!

    Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .

    • Например:

      F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

      f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);

      f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);

    Связь между графиками функции и ее первообразной:

    1. Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
    2. Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
    3. Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

    Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

    Неопределенный интеграл

    Определение :

    • Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
    • f(x) - называют подынтегральной функцией;
    • f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
    • x - называют переменной интегрирования;
    • F(x) - одна из первообразных функции f(x);
    • С - произвольная постоянная.

    Свойства неопределённого интеграла

    1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
    2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
    3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
    4. Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .

    Таблица первообразных и неопределенных интегралов

    Функция

    f(x)

    Первообразная

    F(x) + C

    Неопределенные интегралы

    \int f(x) dx = F(x) + C

    0 C \int 0 dx = C
    f(x) = k F(x) = kx + C \int kdx = kx + C
    f(x) = x^m, m\not =-1 F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C \int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C
    f(x) = \frac{1}{x} F(x) = l n \lvert x \rvert + C \int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C
    f(x) = e^x F(x) = e^x + C \int e{^x }dx = e^x + C
    f(x) = a^x F(x) = \frac{a^x}{l na} + C \int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C
    f(x) = \sin x F(x) = -\cos x + C \int \sin x dx = -\cos x + C
    f(x) = \cos x F(x) =\sin x + C \int \cos x dx = \sin x + C
    f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x} F(x) = -\ctg x + C \int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C
    f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x} F(x) = \tg x + C \int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C
    f(x) = \sqrt{x} F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C
    f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}} F(x) =2\sqrt{x} + C
    f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} F(x)=\arcsin x + C \int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C
    f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}} F(x)=\arctg x + C \int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C
    f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}} F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C
    f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}} F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C
    f(x) =\frac{1}{ 1+x^2} F(x)=\arctg + C \int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C
    f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0) F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C \int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C
    f(x)=\tg x F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
    f(x)=\ctg x F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
    f(x)=\frac{1}{\sin x} F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C \int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C
    f(x)=\frac{1}{\cos x} F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C \int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C


    Формула Ньютона–Лейбница

    Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

    \int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

    где F(x) - первообразная для f(x)

    То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .

    Площадь криволинейной трапеции

    Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .

    Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

    S= \int_{a}^{b} f(x) dx

    Урок и презентация на тему: "Первообразная функция. График функции"

    Дополнительные материалы
    Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

    Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
    Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
    "Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов"

    Первообразная функция. Введение

    Ребята, вы умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня мы будем изучать операцию, обратную вычислению производной. Понятие производной часто применяется в реальной жизни. Напомню: производная – это скорость изменения функции в конкретной точке. Процессы, связанные с движением и скоростью, хорошо описываются в этих терминах.

    Давайте рассмотрим вот такую задачу: "Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой $V=gt$. Требуется восстановить закон движения.
    Решение.
    Мы хорошо знаем формулу: $S"=v(t)$, где S - закон движения.
    Наша задача сводится к поиску функции $S=S(t)$, производная которой равна $gt$. Посмотрев внимательно, можно догадаться, что $S(t)=\frac{g*t^2}{2}$.
    Проверим правильность решения этой задачи: $S"(t)=(\frac{g*t^2}{2})"=\frac{g}{2}*2t=g*t$.
    Зная производную функции, мы нашли саму функцию, то есть выполнили обратную операцию.
    Но стоит обратить внимание вот на такой момент. Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число (константу), то значение производной не изменится: $S(t)=\frac{g*t^2}{2}+c,c=const$.
    $S"(t)=(\frac{g*t^2}{2})"+c"=g*t+0=g*t$.

    Ребята, обратите внимание: наша задача имеет бесконечное множество решений!
    Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.

    Как называется такая операция?
    Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.
    Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.
    Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.
    Первообразную принято записывать большой буквой $y=F"(x)=f(x)$.

    Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.

    Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить.

    В нашей таблице никаких начальных условий задано не было. Значит к каждому выражению в правой части таблицы следует прибавить константу. Позже мы уточним это правило.

    Правила нахождения первообразных

    Давайте запишем несколько правил, которые нам помогут при нахождении первообразных. Все они похожи на правила дифференцирования.

    Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

    Пример.
    Найти первообразную для функции $y=4x^3+cos(x)$.
    Решение.
    Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.
    $f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
    $f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
    Тогда первообразной исходной функции будет: $y=x^4+sin(x)$ или любая функция вида $y=x^4+sin(x)+C$.

    Правило 2. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, то $k*F(x)$ – первообразная для функции $k*f(x)$. (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию).

    Пример.
    Найти первообразные функций:
    а) $y=8sin(x)$.
    б) $y=-\frac{2}{3}cos(x)$.
    в) $y={3x}^2+4x+5$.
    Решение.
    а) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=-8cos(x)$.

    Б) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=-\frac{2}{3}sin(x)$.

    В) Первообразной для $x^2$ служит $\frac{x^3}{3}$. Первообразной для x служит $\frac{x^2}{2}$. Первообразной для 1 служит x. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=3*\frac{x^3}{3}+4*\frac{x^2}{2}+5*x=x^3+2x^2+5x$.

    Правило 3. Если $у=F(x)$ - первообразная для функции $y=f(x)$, то первообразная для функции $y=f(kx+m)$ служит функция $y=\frac{1}{k}*F(kx+m)$.

    Пример.
    Найти первообразные следующих функций:
    а) $y=cos(7x)$.
    б) $y=sin(\frac{x}{2})$.
    в) $y={-2x+3}^3$.
    г) $y=e^{\frac{2x+1}{5}}$.
    Решение.
    а) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная для функции $y=cos(7x)$ будет функция $y=\frac{1}{7}*sin(7x)=\frac{sin(7x)}{7}$.

    Б) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная для функции $y=sin(\frac{x}{2})$ будет функция $y=-\frac{1}{\frac{1}{2}}cos(\frac{x}{2})=-2cos(\frac{x}{2})$.

    В) Первообразной для $x^3$ служит $\frac{x^4}{4}$, тогда первообразная исходной функции $y=-\frac{1}{2}*\frac{{(-2x+3)}^4}{4}=-\frac{{(-2x+3)}^4}{8}$.

    Г) Слегка упростим выражение в степени $\frac{2x+1}{5}=\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}$.
    Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет $y=\frac{1}{\frac{2}{5}}e^{\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}}=\frac{5}{2}*e^{\frac{2x+1}{5}}$.

    Теорема. Если $у=F(x)$ - первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке Х, то у функции $y=f(x)$ бесконечно много первообразных, и все они имеют вид $у=F(x)+С$.

    Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, требовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С.
    Для функции $y=cos(7x)$ все первообразные имеют вид: $y=\frac{sin(7x)}{7}+C$.
    Для функции $y=(-2x+3)^3$ все первообразные имеют вид: $y=-\frac{{(-2x+3)}^4}{8}+C$.

    Пример.
    По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=-3sin(4t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75.
    Решение.
    Так как $v=S’(t)$, нам надо найти первообразную для заданной скорости.
    $S=-3*\frac{1}{4}(-cos(4t))+C=\frac{3}{4}cos(4t)+C$.
    В этой задаче дано дополнительное условие - начальный момент времени. Это значит, что $t=0$.
    $S(0)=\frac{3}{4}cos(4*0)+C=\frac{7}{4}$.
    $\frac{3}{4}cos(0)+C=\frac{7}{4}$.
    $\frac{3}{4}*1+C=\frac{7}{4}$.
    $C=1$.
    Тогда закон движения описывается формулой: $S=\frac{3}{4}cos(4t)+1$.

    Задачи для самостоятельного решения

    1. Найти первообразные функций:
    а) $y=-10sin(x)$.
    б) $y=\frac{5}{6}cos(x)$.
    в) $y={4x}^5+{3x}^2+5x$.
    2. Найти первообразные следующих функций:
    а) $y=cos(\frac{3}{4}x)$.
    б) $y=sin(8x)$.
    в) $y={(7x+4)}^4$.
    г) $y=e^{\frac{3x+1}{6}}$.
    3. По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=4cos(6t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 2.

    Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

    Изучаем понятие "интеграл"

    Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

    Неопределенный интеграл

    Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

    Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

    Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.


    Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

    Простой пример:

    Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

    Полная таблица интегралов для студентов


    Определенный интеграл

    Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

    В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?


    С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


    Точки а и b называются пределами интегрирования.


    Бари Алибасов и группа "Интеграл"

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

    Правила вычисления интегралов для чайников

    Свойства неопределенного интеграла

    Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

    • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

    • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

    • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

    Свойства определенного интеграла

    • Линейность:

    • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

    • При любых точках a , b и с :

    Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

    Примеры решения интегралов

    Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.


    Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.