Величина где I-доход потребителя, p1p2-цены блага, х2-количество 2-го блага. В этом случае блага один и два: взаимозаменяемые.

Выберите правильное утверждение, соответствующее кейнсианской теории рыночной экономики 1) общий случай равновесия в рыночной эк-ке-при наличии безработицы, а полная занятость лишь особый случай; 2)инвест-й спрос уменьшается с ростом процентной ставки.

Выберите прав ильное утверждения, выполнение которых повышает достоверность и точность определения параметров экономико-математической модели. 1.Принятая методика определения параметров модели должна быть корректной с точки зрения обеспечения достоверности, 2. Должен имеется достаточный для нахождения математической модели объем исходной информации о входных и выходных показателях объекта, 3.вектор входных показателей должен сильно изменяться на изучаемом интервале, 4. Принятая априори модель, должна отражать существенным образом фактические закономерности изучаемого объекта.

Выборочное уравнен ие парной регрессии y=-3+2x, тогда выборочный коэффициент парной корреляции может быть равен..(-3,2,0.6,-2,-0.6) … 0.7 или 0.6.

Выборочно е уравнение парной регрессии имеет вид у=-3+2х. Тогда выборочный коэф-т парной корреляции может быть равен: 0,7.

где В – коэффициент приростной капиталоемкости;С(t)- объем потребления;Y(t) - объем дохода;В каком случае он будет максимальным, а в каком равен нулю, если С(t)=сonst:максимум достигается при , а равен нулю при Y(0)=C(0).

Гипотезы , используемые при выводе функции спроса на рабочую силу в классической модели рыночной экономики: Фирмы полностью конкуренты при предложении товаров и найме рабочей силы. При прочих равных условиях предельный продукт труда снижается по мере роста использования рабочей силы.

Даны функции спроса и предложения S=2p+1,5, где p-цена товара. тогда равновесная цена равна. ОТВЕТ:х1= 0,34+0,18+340.....х2=0;25+0,53+280.

Даны функции спроса и предложения S=2p+1,5, где p-цена товара. тогда равновесная цена = 1 .

Даны функции спроса и предложения S=2p+1,5, где p-цена товара. тогда равновесная цена= 5,5.

Даны функции спроса q=(p+6)/(p+2) и предложения s=2p-2, где p-цена товара. Тогда равновесная цена равна: 2.

Даны ф-ции спроса q=p+6/p+2 и пред-ие s=2p-2….. 2.

Если сохраняются равные условия, то с ростом цены спрос на товары Гиффина:… растет.

Если в модели Солоу произвести учёт инвестиционного лага в виде сосредоточенного лага, то связь инвестиций I(t) с вводом фондов V(t) можно отразить в виде уравнения… V(t)= I(t-t) ().

Если из валового внутреннего продукта вычесть амортизационные отчисления то получим: вновь созданную стоимость(Н.Д.) .

Если из валового внутреннего продукта вычесть амортизационные отчисления то получим:чистый внутренний продукт.

Если перекрёстный коэффициент эластичности спроса от цены >0, то….(I товар заменяет j).

Если произв-ая ф-ция y=f(x 1 ;x 2), то св-во означающее, что при росте ис-ия одного ресурса предельная эф-ть ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Если производственная функция является однородной функцией степени р >0, то при р=2 и росте масштаба производства в 3 раза во сколько раз возрастает объем выпуска…9.

Если производственная функция является однородной функцией степени р >0, то при р=2 и росте масштаба производства в 4 раза во сколько раз возрастает объем выпуска… 16.

Если происходит увеличение дохода потребителя, то спрос перемещается (укажите правильное утверждение): с товаров с малой эластичностью на товары с высокой эластичностью. Объем потребления товаров с малой эластичностью сокращается.

Если ПФ имеет вид y=f(x 1 ;x 2) , то свойство означающее, что при росте использования одного ресурса предельная эф-ть другого ресурса возрастает выражено формулой: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Если сохраняются равные условия, то с ростом цены спрос на товары Гиффина: растет.

Зависимость между издержками производства и объемом продукции выражается функцией равны: 3.

Зависимость м ежду издержками производства и объемом продукции выражается функцией .Тогда предельные издержки при объеме производства равны: 23.

Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией . Тогда предельные издержки при объеме производства Q=10 равны:.. 3 .

Зависимость между себестоимостью продукции С и объемом продукции Q выражается как С=20-0,5*Q. Тогда эластичность с/с при объеме производства Q=10 равна: -1/3.

Задана произ-ая ф-ция вида: Y=3 K 0,5 *L 0.5 тогда ср продукт труда равен при K=25 ,L=100…… 1.5.

Задачей потребительского выбора является: Найти такое кол-во товаров из заданного набора, при к-ом мак-ся ф-ция полезности потребителя.

Задачей потребительского выбора является: задача заключается в выборе такого потребительского набора(х,х), который максимизирует функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Задачей потребительского выбора является: найти такое количество товаров из заданного набора, при котором максимизируется функция полезности потребителя.

Закон убывающей эффективности производства характеризуется тем, что с ростом величины используемого ресурса..ОТВЕТ: мин возможный объем выпуска .

Закон убывающей эффективности производства характеризуется тем, что с ростом величины используемого ресурса: Каждая дополнительная единица ресурса дает всё меньший прирост объема выпуска.

Закон убывающей эффективности производства характеризуется тем, что с ростом величины используемого ресурса..ОТВЕТ: максимально возможный объем выпуска продукции (у) растет.

Из уравнения Слуцкого можно получить ( количество товара, цена товара). Это соответствует:(возможно несколько ответов):1) товару Гиффина, 2)малоценному товару.

Какие гипотезы используются при выводе функции спроса на рабочую силу в классической модели рыночной экономики: фирмы полностью конкурентны при предложении товаров и найме раб силы; при прочих равных условиях пред продукт труда снижается по мере роста раб силы.

Какие дополнительные с ложности затрудняют построение ЭММ …. сложность проведения в экономке активного эксперимента.кроме того фактически каждый экономический объект или процесс уникален,что делает невозможным простое тиражирование однажды построенных моделей.

Какие практические задачи решаются с помощью ЭММ. 1. Анализ экономических объектов и процессов 2. Экономическое прогнозирование и предвидение развития экономических процессов 3. Выработка управленческих решений на всех уровнях экономики.

Какое утверждение соответствует решению задачи серого полупрозрачного ящика: Имеется информация о входных и выходных показателях, а также известна или принята в качестве базовой модель определенной структуры. Задача идентификации в этом случае заключается в нахождении параметров этой модели.

Какое утверждение соответствует решению задачи серого ящика: кроме входных и выходных пок-ей задана стр-ра опер-ра преобр.зад. сводиться к опред.парм-м стр-ры.

Какое утверждение , согласно модели Кейнса, будет верным: при росте процентной ставки потребительский спрос растет, а инвестиционный спрос падает (Спрос на потребительские товары растет линейно с ростом предложения товаров, Спрос на инвестиционные товары линейно убывает с ростом нормы процента).

Конечный продукт в динамической балансовой модели по сравнению с конечным продуктом в статической балансовой модели не включает в себя экспорт.

Конечный продукт в динамической балансовой модели по сравнению с конечным продуктом в статической балансовой модели не включает в себя: межотраслевые капитальные вложения.

Коэффициент эластичности спроса от цены Е ii p <-1. Это соответствует товару с: высокой эластичностью спроса.

Макроэкономическими равновесными моделями считаются такие модели, которые описывают такое состояние экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести экономику из данного состояния, равна 0.

Модель Леонтьева (статический баланс) включает уравнение вида: х i -Sa ij =y j .

Модель межотрослевого баланса, для выпускаемых продуктов объёме Х1 и Х2 с матрицей коэффициентов прямых затрат и конечном продуктом в объёме 340 и 280 единиц соответственно, имеет вид: х 1 =0,34х 1 +0,18х 2 +340; х 2 =0,25х 2 +0,53х 2 +280..

Модель Торнквиста п»спрос-доход» вида (другие буквы): ответ: предметы роскоши(2 группа ).

Модель Торнквиста , «спрос-доход» вида Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3: предметов роскоши.

Модель Харрода-Домара в виде дифференциального уравнения
имеет след.решение: ).

На изокванте производственной функции Кобба-Дугласа:

На линии

На линии безразличия потребительский наборы имеют:одинаковые значения ОТВЕТ: V(t)= I(t-τ).

На производственной функции Кобба-Дугласа на изокванте : показаны сочетания значений капитала и труда, обеспеч-х один и тот же выпуск.

По линии безразличия потребительский набор имеет: одинаковый уровень удовлетворения потребностей индивидуума.

По мере увеличения дохода спрос перемещается (укажите правильное утверждение): ОТВЕТ: По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на товары третьей и четвертой группы, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

По мере увеличения дохода спрос перемещается (укажите правильное утверждение): C товаров с малой эластичностью на товары с высокой эластичностью.Объем потребления тов с мал эластичностью сокращается.

Предел полезности 1-го продукта u =8 а 2-го продукта u = 2 . на сколько индивидуум должен уве потребление 2 продукта если он уменьшил потребление первого продукта на одну еденицу... 4.

Предельные полезности первого продукта , а второго продукта . На сколько должен индивидуум увеличить потребление 2-го продукта, если он уменьшил потребление первого продукта на одну единицу ответ: не уверена:3.

При использовании обозначений: -доля валовых инвестиций в ВВП, а-доля промежуточного продукта в валовом выпуске, Х(t)-валовый выпуск продукции в модели Солоу величина фонда непроизводственного потребления С(t) находиться по формуле: С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

При анализе модели Леонтьева (статистический межотраслевой баланс)показано, что сумма конечных продуктов и сумма условно чистой продукции :…равны друг другу.

При использовании обозначений: - доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте, a - доля промежуточного продукта в валовом выпуске,X(t) - валовый выпуск продукции в модели Р.Солоу величина фонда непроизводственного потребления С(t)находится по формуле: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

При небольшом увеличении объема производства условно переменные затраты на 1 изделие: остаются неизменными.(увеличиваются,возможно)

При описании ислед-го процесса с помощью ПФКД частные эф-ти были следующими: по фондам Е к =2, по труду Е l =8. В этом случае обобщенный пок-ль эф-ти Е равен: 16.

При описании Ответ:3(2 в степени о,5 умнож на 4,5 в степени о,5).

При описании в 3 раза.(в 2 не точно)

При описании исследуемого процесса с помощью производственной функции Кобба-Дугласа вида частные…..эффективности были следующими: по фондам Ek=2, по труду EL=4,5. В этом случае обобщённый показатель эффективности Е равен. ..3( 2 в степени о,5 умнож на 4,5 в степени о,5).

При описании исследуемого процесса с помощью производственной функции Кобба-Дугласа вида частные…..эффективности были следующими: по фондам Ek=2, по труду EL=8. В этом случае обобщённый показатель эффективности Е равен.: 4 или 16.

При описании исследуемого процесса с помощью производственной функции Кобба-Дугласа вида частные…..эффективности были следующими: по фондам Ek=2, по труду EL=4,5. В этом случае обобщённый показатель эффективности Е равен.

При описании исследуемого процесса с помощью производственной функции Кобба-Дугласа стало известно, что обобщенный показатеь эффективности производства Е=1,5, а масштаб производства М=2. В этом случае валовый выпуск увеличился в 3 раза.

При построении ЭММ по известным входным и выходным показателям объекта в качестве критерия близости отражения моделью свойств управления чаще всего используют… минимум суммы квадратов разностей.

При принятых обозначениях … Выбытие капитала и величина валовых инвестиций.

При принятых обозначениях f(Kо)-производительность труда на стационарной траектории, -фондовооруженость труда на стационарной траектории имеет вид… ().

При принятых обозначениях в модели Солоу условие выхода экономики на стационарную траекторию имеет вид ответ:k(t)=k в степени 0=const.

При принятых обозначениях …одно из уравнений в модели Р.Солоу в относительных единицах будет иметь вид: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1-a )f/(2) В данном уравнении слагаемые (1) и (2) отображают влияние на изменение фондовооруженности.

При прочих равных условиях с ростом цены спрос на товары Гиффинаспрос на всё растёт .

При решении ;p1x1+p2x2=I где I=1000, p1=5, p2=10eд.. Чему равно количество 1 товара 2 го товара…. 100ед.-1товар и 50ед.-второй.

При решении задачи потребительского выбора получили систему уравнений ;p1x1+p2x2=I где I=1000, p1=10, p2=5eд.. Чему равно количество 1 товара 2 го товара. …. 50, 100.

При увеличении дохода, спрос на товар при неизменной цене обычно…. Увеличивается (меняется по синосоудальному закону).

Производственна я функция , тогда предельный продукт при Kt=4, Lt=25 равен 2,5.

Производственная функция , тогда предельный продукт при Kt=4, Lt=25 равен … 0.2.

Производственная Kt=1100, Lt=9900. Чему равна предельная фондоотдача …. 1,5 (или10)

Производственная функция вида называется: Линейной, аддитивной производственной функцией.

Производственная функция задается как X t =K t 0,5 ´L t 0,5, где K t -капитал, L t - труд. Тогда предельный продукт труда ¶У/¶L при K t =16, L t =25 равен: 0,4.

Производственная функция Кобба -Дугласа имеет вид где Kt=4000, Lt=10. Чему равна предельная производительность труда Ответ: 10.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид где Kt=9000, Lt=10. Чему равна предельная производительность труда ….. 15.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид математическое ожидание поправочного коэффициента равно.. =1.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:X t =K t 0,5 ´L t 0,5 ;К t =900,L t =10. Чему равна предельная производительность труда ¶Х/¶L: 15.

Производственна я функция называется динамической, если: 1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины, влияющей на объем выпуска 2)параметры ПФ зависят от времени 3) характеристики ПФ зависят от времени.

Производственная функция это- такая функция, независимая переменная которой принимает значения объемов используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции y=f(x).

Производственная ф -ция К-Д имеет вид на сколько процентов увеличиться выпуск Xt при увеличении капитала Kt на 1% (0,4).

Производственная ф-ция наз-ся динамической если: Время t фигурирует..Параметры ПФ зависят от времени …. Характеристика производственной ф-ции зависит от времени.

Промежуточный продукт в схеме, отражающей взаимосвязь макроэкономических показателей в закрытой экономике страны, это: средства труда и предметы потребления.

Процесс установления равновесной цены в паутинооб-ой модели… Остаются неизменными.

Пусть функция полезности имеет вид , первоначальные цены благ и . Доход индивидуума равен 2000 ед., а оптимальный набор товаров ; Если цена возросла в четыре раза, то чему будет равны компенсированный доход индивидуума и значения оптимального набора благ :I k =2000; x 1 =50; x 2 =40.

Пусть функция полезности имеет вид u(x1;x2)=x1*x2, первоначальные цены благ Р1 и Р2. Доход индивидуума = 1000 ед., а оптимальный набор товаров х1=100 ед, х2= 20 ед. Если цена возросла в 4 раза, то чему будет равны компенсированный доход индивидуума и значения оптимального набора благ (х1 х2)… 2000 50,40.

Равновесными моделями считаются… Модели которые описывают такое состояние эк-ки, когда результирующие всех сил. (ответ.равно 0)

Расположите в правильном порядке этапы построения ФУИ:1.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ2.Построение математической модели3.Математический анализ модели4.Подготова исходной информации 5.Численное решение6.Анализ численных результатов и их применение.

Расположите в правильном порядке этапы построения ЭММ: 1.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ2.Построение математической модели3.Математический анализ модели4.Подготова исходной информации 5.Численное решение 6.Анализ численных результатов и их применение.

С помощью какой модели (в виде одной формулы) можно на уровне экономики страны отразить валовой выпуск, промежуточный продукт, валовой внутренний продукт: Балансовой модели Леонтьева.

С помощью какой модели можно на уровне экономики страны отразить зависимость валового выпуска и используемых ресурсов: … модель Кобба-Дугласа.(ПФКД)

С помощью какой модели(в виде одной формулы).. взаимосвязь показателей ВП, промежуточный продукт, ВВП…. Балансовой модели Леонтьева.

Система уравнений в модели Леонтьева называется продуктивной, если она разрешима. ответ:в неотрицательных Xi>0, при i=1÷n.

Согласно классической модели рыночной экономики предложение товара определяется: уровнем полной занятости.

Согласно классической модели рыночной экономики при одном и том же ВВП увеличение предложения денег приведет к… Увеличению цены единица ВВП.

Согласно модели Солоу «золотое» правило накопления соответствует норме накопления равной α- коэффициенту эластичности для физического капитала. фи=1.

Согласно модели Харрорда-Домара при каком…..r прироста объёма потребления он будет равен темпу прироста дохода: ОТВЕТ: r < 1/в, r=p .

Согласно модели Харрорда-Домара при каком…..r прироста объёма потребления он будет равен темпу прироста дохода: ОТВЕТ: если r =р0, р0 = а0 /В, а0 – это норма накопления в начальный момент времени.

Согласно статической модели Леонтьева, если конечный продукт первой отрасли y1=1000ед, а валовой выпуск x1=2500ед чему равен объем продукции первой отрасли, потребленный другими отраслями 1,5.(1500 или 3500).

Согласно статической модели Леонтьева, если конечный продукт первой отрасли y1=1500ед, а валовой выпуск x1=3500ед чему равен объем продукции первой отрасли, потребленный другими отраслями 2000ед .

Статическая модель Леонтьева включает уравнения вида…. .

Условно чистая п родукция в межотраслевом балансе включает в себя… Амортизация, оплату труда и чистый доход.

Функция полезности потребления имеет вид .Цена на благо х равна 10, на благо y равна 5, доход потребителя равен 200.Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид.: 10,20.

Функция полезности потребления имеет вид .Цена на благо х равна 5, на благо y равна 10, доход потребителя равен 200.Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид.. . 20,10.(200или400)

Функция полезности потребителя обладает свойствами… предельная полезность уменьшается,если объем потребления уменьшается; возрастание потребления одного продукта ведет к росту ф-ии полезности; (предельная полезность каждого продукта увел.если растет кол-во др-го продукта).

Цена реализации одного изделия равна 7ед. Постоян.издержки равны 8000ед. Перемен.издержки равны 5ед. на 1шт. Чему равен безубыточный объем производства: 4000ед.

Чему равен в модели Кейнса спрос на облигации, если предложение денег =1000 ед. , скорость оборота денег на реальном рынке k=0,1, цена единицы ВВП- p=0,5 ед, величина ВВП – 10000 ед…500.

Чему равен в модели Кейнса спрос на облигации, если предложение денег =1000 ед. , скорость оборота денег на реальном рынке k=0,1, цена единицы ВВП- p=0,2 ед, величина ВВП – 10000 ед…800.

Цель: Рассмотреть понятие линии на плоскости, привести примеры. Основываясь на определение линии, ввести понятие уравнения прямой на плоскости. Рассмотреть виды прямой, привести примеры и способы задания прямой. Закрепить умение переводить уравнение прямой из общего вида в уравнение прямой «в отрезках», с угловым коэффициентом.

1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой на плоскости. Виды уравнений.
3. Способы задания прямой.

1. Пусть х и у – две произвольные переменные.

Определение : Соотношение вида F(x,y)=0 называется уравнением , если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.

Пример : 2х + 7у – 1 = 0 , х 2 + y 2 – 25 = 0.

Если равенство F(x,y)=0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F(x,y) = 0 – тождество.

Пример: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0

Говорят, что числа х 0 и у 0 удовлетворяют уравнению , если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Определение : Уравнением данной линии называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.

Линия, определяемая уравнением y = f(x), называется графиком функции f(x). Переменные х и у – называются текущими координатами, т. к. являются координатами переменной точки.

Несколько примеров определения линий.

1) х – у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:

2) х 2 - у 2 = 0 => (х-у)(х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:

3) х 2 + у 2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О(0,0).

2. Определение: Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких–либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosj + ysinj - p = 0 –нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть угловой коэффициент прямой равен k, прямая проходит через точку М(х 0 , у 0). Тогда уравнение прямой находится по формуле: у – у 0 = k(x – x 0)

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Прямая на плоскости и в пространстве.

Изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры носит название аналитической геометрии , а использовать при этом мы будем так называемый метод координат .

Линия на плоскости обычно задается как множество точек, которые обладают присущими только им свойствами. Тот факт, что координаты (числа) х и у точки, лежащей на этой линии, аналитически записываются в виде некоторого уравнения.

Опр.1Уравнением линии (уравнением кривой) на плоскости Оху называется уравнение (*), которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой другой точки, не лежащей на этой линии.

Из определения 1 следует, что всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение между текущими координатами (х,у ) точки этой линии и наоборот, всякому уравнению соответствует, вообще говоря, некоторая линия.

Отсюда возникают две основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

1.Дана линия в виде множества точек. Нужно составить уравнение этой линии.

2. Дано уравнение линии. Необходимо изучить ее геометрические свойства (форму и расположение).

Пример . Лежат ли точки А (-2;1) и В (1;1) на линии 2х +у +3=0?

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и, сводится к отысканию координат, которые удовлетворяют уравнению обеих линий, т.е. к решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогично вводится понятие линии в ПСК.

Линию на плоскости можно задать двумя уравнениями

где х и у – произвольные координаты точки М(х;у), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром , параметр определяет положение точки на плоскости.

Например, если , то значению параметра t=2 соответствует на плоскости точка (3;4).

Если параметр изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способом задания линии называется параметрическим, а уравнение (5.1) –параметрическим уравнением линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений к общему уравнению (*), надо каким – либо способом из двух уравнений исключают параметр. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t- скалярный переменный параметр. Каждому значению параметра соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра конец вектора опишет некоторую линию.

Векторному уравнению в ДСК соответствуетдва скалярных уравнения

(5.1), т.е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее

параметрическое уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения , а линия – траектория точки, параметр t при этом есть время.

Вывод: всякой линии на плоскости соответствует уравнение вида .

ВСЯКОМУ УРАВНЕНИЮ ВИДАсоответствует в общем случае некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (исключение – уравнению на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

Пусть выбрана система координат на плоскости.

Опр. 5.1. Уравнением линии называется такое уравнение вида F(x;y) =0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.

Уравнение вида F(x;y )=0 – называют общим уравнением линии или уравнением в неявной форме.

Таким образом, линия Г есть геометрическое место точек, удовлетворяющее данному уравнению Г={(x, y): F(x;y)=0}.

Линию называют также кривой.

Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами x, y. Соответственно этому и значение данной функции в точке М определяется координатами x, y, или, как еще говорят, u=f(M) есть функция двух переменных x и y . Функция двух переменных x и y обозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

u=sqrt(x^2 + y^2)

ЗАДАЧА 3688 Дана функция f (x, y)=x^2–y^2–16.

Параметрические уравнения линии

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии , которая является траекторией точки М; аргумент t носит название параметра. Если из равенств (1) можно исключить параметр t, то получим уравнение траектории точки М в виде