Пример:
\(4\) - рациональное число,т.к.его можно записать как \(\frac{4}{1}\) ;
\(0,0157304\) - тоже рациональное,т.к.его можно записать в виде \(\frac{157304}{10000000}\) ;
\(0,333(3)…\)-и это рациональное число: можно представить как \(\frac{1}{3}\) ;
\(\sqrt{\frac{3}{12}}\) - рациональное, так как можно представить как \(\frac{1}{2}\) . Действительно, мы можем провести цепочку преобразований \(\sqrt{\frac{3}{12}}\) \(=\)\(\sqrt{\frac{1}{4}}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)

Иррациональное число – это число, которое невозможно записать в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.

Невозможно, потому что это бесконечные дроби, да еще и непериодические. Поэтому нет таких целых чисел, которые бы поделившись друг на друга, дали бы иррациональное число.

Пример:
\(\sqrt{2}≈1,414213562…\) -иррациональное число;
\(π≈3,1415926… \) -иррациональное число;
\(\log_{2}{5}≈2,321928…\)-иррациональное число.

Пример (Задание из ОГЭ ). Значение, какого из выражений является числом рациональным?
1) \(\sqrt{18}\cdot\sqrt{7}\);
2)\((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})\);
3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}\) ;
4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}\).

Решение:

1) \(\sqrt{18}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 2\cdot 7}=3\sqrt{14}\) – корень из \(14\) взять нельзя, значит и представить число в виде дроби с целыми числами тоже нельзя, следовательно число иррационально.

2) \((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})= (\sqrt{9}^2-\sqrt{14}^2)=9-14=-5\) – корней не осталось, число легко представить в виде дроби, например такой \(\frac{-5}{1}\) , значит оно рациональное.

3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{22}{2}}=\sqrt{\frac{11}{1}}=\sqrt{11}\) –корень нельзя извлечь - число иррациональное.

4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}+3\sqrt{6}=3\sqrt{6}+3\sqrt{6}=6\sqrt{6}\) – тоже иррациональное.

1.Доказательство является примерами дедуктивного рассуждения и отличаются от индуктивных или эмпирических аргументов. Доказательство должно продемонстрировать, что доказываемое утверждение всегда верно, иногда путем перечисления всех возможных случаев и показывая, что утверждение выполняется в каждом из них. Доказательство может опираться на очевидные или общепринятые явления или случаи, известные как аксиомы. Вопреки этому, доказывается иррациональность “корня квадратного из двух”.
2.Вмешательство топологии здесь объясняется самой природой вещей, что означает, что чисто алгебраического способа доказательства иррациональности, в частности, исходя из рациональных чисел нет.Вот пример, за вами право выбора: 1+1/2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 или 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Если вы примете 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, что считается “алгебраическим” подходом, то совсем не составляет труда показать, что существует n/m ∈ ℚ, которое на бесконечной последовательности является иррациональным и конечным числом.Это подсказывает, что иррациональные числа являются замыканием поля ℚ, но это относится к топологической особенности.
Так для чисел Фибоначчи, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim{F(k+1)/F(k)} = φ
Это лишь показывает, что существует непрерывный гомоморфизм ℚ → I, и можно показать строго, что существования такого изоморфизма не является логическим следствием алгебраических аксиом.

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения

является функция

где c - произвольная константа.

• 1. Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e - нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
• 2. Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.

Формула Эйлера, в частности

5. т. н. "интеграл Пуассона" или "интеграл Гаусса"

8. Представление Каталана:

9. Представление через произведение:

10. Через числа Белла:

11. Мера иррациональности числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).

Доказательство иррациональности

Предположим, что

где a и b - натуральные числа. Учитывая данное равенство и рассматривая разложение в ряд:

получаем следующее равенство:

Представим данную сумму в виде суммы двух слагаемых, одно из которых - сумма членов ряда по n от 0 до a , а второе - сумма всех остальных членов ряда:

Теперь перенесем первую сумму в левую часть равенства:

Умножим обе части полученного равенства на. Получим

Теперь упростим полученное выражение:

Рассмотрим левую часть полученного равенства. Очевидно, что число целое. Целым является также и число, поскольку (отсюда следует, что все числа вида целые). Тем самым левая часть полученного равенства - целое число.

Перейдем теперь к правой части. Эта сумма имеет вид

По признаку Лейбница этот ряд сходится, и его сумма S есть вещественным числом, заключенное между первым слагаемым и суммой первых двух слагаемых (со знаками), т.е.

Оба эти числа при лежат между 0 и 1. Следовательно, т.е. - правая часть равенства - не может быть целым числом. Получили противоречие: целое число не может быть равно числу, которое не является целым. Это противоречие доказывает, что число e не является рациональным, а следовательно является иррациональным.

Определение иррационального числа

Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел. Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.

Свойства иррациональных чисел

В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.
Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.
Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.
При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.
При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.
При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.
Множество иррациональных чисел не есть четным.

Числа, не являются иррациональными

Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.

Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.

Иррациональными числами не являются:

Во-первых, все натуральные числа;
Во-вторых, целые числа;
В-третьих, обыкновенные дроби;
В-четвертых, разные смешанные числа;
В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.

Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, , :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.

А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:

А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой;

А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.

Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.

Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..

Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число . Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например , квадратный корень из двух - является числом иррациональным.

Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Т.о.:

Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Свойства иррациональных чисел.

• Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
• Всякое вещественное трансцендентное число - это иррациональное число.
• Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
• Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
• Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
• Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
• Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).

Иррациональные числа, примеры.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ