Корень n ой степени определение свойства. Квадратный корень. Исчерпывающий гид (2019). Изучение нового материала

Ситбаталова Алма Капаровна

учитель математики

лицей № 15

г. Астана

«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».

Г. Лессинг.

Чтобы развить у школьников способность работать с информацией, научить их самостоятельно мыслить, уметь работать в команде, можно использовать различные педагогические технологии. Автор отдает предпочтение групповой форме работы.

11 класс

Тема урока: Корень n-ой степени и его свойства.

Цель урока:

Формирование у учащихся целостного представления о корне n -ой степени, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач; понимание принципов упрощения выражений, содержащих радикал . Проверить уровень усвоения учащимися вопросов темы.

Задачи урока:

1. Актуализировать необходимые знания и умения. Дать понятие корня n -ой степени, рассмотреть его свойства.

2. Организовать мыслительную деятельность учащихся для решения проблемы (выстроить необходимую коммуникацию). Способствовать развитию алгоритмического, творческого мышления, развивать навыки самоконтроля. Способствовать развитию интереса к предмету, активности.

3. Воспитывать уважение к чужому мнению и чужому труду через анализ и присвоение нового способа деятельности, умение работать в команде, выражать собственное мнение, давать рекомендации.

Оборудование:

Компьютер, проектор и экран для демонстрации презентации; карточки с заданием для работы в группах; карточки с таблицей для оценки присвоения нового вида деятельности; чистые двойные листы для выполнения учащимися разноуровневой самостоятельной работы; карточки с разноуровневыми заданиями.

Тип урока:

Комбинированный (систематизация и обобщение, усвоение новых знаний, проверка и оценка знаний).

Формы организации учебной деятельности :

Индивидуальная, полилог, диалог, работа с текстом слайда, учебника.

Методы :

Наглядный, словесный, графический, условно-символический, исследовательский.

Мотивация познавательной деятельности учащихся:

Сообщить учащимся, что изучение свойств корня n -ой степени является обобщением уже известных учащимся свойств степени.

План урока:

    Организационно-мотивационный ( приветствие учителя , принятие темы, цели урока , включение в работу ).

    Актуализация знаний (систематизация и обобщение, усвоение новых знаний).

    Применение изученного ( установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция).

    Контроль и самоконтроль (Проверка знаний).

    Рефлексия (Мобилизация учащихся на рефлексию своего поведения (мотивации, способов деятельности, общения).

    Подведение итогов (Дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы).

    Домашнее задание (Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания).

Ход урока:

    Организационно-мотивационный ( приветствие учителя , принятие темы, цели урока, включение в работу, 1-2 мин ). Приветствие учащихся, сообщение темы «Корень n – й степени и его свойства», сообщение цели и способа деятельности.

    Актуализация знаний (систематизация и обобщение, усвоение новых знаний, 15 мин).

Повторение опорных знаний (систематизация и обобщение):

Класс делится на три группы.

Деятельность учителя: задает вопросы:

    Определение арифметического квадратного корня.

    Свойства арифметического квадратного корня.

    Свойства степени с натуральным показателем.

Записывают свойства на листе ,

,

Отвечают на вопросы ,

Выполняют задания.

Усвоение новых знаний:

Деятельность учителя: Вводятся новые понятия:

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Корнем n -ной степени из числа a называется такое число, n -ная степень которого равна a .

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Арифметическим корнем n -ной степени из числа а называют неотрицательное число, n -ная степень которого равна a .

    Основные свойства арифметических корней n -ной степени.

При четном n существует два корня n -ной степени из любого положительного числа a , корень n -ной степени из числа 0 равен рулю, корень четной степени из отрицательных чисел не существует. При нечетном n существует корень n -ной из любого числа a и притом только один.

Для любых чисел выполняются равенства:

1) ; 3) ;

2) 4) ;

5) ; 6) .

    Примеры с заданиями даются на слайде:

Деятельность учащихся в группах:

Самостоятельно записывают свойства на листе ,

Проверяют правильность по слайду ,

Отвечают на вопросы ,

Выполняют задания.

    Применение изученного ( установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция, 15 мин).

Деятельность учителя: Дает комментарий к дальнейшим действиям:

Работа в группах по этапам ,

Перед каждой группой лежит листок с одним и тем же заданием, но с разными условиями (на слайде «Упростить выражение») :

- 1 этап «Генерация идей».

1 этап:

    Поставить цифру 1.

    Записать порядок предполагаемых действий, необходимых для выполнения задания.

    Руководство деятельностью группы (добиться включенности в работу всех учащихся) .

- 2 этап «Анализ идей».

    Знакомство с инструкцией деятельности на слайде:

    Этап:

    Поставить цифру 2.

    Выполнить задание по предложенному алгоритму усовершенствовав его при необходимости.

    Сделать и записать вывод, можно ли выполнить задание по предложенному алгоритму.

    Руководство деятельностью групп .

- 3этап «Экспертиза».

    :

    Этап:

    Поставить цифру 3.

    Проверить правильность выполнения задания, согласно алгоритма.

    Сделать и записать вывод, удалось ли составить необходимый алгоритм, и верно выполнить задание.

- 4этап «Предъявление результатов».

Знакомство с инструкцией деятельности на слайде :

    Этап:

    Оценить деятельность всех групп на каждом этапе.

    Индивидуально выбрать этап, на котором было легче работать, и этап, на котором возникали трудности.

Деятельность учащихся в группах:

на 1 этапе: анализируют задания , выполняют необходимые действия ,

на 2 этапе: анализируют алгоритм, предложенный другой группой , при необходимости вносят коррективы, выполняют задания ,

на 3 этапе: анализируют работу предыдущих групп, делают вывод ,

на 4 этапе: анализируют сделанный вывод , сверяют правильность решения с ответом на слайде , заполняют карточки с таблицей, выбирая роль, в которой более успешны.

Минута здоровья (гимнастика для глаз).

    Контроль и самоконтроль (Проверка знаний, 7 мин).

Деятельность учителя: Дает инструкцию по выполнению самостоятельной работы:

    Все учащиеся выполняют задания 1 уровня (на «3») задания на карточках слайде:

Самостоятельная работа. Оценка «3».

I вариант.

а)

б)

2). Сравнить числа:

II вариант.

1). Найти значение числового выражения:

а)

б)

2). Сравнить числа:

    :

Самостоятельная работа. Оценка «3».

Ответы :

I вариант

1). а) 11

б) 15

2). <

II вариант

1). а) 7

б) 15

2. >

3. Кто справился с заданием 1 уровня?

4. Учащиеся, справившиеся с 1 уровнем, переходят к заданиям 2 уровня (на «4»), те, кто не справился, остаются на 1 уровне задания на слайде, на карточках :

Самостоятельная работа.

Оценка «3».

1). Найти значение числового выражения:

а)

б)

2). Сравнить числа:

Оценка «4».

1). Решить уравнение:

а)

б)

2). Упростить выражение:

    Самопроверка по ответам на слайде :

Самостоятельная работа.

Ответы :

Оценка «3».

1). а) 13

б) 6

2). <

Оценка «4».

1). а)

б)

2). 2а

6. Кто перешел на 3 уровень?

Кто остался на 2 уровне?

Кто перешел на 2 уровень?

Кто остался на 1 уровне?

7. Учащиеся, получившие «4» выполняют задания 3 уровня (на «5»).

Учащиеся, не получившие «4» и справившиеся с 1 уровнем, выполняют задания 2 уровня.

Учащиеся, не получившие «3», выполняют задания 1 уровня задания на карточках на слайде:

Самостоятельная работа.

Оценка «4».

Оценка «5».

Оценку «4»?

Оценку «3»?

10. Кто не справился с заданиями 1 уровня?

Деятельность учащихся в группах:

    Выполняют задания.

    Выполняют самопроверку, ставя оценку «3», если выполнены все задания .

    Предъявляют результаты.

    Выполняют задания.

    Выполняют самопроверку: ставят «3», если выполнены все задания 1 уровня; ставят «4», если выполнены 2 из 3 заданий 2 уровня .

    Предъявляют результаты.

    Выполняют задания.

    Выполняют самопроверку: ставят «3», если выполнены все задания 1 уровня; ставят «4», если выполнены 2 задания 2 уровня; ставят оценку «5», если выполнено хотя бы 1 задание из 2-х .

    Предъявляют результаты.

    Рефлексия (Мобилизация учащихся на рефлексию своего поведения (мотивации, способов деятельности, общения, 3 мин).

Деятельность учителя: Дает комментарии по написанию «Синквейна», инструкция на слайде:

Синквейн.

1 строка – заявляется тема или предмет (одно существительное);

2 строка – описание предмета (два прилагательных или причастия);

3 строка – характеризуются действия предмета (три глагола);

4 строка – выражение отношения автора к предмету (четыре слова);

5 строка – синоним, обобщающий или расширяющий смысл предмета (одно слово).

Деятельность учащихся в группах:

Знакомятся с алгоритмом написания Синквейна,

Пишут Синквейн на листах с самостоятельной работой,

По желанию зачитывают Синквейн,

Сдают листы на проверку.

    Подведение итогов (Дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы, 1-2 мин).

Деятельность учителя: Анализ оценки деятельности на разных этапах урока: Почему вам было легче (сложнее) в той или иной роли? Оценивается работа каждого учащегося.

Деятельность учащихся в группах: отвечают на вопрос.

    Домашнее задание (Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания, 1-2 мин).

Деятельность учителя: Дает инструкцию по выполнению домашней работы: (А. Абылкасымова, естеств.-мат. напр.)
§ 5, № 83 (2; 4), № 84 (2; 3), № 86, 87 (3; 4), № 89.

‹ ›

Чтобы скачать материал, введите свой E-mail, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку

Нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.

Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Доказательство. Введем следующие обозначения: Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как
Итак, Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней ; значит, из равенства x n =(уz) п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.

Приведем краткую запись доказательства теоремы.

Замечания:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.
2. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb - неотрицательные числа, то справедливо равенство Следующую теорему мы именно так и оформим.



Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Доказательство. Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.

ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.

Пример 1. Вычислить
Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».
Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:


Пример 3. Вычислить:
Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:

Пример 4. Выполнить действия:
Решение , а) Имеем:
б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее.
Продолжим изучение свойств радикалов.

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,
Доказательство. Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.


Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.

Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что Будьте внимательны!
Самое, пожалуй, интересное свойство корней - это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство - понятнее.

Например:

(показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);

(показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);

(показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).

Доказательство. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой Тогда по определению корня должно выполняться равенство

Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:

Тогда по определению корня должно выполняться равенство

Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:

Итак (см. равенства (1) и (2)),


Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что х nр = у nр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:

Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.
1) По теореме 5 в выражении можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:
2) По теореме 5 в выражении можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:

3) Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:

Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл - он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств, изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства n -ой степени.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах .

  1. Свойство умноженных чисел a и b , которое представляется как равенство a · b = a · b . Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
  2. из частного a: b =   a: b , a ≥ 0 , b > 0 , он также может записываться в таком виде a b = a b ;
  3. Свойство из степени числа a с четным показателем a 2 · m = a m при любом числе a , например, свойство из квадрата числа a 2 = a .

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a · b = a · b трансформируется как a · b = a · b . Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a · b = a · b . Согласно определению, необходимо рассмотреть, что a · b - число, положительное или равное нулю, которое будет равно a · b при возведении в квадрат. Значение выражения a · b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a · b) 2 = a 2 · b 2 . По определению квадратного корня a 2 = a и b 2 = b , то a · b = a 2 · b 2 = a · b .

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a 1 , a 2 , … , a k будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Из этого равенства следует, что a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 и 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) .

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a: b = a: b , a ≥ 0 , b > 0 . Свойство позволяет записать равенство a: b 2 = a 2: b 2 , а a 2: b 2 = a: b , при этом a: b является положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0: 16 = 0: 16 , 80: 5 = 80: 5 и 3 0 , 121 = 3 0 , 121 .

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенствакак a 2 = a Чтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a ≥ 0 и при a < 0 .

Очевидно, что при a ≥ 0 справедливо равенство a 2 = a . При a < 0 будет верно равенство a 2 = - a . На самом деле, в этом случае − a > 0 и (− a) 2 = a 2 . Можно сделать вывод, a 2 = a , a ≥ 0 - a , a < 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0 , 36 2 = - 0 , 36 = 0 , 36 .

Доказанное свойство поможет дать обоснование a 2 · m = a m , где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a 2 · m выражением (a m) 2 , тогда a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Свойства корня n-ой степени

Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n -ой степени:

  1. Свойство из произведения чисел a и b , которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a · b n = a n · b n , данное свойство справедливо для произведения k чисел a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
  2. из дробного числа обладает свойством a b n = a n b n , где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
  3. При любом a и четных показателях n = 2 · m справедливо a 2 · m 2 · m = a , а при нечетных n = 2 · m − 1 выполняется равенство a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a .
  4. Свойство извлечения из a m n = a n · m , где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
  5. Для любого неотрицательного a и произвольных n и m , которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство a m n · m = a n ;
  6. Свойство степени n из степени числа a , которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m , определяемое равенством a m n = a n m ;
  7. Свойство сравнения, которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a < b , выполняется неравенство a n < b n ;
  8. Свойство сравнения, которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и n – натуральные числа, что m > n , тогда при 0 < a < 1 справедливо неравенство a m > a n , а при a > 1 выполняется a m < a n .

Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

  1. Первым делом докажем свойства корня n -ой степени из произведения a · b n = a n · b n . Для a и b , которые являются положительными или равными нулю, значение a n · b n также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство a n · b n n = a n n · b n n . По определению корня n -ой степени a n n = a и b n n = b , следовательно, a n · b n n = a · b . Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a 1 , a 2 , … , a n выполняется a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Приведем примеры использования свойства корня n -ой степени из произведения: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 и 8 , 3 4 · 17 , (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8 , 3 · 17 , (21) · 3 · 5 7 4 .

  1. Докажем свойство корня из частного a b n = a n b n . При a ≥ 0 и b > 0 выполняется условие a n b n ≥ 0 , а a n b n n = a n n b n n = a b .

Покажем примеры:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

  1. Для следующего шага необходимо доказать свойства n -ой степени из числа в степени n . Представим это в виде равенства a 2 · m 2 · m = a и a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a для любого действительного a и натурального m . При a ≥ 0 получаем a = a и a 2 · m = a 2 · m , что доказывает равенство a 2 · m 2 · m = a , а равенство a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a очевидно. При a < 0 получаем соответственно a = - a и a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m . Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a будет справедливо, так как за нечетной степени рассматривается - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 для любого числа c , положительного или равного нулю.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 и (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

  1. Докажем следующее равенство a m n = a n · m . Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами a n · m = a m n . Это будет означать верная запись. Для a , которое является положительным или равно нулю, из вида a m n является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению. С их помощью можно преобразовать равенства в виде a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Например, 7 3 5 = 7 5 · 3 и 0 , 0009 6 = 0 , 0009 2 · 2 · 6 = 0 , 0009 24 .

  1. Докажем следующее свойство a m n · m = a n . Для этого необходимо показать, что a n – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n · m равно a m . Если число a является положительным или равным нулю, то n -ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом a n · m n = a n n m , что и требовалось доказать.

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

  1. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида a m n = a n m . Очевидно, что при a ≥ 0 степень a n m является неотрицательным числом. Более того, ее n -ая степень равна a m , действительно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

  1. Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a < b . Рассмотрим неравенство a n < b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a < b . Следовательно, a n < b n при a < b .

Для примера приведем 12 4 < 15 2 3 4 .

  1. Рассмотрим свойство корня n -ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m > n и 0 < a < 1 справедливо a m > a n . Предположим, что a m ≤ a n . Свойства позволят упростить выражение до a n m · n ≤ a m m · n . Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n , то есть, a n ≤ a m . Полученное значение при m > n и 0 < a < 1 не соответствует свойствам, приведенным выше.

Таким же способом можно доказать, что при m > n и a > 1 справедливо условие a m < a n .

Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

Пример 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Теорема 1. Корень n-й степени (n=2, 3, 4,...) из произведения двух неотрицательных чипсел равен произведению корней n-й степени из этих чисел:

Замечание:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

Теорема 2. Если , и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство


Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени , т.е. только корни с одинаковым показателем.

Теорема 3.Если , k - натуральное число и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Теорема 4.Если , k, n - натуральные числа, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,

Будьте внимательны! Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что

Теорема 5.Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.



Примеры решения заданий


Пример 1. Вычислить

Решение.
Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2 ), получим:


Пример 3. Вычислить:

Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления.

Корень n-й степени, его свойства.

Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Обозначается арифметический корень n-й степени из числа а

где n- показатель корня,

а- подкоренное выражение.

Знак называют еще радикалом.

Арифметический корень второй степени называется корнем квадратным и обозначается √, арифметический корень третьей степени называется кубическим корнем о обозначается

Например:

а) и 2≥0;

б) и 3≥0;

в)

Из определения арифметического корня n-й степени следует, что при четом n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно, например: арифметический корень 4-й степени из числа -81 не существует, так как ни одно число в четвертой степени не даст -81 (при возведении в четную степень значение выражения всегда неотрицательно).

При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак коня.

Например:

Уравнение х n =а.

Уравнение х n =а при нечетном n имеет единственное решение х= .

Например: х 3 =-125;

х= ;

х=- ;

Для наглядности сделаем проверку:

125=-125- верно.

Ответ: х=-5.

Уравнение х n =а при четном n имеет и положительном а имеет два корня

Например:

х 1 = ; х 2 =- ;

х 1 =2; х 2 =-2.

Можно убедиться при проверке, что 2 4 =16 и (-2) 4 =16.

Ответ: ±2.

Иногда нужно применить такое свойство арифметического корня n-й степени:

|х|, если n четно;

х, если n нечетно.

х, если х≥0;

Вспомним, что |х|= -х, если х<0.

Например:

.

Так как <0, следовательно

Основные свойства корней.

Для арифметического корня n-й степени, как и для квадратного корня, существуют операции внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня.

Например:

Из примера видно, что для внесения множителя под знак корня n-й степени его нужно

возвести в n-ю степень. Нужно помнить, что под знак с четным показателем мы имеем право внести только положительный множитель, например:



Аналогично производится вынесение множителя из-под знака корня, например:

формулой n-го члена ап : a n = a 1 + d · (n - 1)

формулой n-го члена гп:

Функции y=kx (где k - любое натуральное число). Прямая пропорциональность, график прямая.
Свойства:
область определения - R
область значений - R
нечетная
при к >0 функция возрастает, при к <0 –убывает

Корень квадратного уравнения (формула)
Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) находят по формуле . Выражение D = b 2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные корни (или корень) тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Если , можно применить формулу .
если просто уравнений, а не систем, то алгоритм прост: 1. неизвестные влево, сложить коэфициенты; числа вправо, также сложить (с учетом знака конечно) 2. разделить правую часть на коэфициент при неизвестном 2прим. если коеф.=0 и справа 0 -- любое число есть решение уравнения если коеф.=0 а справа не 0 -- уравнение решения не имеет