История
Презентация к уроку "арифметическая и геометрическая прогрессия". Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессия. VII. Домашнее задание

Презентация к уроку "арифметическая и геометрическая прогрессия". Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессия. VII. Домашнее задание

Слайд 1

Арифметическая и Геометрическая прогрессии
Проект ученика 9б класса Тесли Дмитрия

Слайд 2

Прогрессия
- числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d. Число d называется разностью прогрессии. - числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q. Число q называется знаменателем прогрессии.

Слайд 3

Прогрессия
Арифметическая Геометрическая
Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an=a1+d(n–1) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется так: Sn=0,5(a1+an)n Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: bn=b1qn-1 Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется так: Sn=b1(qn-1)/q-1

Слайд 4

Арифметическая прогрессия
Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д. равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Слайд 5

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- это геометрическая прогрессия, у которой |q|

Слайд 6

Арифметическая и геометрическая прогрессии, как оправдание войн
Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.

Слайд 7

Практическое применение геометрической прогрессии
Вероятно, первая ситуация, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией – подсчет численности стада, проведенный несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных ситуаций, количество новорожденных и умерших животных пропорционально числу всех животных. Значит, если за какой-то период времени количество овец у пастуха увеличилось с 10 голов до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастит вдвое и станет равным 40.

Слайд 8

Экология и промышленность
Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

Слайд 9

Биология
Бактерия за одну секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке за пять секунд? Первый член прогрессии – одна бактерия. По формуле найдем, что на вторую секунду мы будем иметь 3 бактерии, на третью - 9, на четвертую - 27, на пятую - 32. Таким образом можно рассчитать количество бактерий в пробирке в любой момент времени.

Слайд 10

Экономика
В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении сложных процентов. Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 рублей? На следующий после вклада год мы будем иметь 1050 рублей, на третий год – 1102,5, на четвертый – 1157,625, на пятый – 1215,50625 рублей.

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… ––––32 4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;… –2–– 6– 8 6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия d = 3 – 2 арифметическая прогрессия d = – 2 геометрическая прогрессия q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия q = 2 последовательность чисел

УЭ2 1) Дано: (а n) арифметическая прогрессия а 1 = 5 d = 3 Найти: а 6 ; а 10. Решение: используя формулу а n = а 1 +(n -1) d а 6 = а 1 +5 d = = 20 а 10 = а 1 +9 d = = 32 Ответ: 20; 32 Решение

УЭ2 1)Дано: (b n) геометрическая прогрессия b 1 = 5 q = 3 Найти: b 3 ; b 5. Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 3 =b 1 q 2 = =5. 9=45 b 5 =b 1 q 4 = =5. 81=405 Ответ:45; 405. Решение

УЭ3 1)Дано: (а n), а 1 = – 3, а 2 = 4. Найти: а 16 – ? 2)Дано: (b n), b 12 = – 32, b 13 = – 16.Найти: q – ? 3)Дано: (а n), а 21 = – 44, а 22 = – 42. Найти: d - ? 4)Дано: (а n), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d - ? 5) Дано: (b n), q = 2. Найти: b 5 – ?

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла:) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (а п), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8? 6.5.1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию) В геометрической прогрессии b 12 = З 15 и b 14 = З 17. Найдите b 1.

Арифметическая и геометрическая прогрессия Какая тема объединяет понятия:

1) Разность 2) Сумма n первых членов 3) Знаменатель 4) Первый член

5) Среднее арифметическое

6) Среднее геометрическое?

Арифметическая

геометрическая

прогрессии

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

Прогрессии Арифметическая Геометрическая

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

Слово прогрессия происходит от латинского “прогрессио”.

Итак, прогрессио переводится как “движение вперед”.

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

Слово прогресс применяется в других областях наук, например, в истории для характеристики процесса развития общества в целом и отдельной личности. При наличии определенных условий любой процесс может протекать как в прямом, так и в обратном направлении. Обратное направление называется регрессом, дословно - “движение назад”.

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

ЛЕГЕНДА О СОЗДАТЕЛЕ ШАХМАТ

Первый раз на управляющую кнопку, второй раз на мудреца

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

Задача из ЕГЭ Юноша подарил девушке в первый день 3 цветка, а в каждый последующий день дарил на 2 цветка больше, чем в предыдущий день. Сколько денег он потратил на цветы за две недели, если один цветок стоит 10 рублей?

224 цветка

224*10=2240 руб.

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

http://uztest.ru

Выполнить задания А6 и А1

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

Зарядка для глаз

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

21-24 балла- оценка «5»

17-20 баллов -оценка «4»

12-16 баллов –оценка «3»

0-11 баллов – оценка «2»

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

Демокрит

“ Хорошими люди становятся больше от упражнений, чем от природы”

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

100 000 р. за 1 копейку

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

100 000 за 1 копейку

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.
«Бывают же такие удачи,- рассказывал он домашним.- Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.
Сделаем,- говорит,- с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно вымолвить - всего только одну копейку.
Одну копейку? - переспрашиваю.
Одну копейку,- говорит.- За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.
Ну,- не терпится мне.- А дальше?
А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую 8, за пятую - 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

Получил за

Отдал

Получил за

Отдал

21-ю сотню

22-ю сотню

10 485 р.76 коп.

20 971 р.52 коп.

23-ю сотню

20 971 р.52 коп.

24-ю сотню

41 943 р. 04 коп.

25-ю сотню

167 772 р. 16 коп.

26-ю сотню

335 544 р. 32 коп.

27-ю сотню

128 коп.=1р.28 к.

671 088 р. 64 коп.

10-ю сотню

28-ю сотню

1 342 177 р. 28 коп.

29-ю сотню

30-ю сотню

2 684 354 р. 56 коп.

5 368 709 р. 12 коп.

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

Богач отдал: S 30

Дано: b 1 =1; q=2; n=30.

S 30 =?

Решение

S n =

b 30 =1∙2 29 = 2 29

S 30 =2∙2 29 – 1= 2 ∙5 368 709 р.12 коп.–1коп. =

= 10 737 418 р. 23 коп.

10 737 418 р. 23 коп. - 3 000 000 р. = 7 737 418 р. 23 коп. – получил незнакомец

Ответ : 10 737 418 р. 23 коп.

Устимкина Л.И. Большеберезниковская СОШ

1 слайд

Закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед”. Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая, которую мы приводим в вольной передаче.

2 слайд

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия d = 3 арифметическая прогрессия d = – 2 геометрическая прогрессия q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия q = 2 последовательность чисел

3 слайд

4 слайд

Изучена данная тема, Пройдена теории схема, Вы много новых формул узнали, Задачи с прогрессией решали. И вот в последний урок Нас поведет Красивый лозунг “ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”

5 слайд

Решение: Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: а1–Доля первого – x, а2–Доля второго – x+y, а3–Доля третьего – x+2y, а4–Доля четвертого – x+3y, а5–Доля пятого – x+4у. На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

6 слайд

Задача 1: (задача из папируса Ринда) Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

7 слайд

8 слайд

9 слайд

Урок сегодня завершён, Дружней вас не сыскать. Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут.

10 слайд

11 слайд

Ответы: 6.1 (20,4) (И) 6.2. (является), 6.5. (6;8,2;10’4;12’6;14’8;17.), 6.8. (b1=34 или b1= –34).

12 слайд

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла: 6.1. 1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. 6.2. 1) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (ап), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8? 6.5. 1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию. 6.8. 1) В геометрической прогрессии b12 = З15 и b14 = З17. Найдите b1.

13 слайд

Ответы: 1) 102; (П) 2) 0,5; (В) 3) 2; (Р) 4) 6; (Г) 5) – 1,2; (Е) 6) 8; (С)

14 слайд

«Карусель» - обучающая самостоятельная работа 1)Дано: (а n), а1 = – 3, а2 = 4. Найти: а16 – ? 2)Дано: (b n) , b 12 = – 32, b 13 = – 16.Найти: q – ? 3)Дано: (а n), а21 = – 44, а22 = – 42. Найти: d - ? 4)Дано: (b n) , bп > 0, b2 = 4, b4 = 9. Найти: b3 – ? 5)Дано: (а n), а1 = 28, а21 = 4. Найти: d - ? 6) Дано: (b n) , q = 2. Найти: b5 – ? 7) Дано: (а n), а7 = 16, а9 = 30. Найти: а8 –? 1) (П) ;2) (В) ;3) (Р); 4) (Г); 5) (Е); 6) (С).

15 слайд

Свойства геометрической прогрессии Дано: (b n) геометрическая прогрессия, b n >0 b4=6; b6=24 Найти: b5 Решение: используя свойство геометрической прогрессии имеем: Ответ: 12(Д) Решение

16 слайд

Свойства арифметической прогрессии Дано: (а n) арифметическая прогрессия а4=12,5; а6=17,5 Найти: а5 Решение: используя свойство арифметической прогрессии имеем: Ответ: 15(О) Решение

17 слайд

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат, константа C которого равна 3a+12d. Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d. Пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные числа. Расположим её члены в таблицу.

18 слайд

Занимательное свойство арифметической прогрессии. А теперь, рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Нам дана “стайка девяти чисел” 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33

Включить эффекты

1 из 26

Отключить эффекты

Смотреть похожие

Код для вставки

ВКонтакте

Одноклассники

Телеграм

Рецензии

Добавить свою рецензию

Слайд 1

Учитель математики Семьянинова Е.Н. МБОУ «Воронежская кадетская школа им. А.В. Суворова»

Слайд 2

Игре на фортепиано; научиться этому можно лишь Д. Пойа.

Слайд 3

Французское слово «десерт» означает сладкие блюда, подаваемые в конце обеда. Названия некоторых десертов, пирожных и мороженного, также имеют французское происхождение.Например, мороженое «пломбир» получило свое название от французского города Пломбьер. Где оно впервые было изготовлено по особой рецептуре.

Слайд 4

Узнайте, как переводится французское слово «безе» (легкое пирожное из взбитых яичных белков и сахара)?

Слайд 5

Слайд 6

молния - перевод французского слова «эклер» (пирожное из заварного теста с кремом внутри).

Слайд 7

Прогрессии в жизни и быту

В природе все продумано и совершенно.

Слайд 8

Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 5 дм., а каждый следующий – на 2 дм. длиннее. Найдите длину семи таких стержней. Ответ: 77 дм.

Слайд 9

В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? Ответ: 121

Слайд 10

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней. 18 тонн

Слайд 11

Тело падает с башни, высотой 26 м. В первую секунду проходит 2м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдет тело до удара о землю? Ответ: 4 секунды

Слайд 12

За первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам. Ответ: 30 дней

Слайд 13

Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй автомобиль, который в первый час прошел 20 км, а каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км? Ответ: 2 часа

Слайд 14

Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр? Ответ:1900

Слайд 15

Немного истории

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах».

Слайд 16

На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед.

Слайд 17

В 1544 г. вышла книга немецкого математика М. Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу:

Слайд 18

128 -3 7 -3+7=4 4 16 -4 -2 -1 0 1 2 3 5 6 64 6-(-1)=7 32 1 2 4 8

Слайд 19

кросснамбер

а б д е в г ж

Слайд 20

5 1 1 2 1 1 2 6 5 0 0 5 0 0 8 1 3 а б в г д е ж

Слайд 21

Решение задач

Слайд 22

1. Решение: b2=3q, b3=3q2 , q=-5; -4; -3; -2; -1 3; -15; 75 3; -12; 48;… 3; -9; 27;… 3; -6; 12;… 3; -3; 3;… Ответ:

Слайд 23

2. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найдите эти числа. Решение: Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2

Слайд 24

3. Уравнение имеет корни, а уравнение – корни. Определите k и m, если числа – последовательные члены возрастающей геометрической прогрессии. подсказка Решение: - геометрическая прогрессия Ответ: k=2, m=32

Слайд 25

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Слайд 26

литература

Посмотреть все слайды

Конспект

МБОУ «Воронежская кадетская

школа им. А.В. Суворова»

Семьянинова Е. Н.

Умение решать задачи – практическое искусство,

подобное плаванию или катанию на лыжах, или

подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.

Найдите сумму одиннадцати членов арифметической прогрессии, первый член которой равен – 5, а шестой равен – 3,5.

Ответ: 77дм

Ответ: 18 тонн

Ответ: 4 секунды

Улитка

метрам. (Слайд 12)

Ответ: 30 дней

Ответ: 1900

Другой пример.

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Нетрудно сообразить:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

V. Кросснамбер. (Слайд 19-20)

Работа в группах.

По горизонтали:

;

127; -119; …;

По вертикали:

Дана геометрическая прогрессия 3; b2; b3;…, знаменатель которой - целое число. Найдите эту прогрессию, если

12q2 + 72q +35 =0

Значит, q=-5; -4; -3; -2; -1


Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2

k и m

По теореме Виета

Искомые числа: 1; 2; 4; 8.

Ответ: k= 2, m= 32

VII. Домашнее задание.

Решите задачи.

Литература:

Алгебра 9 класс. Задания дл обучения и развития учащихся/ сост. Беленкова Е.Ю. «Интелект - Центр». 2005.

Библиотека журнала «Математика в школе». Выпуск 23.Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. Худадатова С.С. Москва. 2003.

Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.

Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/сост. Т.Е. Бондаренко. Воронеж. 2001.

МБОУ «Воронежская кадетская

школа им. А.В. Суворова»

Семьянинова Е. Н.

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

1) обобщить информацию по прогрессиям; совершенствовать навыки нахождения n-го члена и суммы n первых членов данных прогрессий с помощью формул; решение задач, в которых используются обе последовательности;

2) продолжить формирование практических навыков;

3) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью.

Умение решать задачи – практическое искусство,

подобное плаванию или катанию на лыжах, или

игре на фортепиано; научиться этому можно лишь,

подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.

I. Организационный момент. Объяснение целей урока. (Слайд 2)

II. Разминка. В мире интересного. (Слайд 3-6)

Французское слово «десерт» означает сладкие блюда, подаваемые в конце обеда. Названия некоторых десертов, пирожных и мороженного, также имеют французское происхождение. Например, мороженое «пломбир» получило свое название от французского города Пломбьер. Где оно впервые было изготовлено по особой рецептуре.

Используя найденный ответ и данные таблицы, узнайте, как переводится французское слово «безе» (легкое пирожное из взбитых яичных белков и сахара)?

Французское слово «безе» в переводе означает поцелуй. Второе из предложенных слов – «молния», является переводом французского слова «эклер» (пирожное из заварного теста с кремом внутри).

III. Прогрессии в жизни и быту. (Слайд 7)

Задачи на прогрессию - это не абстрактные формулы. Они берутся из самой нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические вопросы.

Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 5 дм, а каждый следующий - на 2 дм длиннее. Найдите длину семи таких стержней. (Слайд 8)

Ответ: 77дм

В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (Слайд 9)

Ответ: 18 тонн

Тело падает с башни, высотой 6 м. В первую секунду проходит 2м, за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдет тело до земли? (Слайд 11)

Ответ: 4 секунды

Улиткаползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150

метрам. (Слайд 12)

Ответ: 30 дней

Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр? (Слайд 14)

Ответ: 1900

IV.Немного истории. (Слайд 15-16)

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». На связь между прогрессиями первым, по-видимому, обратил внимание Архимед. В 1544 г. вышла книга немецкого математика М. Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу (Слайд 17):

В верхней строке – арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт.

А теперь представьте, что мы не умеем умножать и делить. Необходимо умножить, например, на 128. В таблице над написано -3, а над 128 написано 7. Сложим эти числа. Получилось 4. Под 4 читаем 16. Это есть искомое произведение.

Другой пример.

Разделим 64 на. Поступаем аналогично:

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:

2-4; 2-3; 2-2; 2-1; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Нетрудно сообразить:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

Можно сказать, что если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. (Слайд 18)

V. Кросснамбер. (Слайд 19-20)

Работа в группах.

Кросснамбер – один из видов числовых ребусов. В переводе с английского слово «кросснамбер» означает «кресточислица». При составлении кросснамберов применяется тот же принцип, что и при составлении кроссвордов: в каждую клетку вписывается один знак, «работающий» на горизонталь и на вертикаль.

В каждую клетку кресточислицы вписывается по одной цифре (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). А чтобы не было путаницы, номера заданий обозначаются буквами. Числа, подлежащие отгадыванию, - только целые положительные; запись таких чисел не может начинаться с нуля (т.е. 42 нельзя записывать как 042).

Некоторые задания из кросснамберов могут показаться расплывчатыми и допускающими несколько (а иногда и очень много) ответов. Но таков стиль кросснамберов. Если бы они всегда давали только однозначные ответы, то это не было бы игрой.

По горизонтали:

а) количество нечетных чисел натурального ряда, начиная с 13, сумма которых равна 3213;

в) сумма пяти первых членов геометрической прогрессии, четвертый член которой равен 3, а седьмой равен ;

д) сумма первых шести положительных членов арифметической прогрессии

127; -119; …;

е) третий член геометрической прогрессии (bn), у которой первый член равен 5, а знаменатель g равен 10;

ж) сумма -13 + (-9) + (-5) + … + 63, если ее слагаемые – последовательные члены арифметической прогрессии.

По вертикали:

А) сумма всех двузначных чисел, кратных девяти;

Б) удвоенный двадцать первый член арифметической прогрессии, у которой первый член равен -5, а разность равна 3;

В) шестой член последовательности, которая задана формулой n-го члена

Г) разность арифметической прогрессии, если.

VI. Решение нестандартных задач. (Слайд 21)

Дана геометрическая прогрессия 3; b2; b3;…, знаменатель которой - целое число. Найдите эту прогрессию, если

b2=3q, b3=3q2, тогда. Решим неравенство.

12q2 + 72q +35 =0

Значит, q=-5; -4; -3; -2; -1

Искомые последовательности: 3; -15; 75;…

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найдите эти числа. (Слайд 23).

В, с – искомые числа. Составим таблицу.


Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

По условию сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26, т.е. , в=6

Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2

Уравнение имеет корни, а уравнение – корни. Определите k и m , если числа – последовательные члены возрастающей геометрической прогрессии. (Слайд 24-25)

Так как числа образуют геометрическую прогрессию, имеем:

По теореме Виета

Получаем, так как последовательность возрастающая.

Искомые числа: 1; 2; 4; 8.

Ответ: k= 2, m= 32

VII. Домашнее задание.

Решите задачи.

Найдите геометрическую прогрессию, если сумма первых трех членов ее равна 7, а их произведение равно 8.

Разделите число 2912 на 6 частей так, чтобы отношение каждой части к последующей было равно

В арифметической прогрессии составляет и. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма равнялась 104?

Литература:

Алгебра 9 класс. Задания дл обучения и развития учащихся/ сост. Беленкова Е.Ю. «Интелект - Центр». 2005.

Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.

Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/сост. Т.Е. Бондаренко. Воронеж. 2001.

Скачать конспект