Используя полученный вывод допиши алгоритм решения уравнений. Решение простых линейных уравнений. Схема решения простейших линейных уравнений

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Рациональные выражения и рациональные уравнения

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Алгоритм решения рационального уравнения

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Пример решения рационального уравнения

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

Алгоритм решения уравнений :

1. Раскрыть скобки.

)

Алгоритм решения уравнений :

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.(при переносе меняем знак на противоположный )

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

(Примечание: часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными.)

Алгоритм решения уравнений :

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.(при переносе меняем знак на противоположный )

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

(Примечание: часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными.)

Алгоритм решения уравнений :

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.(при переносе меняем знак на противоположный )

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

(Примечание: часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными.)

Алгоритм решения уравнений :

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.(при переносе меняем знак на противоположный )

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

(Примечание: часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными.)

Алгоритм решения уравнений :

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.(при переносе меняем знак на противоположный )

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

(Примечание: часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными.)

Алгоритм решения уравнений :

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.(при переносе меняем знак на противоположный )

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

(Примечание: часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными.)

Алгоритм решения уравнений :

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.(при переносе меняем знак на противоположный )

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

(Примечание: часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными.)

Конспект урока по теме « Решение уравнений» (6 класс)

Цель урока: применять полученные знания при решении уравнений.

Тип урока: объяснение нового материала.

План урока:

    Выполнение заданий на упрощение выражений, заполнение таблицы и узнавание способа действия при решении уравнений.

    Через решение задач на взвешивание постановка проблемы решения новых уравнений.

    Запись алгоритма решения уравнений в конспект, в парах.

    Решение уравнений по алгоритму. Отработка только переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, сильные учащиеся решают уравнение до конца и в конце урока защищают решение.

Ход урока:

Упростить выражение:

Г

Заметим, сумма противоположных слагаемых равна 0.

    Решить задачу.

На одной чаше весов 5 буханок хлеба, на другой 1 такая буханка и гири в 5 кг, 2 кг и 1 кг. Определить вес 1 буханки хлеба.

Решение:

Пусть x кг – вес 1 буханки хлеба,

5 x кг – вес 5 таких буханок хлеба.

Можно составить уравнение: 5 x = x +8

Вычтем из обеих частей уравнения по x (снимем с обеих чашек весов по 1 буханке хлеба).

Можно к обеим частям уравнения прибавлять одно и то же числ о.

Получим 5 x- x = x- x +8.

Но x - x= 0, значит 5 x - x = 8.

Это уравнение можно получить из данного, если слагаемое x перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный.

Упрощая левую часть уравнения 5 x - x = 8, получим 4 x= 8.

Разделим на коэффициент при переменной обе части уравнения

Можно обе части уравнения умножать (делить) на одно и то же число (кроме 0).

Число 2 и есть уравнения 5 x = x +8 , так как 52=2+8.

Записать свойства уравнений в конспект.

3.Алгоритм решения уравнений.

1) слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа – в его правую часть, не забывая при переносе менять знаки на противоположные;

2) привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения;

3) разделить число в правой части уравнения на коэффициент при переменной.

Работа с правилом (ученики в парах рассказывают друг другу правило по карточке на слайде)

1) слагаемые, содержащие ………….., перенести в левую часть уравнения, а …….. – в его правую часть, не забывая при переносе …….. знаки на …………..;

2) привести ………. слагаемые в левой и правой частях уравнения;

3) …........... число в правой части уравнения на ……………. при переменной.

Немного истории.

Первый прием преобразования уравнений описал знаменитый арабский математик Мухаммед аль-Хорезми, живший в Хорезми и в Багдаде на рубеже IX – X вв. Одно из главных его сочинений в переводе с арабского означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Перенося члены уравнения из одной части в другую, мы в одной части их «уничтожаем», но зато в другой «восстанавливаем», меняя при этом их знаки на противоположные. Восстановление – по-арабски аль-джебр. От этого слова и произошло название – алгебра. Алгебра, которую вы будете изучать, возникла и развивалась много веков тому назад именно как наука о решении уравнений.

    Решение уравнений

Учащиеся с помощью слайдов разбирают решение уравнений и записывают решение в тетрадь.

1) 3x -12 = 0

    3x – 2 = 10

3) 2x – 2 = 10 - x


    Решение уравнений с выбором ответа

1) 5x – 2 = 18

2) 7x = x + 24

В. 7x – x = 24

    2x – 4 = 6x – 20

А. 2x - 6x = -20 + 4

Б. 6x – 2x = 4-20

В. 2x – 6x = 20 +4

    3x + 9 = x + 9

А. 3x + x = 9 + 9

Б. 3x – x = 9 – 9

В. 9 – 9 = x – 3x

Группе более сильных учащихся предлагается решить уравнения до конца и защитить свое решение.

Ответы: 4, 4, 4, 0.

    Найти ошибку

Упрощение выражений

Решение задачи

Работа с формулировкой алгоритма

Выбор правильной строки

Решение уравнений

Дополнительные баллы

Оценочная карточка самостоятельной работы ученика(цы) ………………….. Класса ………...

Упрощение выражений

Решение задачи

Работа с формулировкой алгоритма

Выбор правильной строки

Решение уравнений

Дополнительные баллы

0 б - задание не выполнено, 1 б - задание выполнено частично, 2 б - задание выполнено, но вам помогали, 3 б- задание выполнено полностью и самостоятельно

Оценочная карточка самостоятельной работы ученика(цы) ………………….. Класса ………...

Упрощение выражений

Решение задачи

Работа с формулировкой алгоритма

Выбор правильной строки

Решение уравнений

Дополнительные баллы

0 б - задание не выполнено, 1 б - задание выполнено частично, 2 б - задание выполнено, но вам помогали, 3 б- задание выполнено полностью и самостоятельно

Оценочная карточка самостоятельной работы ученика(цы) ………………….. Класса ………...

Упрощение выражений

Решение задачи

Работа с формулировкой алгоритма

Выбор правильной строки

Решение уравнений

Дополнительные баллы

0 б - задание не выполнено, 1 б - задание выполнено частично, 2 б - задание выполнено, но вам помогали, 3 б- задание выполнено полностью и самостоятельно

Оценочная карточка самостоятельной работы ученика(цы) ………………….. Класса ………...

Упрощение выражений

Решение задачи

Работа с формулировкой алгоритма

Выбор правильной строки

Решение уравнений

Дополнительные баллы

0 б - задание не выполнено, 1 б - задание выполнено частично, 2 б - задание выполнено, но вам помогали, 3 б- задание выполнено полностью и самостоятельно

Оценочная карточка самостоятельной работы ученика(цы) ………………….. Класса ………...

Упрощение выражений

Решение задачи

Работа с формулировкой алгоритма

Выбор правильной строки

Решение уравнений

Дополнительные баллы

0 б - задание не выполнено, 1 б - задание выполнено частично, 2 б - задание выполнено, но вам помогали, 3 б- задание выполнено полностью и самостоятельно

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна с переменной в знаменателе.

Например:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\) \(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)


Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9x^2-1}{3}\) \(=0\)
\(\frac{x}{2}\) \(+8x^2=6\)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.


Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

    Выпишите и «решите» ОДЗ.

    Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

    Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

    Решите полученное уравнение.

    Проверьте найденные корни с ОДЗ.

    Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.


Пример . Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

Ответ: \(3\).


Пример . Найдите корни дробно-рационального уравнения \(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\) \(=0\)

ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
\(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
\(x^2+7x+10≠0\)
\(D=49-4 \cdot 10=9\)
\(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\)
\(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)

Записываем и «решаем» ОДЗ.

Раскладываем \(x^2+7x+10\) на по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\) \(=0\)

Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.

\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\)
\(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\) \(=0\)

Сокращаем дроби

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

Раскрываем скобки

\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)

Приводим подобные слагаемые

\(2x^2+9x-5=0\)

Находим корни уравнения

\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\)

Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \(\frac{1}{2}\).