1. Принцип Гамильтона-Остроградского

В настоящее время стал одним из основополагающих принципов механики. Для голономных механических систем он может быть непосредственно получен как следствие принципа Даламбера - Лагранжа. В свою очередь, все свойства движения голономных механических систем могут быть получены из принципа Гамильтона - Остроградского.

Рассмотрим движение системы материальных точек относительно некоторой инерциальной системы отсчета под действием активных сил Пусть возможные перемещения точек системы стеснены идеальными голономными связями. Обозначим декартовы координаты точки через а независимые лагранжевы координаты через Зависимость между декартовыми и лагранжевыми координатами задается соотношениями

В дальнейшем будем предполагать, что координаты представляются однозначными, непрерывными и сколь угодно раз дифференцируемыми функциями переменных Кроме того, будем предполагать, что из каждого положения системы параметры могут изменяться как в положительном, так и в отрицательном направлении. Движение системы будем рассматривать начиная с некоторого момента времени до момента Пусть начальному положению системы отвечают значения

лагранжевых координат а положению системы в момент - значения Введем в рассмотрение -мерное расширенное пространство координат и времени в котором каждому конкретному положению системы отвечает одна точка. В таком расширенном -мерном пространстве движение системы представляется некоторой кривой, которую в дальнейшем будем называть траекторией системы. Начальному и конечному положениям системы здесь будут соответствовать две точки . В действительном движении системы из положения в положение лагранжевы координаты непрерывно изменяются, определяя в -мерном пространстве кривую, которую будем называть действительнойтраекторией системы. Можно заставить перемещаться систему в соответствии с наложенными на систему связями из положения в положение за тот же интервал времени, но по другой траектории, близкой к действительной, не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения движения. Такую траекторию в -мерном пространстве назовем окольной траекторией. Сравнивая движения по действительной и окольным траекториям, зададимся целью определить действительную траекторию среди окольных. Пусть положение системы в момент на действительной траектории отмечается точкой Р, а положение системы в тот же момент времени на окольной траектории - точкой Р (рис. 252).

Отрезок соединяющий две точки на различных траекториях в один и тот же момент времени, будет представлять возможное перемещение системы в момент Он соответствует изменению лагранжевых координат в момент при переходе из положения Р в положение Р на величину Возможному перемещению системы будут отвечать вариации декартовых координат которые могут быть выражены через вариации координат Лагранжа в виде равенств

Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство «траекторий»

каждая из которых соединяет точки проходя через них в моменты времени соответственно, и пусть значению параметра отвечает действительная траектория (прямой путь), которую проходит система за время из положения в положение Значениям а, отличным от нуля, отвечают «окольные» траектории (окольные пути), т. е. все остальные траектории, соединяющие точки за время Перемещению системы вдоль какой-либо траектории будет соответствовать изменение лагранжевых координат за счет изменения времени когда параметр а остается неизменным. Параметр а будет меняться лишь при переходе с одной траектории на другую. Вариация координаты будет теперь определяться следующим образом:

а производная по времени от координаты будет иметь вид

Пусть лагранжевы координаты являются однозначными непрерывными дифференцируемыми функциями от . Тогда

Полученные соотношения в механике называются «перестановочными». Операции дифференцирования перестановочны только тогда, когда все координаты независимы и не связаны неинтегрируемыми соотношениями.

Покажем, что перестановочность операций варьирования и дифференцирования выполняется и для декартовых координат. Пусть

Рассмотрим производную по времени от

С другой стороны,

Вычитая второе равенство из первого, получим

откуда следует

т. e. операции дифференцирования и варьирования перестановочны и для декартовых координат, если на систему материальных точек наложены только голономные идеальные связи.

Перейдем к определению действительной траектории среди всех окольных. Действительное движение системы происходит в соответствии с принципом Даламбера - Лагранжа

который определяет «тенденцию» истинного движения (действительного движения) в каждый момент времени. Рассмотрим интеграл

взятый вдоль действительной траектории системы. Все сравниваемые траектории системы начинаются в один и тот же момент времени и из одной и той же точки -мерного пространства. Все они оканчиваются в одной и той же точке в один и тот же момент времени. Поэтому на концах траекторий при будут выполняться условия

Преобразуем полученное уравнение, проинтегрировав по частям выражение

а так как на концах траектории вариации обращаются в нуль, будем иметь

В силу перестановочности операций дифференцирования и варьирования, имеем

после чего уравнение принимает вид

В таком виде полученное уравнение выражает «принцип наименьшего действия» Гамильтона для общих механических систем. На действительной траектории системы обращается в нуль интеграл от функции

Если силы, действующие на систему, обладают силовой функцией , то имеет место соотношение

а выведенное выше уравнение принимает вид

Так как варьирование не связано с изменением времени, то операции варьирования и интегрирования можно поменять местами:

т. e. интеграл на действительной траектории имеет стационарное значение.

Мы показали необходимость стационарного значения интеграла на действительной траектории. Покажем, что обращение вариации интеграла в нуль является достаточным условием действительного движения системы. Для этого достаточно из принципа Гамильтона получить уравнения движения системы.

Рассмотрим механическую систему с голономными идеальными связями, положение которой определяется лагранжевыми координатами а живая сила

зависит от обобщенных скоростей, координат и времени. Принимая во внимание известное соотношение

перепишем принцип Гамильтона в виде

Выполняя варьирование живой силы

и интегрируя затем по частям

так как на концах интервала вариации координат равны нулю, из принципа Гамильтона получим

Вариации произвольны и независимы внутри интервала а тогда в силу основной леммы вариационного исчисления равенство будет возможно только тогда, когда все коэффициенты при обращаются в нуль, т. е. когда выполняются условия

Полученные уравнения должны выполняться в действительном движении механической системы. Достаточность принципа Гамильтона доказывается тем, что эти уравнения являются уравнениями Лагранжа второго рода, описывающими движение механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи.

Принцип Гамильтона для механических систем с голономными идеальными связями можно теперь сформулировать следующим образом:

Действительное движение системы с голономными идеальными связями между двумя заданными положениями отличается от кинематически возможных между этими положениями движений, совершаемых за тот же промежуток времени, тем, что на действительном движении обращается в нуль интеграл

для всех значений удовлетворяющих указанным условиям.

ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО ПРИНЦИП

Стационарного действия принцип,- общий интегральный вариационный принцип классической механики, установленный У.

Гамильтоном для голономных систем, стесненных идеальными стационарными связями, и обобщенный М. В. Остроградским на нестационарные , связи. Согласно Г. - О.

имеет стационарное значение по сравнению с близкими кинематически-возможными движениями, для которых начальное и конечное положения системы и время движения одинаковы с таковыми для действительного движения. Здесь Т - кинетическая, U - потенциальная энергии, L-T - U функция Лагранжа системы. В нек-рых случаях истинное соответствует не только стационарной точке функционала S, но и доставляет ему наименьшее значение. Поэтому Г. -О. п. часто наз. принципом наименьшего действия. В случае непотенциальных активных сил F v условие стационарности действия dS= 0 заменяется условием

Лит. : Hamilton W., Report of the Fourth Meeting of the British Association for the Advancement of Science, L., 1835, p. 513-18; Оstrоgradskу M., "Mem. de 1"Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, № 3, p. 33-48.

В. В. Румянцев.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО ПРИНЦИП" в других словарях:

Принцип Фишера эволюционная модель, которая объясняет, почему преобладающим в природе является соотношение полов разновидностей живых организмов, примерно 1:1; при котором гены для производства большего числа особей обоего пола… … Википедия

Гамильтона (также просто принцип Гамильтона), точнее принцип стационарности действия способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного (часто экстремального, обычно, в связи со сложившейся традицией… … Википедия

Рефракция волн по Гюйгенсу … Википедия

В методологии науки утверждение, что любая новая научная теория при наличии старой, хорошо проверенной теории находится с ней не в полном противоречии, а даёт те же следствия в некотором предельном приближении (частном случае). Например, закон… … Википедия

Дискретный принцип максимума Понтрягина для дискретных по времени процессов управления. Для такого процесса М. п. может не выполняться, хотя для его непрерывного аналога, получающегося заменой конечно разностного оператора на дифференциальный… … Математическая энциклопедия

Или начало Гамильтона, в механике и математической физике служит для получения дифференциальных уравнений движения. Этот принцип распространяется на всякие материальные системы, каким бы силам они ни были подвержены; сначала мы выскажем его в том … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Постулат квант. механики, требующий совпадения её физ. следствий в предельном случае больших квантовых чисел с результатами классич. теории. В С. п. проявляется тот факт, что квант. эффекты существенны лишь при рассмотрении микрообъектов, когда… … Физическая энциклопедия

вариационный принцип Гамильтона - Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton variation principle vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. вариационный принцип Гамильтона, m pranc. principe variationnel d’Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

Постулат квантовой механики (См. Квантовая механика), требующий совпадений её физических следствий в предельном случае больших квантовых чисел (См. Квантовые числа) с результатами классической теории. В С. п. проявляется тот факт, что… … Большая советская энциклопедия

- (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… … Физическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Действие (физика). Действие Размерность L2MT−1 Действие в физике скалярная физическая величина, являющаяс … Википедия

Книги

• Принципы движения экономической системы. Монография , Куснер Юрий Семенович, Царев Игорь Геннадьевич. Представлены в аналитическом виде основные уравнения движения экономической системы и решена задача поиска адекватных методов управления ее движением. Использован математический аппарат,…

ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕКТРОН - ВОЛНА И ЧАСТИЦА

Обратим внимание на такой эксперимент. Электроны, определенной энергии, вылетая из источника, по одиночке проходят через маленькие отверстия в поставленной на их пути преграде, а затем попадают на фотопластинку, или на люминесцирующий экран, где оставляют след. После проявления фотопластинки на ней можно увидеть совокупность чередующихся светлых и темных полос, т.е. дифракционную картину, которая представляет собой довольно сложное физическое явление, включающее, как, собственно, дифракцию (т.е. огибание волной препятствия) так и интерференцию (наложение волн).

Не останавливаясь на деталях, рассмотрим это явление. Отметим следующие моменты:

− и дифракция, и интерференция, наблюдаемая в таком опыте

с электронами, говорят о проявлении ими (и, вообще, микрочастицами) волновых свойств, ибо только волны способны огибать препятствие и налагаться друг на друга в месте встречи;

− даже, когда электроны проходят через отверстие по одиночке (т.е. с большим интервалом) результирующая дифракционная картина остается такой же, как при массированном обстреле, что говорит

о проявлении волновых свойств каждым отдельным электроном;

− чтобы объяснить дифракцию электронов, необходимо сопоставить с их движением какую-то волновую функцию, свойства которой должны определять наблюдаемую дифракционную картину. Но раз есть волновая функция, то должно быть и волновое уравнение, решением которого эта функция является.

Таким образом, мы начнем изучение не самого уравнения, а функции, т.е. решения волнового уравнения. Но вначале мы вспомним принцип Гамильтона, работающий в квантовой механике как аксиома.

ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

В 1833г. сэр Гамильтон в работе "Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов некоторой характеристической функции" изложил идею, которая состояла в следующем:

Изложение законов механики начинается обычно с законов Ньютона. Но, можно начать с "другого конца", а именно с формулировки весьма общего утверждения, именуемого принципом наименьшего действия . Согласно этому принципу реальному движению механической системы (в отличии от всех других ее мыслимых

движений) отвечает экстремальное (а для достаточно малого промежутка времени ∆ t = t 2 − t 1 − минимальное) значение интеграла, назы-

ваемого "действием" S = ∫ Ldt ,

где L - некоторая функция координат, скоростей и, вообще говоря, времени, именуемая "функцией Лагранжа".

Как показал Гамильтон, любой величине в механике отвечает аналогичная ей величина в геометрической оптике. Так, распространение плоской волны можно представить, как перемещение в пространстве поверхности постоянной фазы ϕ = const . В то же время движению системы тождественных материальных точек вдоль пучка траекторий можно сопоставить перемещение в пространстве некоторой поверхности постоянного действия S = const . Аналогия "фаза"- "действие" может быть продолжена, тогда "подобными" окажутся такие величины как энергия и частота, а также импульс и волновой вектор, (то есть, подобны формулы, хотя смысл различен).

E = − ∂ ∂ S t ; ω = − ∂ ∂ ϕ t ; p = S ; k = ϕ .

− ″ набла″ оператор, введенный Гамильтоном

= ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k .

Обнаруженная Гамильтоном оптико− механическая аналогия более 100 лет не привлекала внимания. И только де Бройль понял значение этой аналогии для двойственной природы микрообъекта (на соотношении де Бройля мы остановимся позднее). Однако для дальнейшей работы нам понадобится сопоставить объект с массой покоя и волну.

ФОРМУЛА ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ.

Согласно принципу Гамильтона одномерному движению электрона (объекта с массой покоя) в направление оси "x" можно сопоставить плоскую монохроматическую волну:

	Ψ = A cos 2π					−ν t
	Ψ = A sin 2π					−ν t

Ψ − амплитуда (с максимальным абсолютным значением A ) ,

λ - длина волны, ν - частота, t - время.

Введем круговую частоту ω = 2 πν и волновой вектор k = 2 λ π n ,

где n − единичный вектор, указывающий направление перемещения плоской волны; Тогда:

Ψ = Acos(kx − ω t)

Ψ = A sin(kx − ω t ) (6)

Выражение (kx − ω t ) называется фазой волны (ϕ ).

Удобнее записать выражение (6) в эквивалентной комплексной форме:

Ψ = A (cosϕ + i sinϕ ) = Ae i ϕ , (7)

где A − тоже может быть комплексным. Выражение e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (8) − формула Эйлера.

Функция (8) периодична с периодом 2 π n (n = 0, ± 1; ± 2;...). В

(7) имеются как волновые так и дискретные характеристики соответствующие периоду (8). Таким образом, мы сделали первый шаг к получению волновой функции, которая сопоставима движению свободного электрона, написав формулу (7).

ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПОИСКА ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК.

Итак, электрону может быть сопоставлена частица без массы покоя, проявляющая волновые свойства. Этот факт был на основании принципа Гамильтона сначала предсказан выдающимся французским физиком Луи де Бройлем в 1924г, а затем установлен экспериментально в 1927г. американцами Дж. Дэвиссоном и А. Джермером.

Луи де Бройль предположил, что свободно движущемуся электрону с импульсом p и энергией E можно сопоставить волну с волновым вектором k и частотой ω , причем:

	p = h					(9) и E = h ω (10).

(Вспомним, что h = 2 h π = 1,054 10 − 34 Дж с)

Эти соотношения сыграли выдающуюся роль, в истории создания квантовой физики, поскольку являются соотношениями, доказанными экспериментально. Разберемся в сути экспериментов Дэвиссона и Джеррмера. Дэвиссон, изучая отражение электронов от твердых тел, стремился "прощупать" конфигурацию электрического поля, окружающего отдельный атом, т.е. искал электронные оболоч-

ки атомов. В 1923г. совместно со своим учеником Г. Кансманом он получил кривые распределения рассеянных электронов по углам в зависимости от скорости первоначального (нерассеянного) пучка.

Схема установки очень проста, изменяли энергию пучка, угол падения на мишень, положение детектора. Согласно классической физике, рассеянные электроны должны вылетать во всех направлениях. Их интенсивность не должна зависеть ни от углов, ни от энергии. Так и получалось в опытах Дэвиссона и Кансмана. Почти..., но небольшие максимумы на кривых распределения по углам от энергий все-таки были, их объяснили неоднородностью полей около атомов мишени. Немецкие физики Дж. Франк и В. Эльзассер предположили, что это − от дифракции электронов. Спор помог разрешить случай. В 1927г. Девиссон вместе с Джермером проводил опыт с никелевой пластинкой. В установку случайно попал воздух, и поверхность металла окислилась. Пришлось удалить окисную пленку отжигом кристалла в высокотемпературной печи в восстановительной среде, после чего опыт продолжили. Но результаты стали иными. Вместо монотонного (или почти монотонного) изменения интенсивности рассеянных электронов от угла наблюдались ярко выраженные максимумы и минимумы, положение которых зависело от энергии электронов. Причина столь резкого изменения картины рассеяния − образование в результате обжига монокристаллов никеля, которые служили дифракционными решетками. Если де Бройль прав, и электроны обладают волновыми свойствами, то картина рассеяния должна напоминать рентгенограмму, а расчет рентгенограммы проводится по формуле Брэгга, которая была уже известна. Так, для случая, представленного на рисунке, угол α между плоскостью Брэгга и направлением максимального рассеяния электронов составляет 650 . Измеренное рентгенографическим методом расстояние "а" между плоскостями в монокристалле Ni равно 0,091 нм.

Уравнение Брэгга, описывающее положение максимумов при дифракции, имеет вид: n λ = 2asin α (n - целое число).

Принимая n = 1 и используя экспериментальные значения ″ а ″

и ″ α ″ , получаем для λ :

λ = 2 0,091 sin 650 = 0,165 нм.

Формула де Бройля:

что превосходно согласуется с экспериментом. Впоследствии аналогичные результаты были получены Том-

соном (1928г) и в 1930г многими другими физиками.

Таким образом, как эксперимент, так и теория показали двойственность поведения электрона. Несмотря на революционность этой точки зрения, внутренняя структура электрона все же оставалась неясной. Однако, в науке часто происходят события, благодаря которым удается обойти непреодолимые участки познания и сделать определенные шаги на пути прогресса обходным путем.

В 1920 годах на заре квантовой механики физики поставили перед собой другую задачу − построить механику микромира, т.е. найти законы, определяющие движение электрона в различных ус-

ловиях, не прибегая к моделям, описывающим его внутреннюю структуру.

Итак: имеем микрообъект с отрицательным зарядом и определенной массой, совмещающей в себе каким-то образом свойства волны и частицы. Спрашивается: каковы особенности физического описания движения такого микрообъекта? Одна особенность уже ясна. Движение без потери энергии может совершать только частица без массы покоя, имеющая исключительно волновые свойства, то есть фотон. Но другая особенность этого объекта заключается в том, что он лишен покоя. Объединение этих двух особенностей микрочастицы требует специальных аксиом, или, принципов. Один из важнейших принципов описания таких объектов, которые в неуловимые моменты меняют свою суть и отражают то волновые, то корпускулярные свойства − принцип неопределенности.

Использование принципа Даламбера позволяет не учитывать силы реакции связей и дает возможность применять произвольные обобщенные координаты. Однако, получение уравнений в обобщенных координатах может представлять трудности из-за наличия в принципе Даламбера (2.13) скалярных произведений. С помощью преобразований координат уравнения (2.13) можно преобразовать к виду, содержащему только скалярные функции обобщенных координат. Мы укажем другой путь, когда вначале от принципа Даламбера переходят к интегральному вариационному принципу. Получение уравнений механики из вариационного принципа позволило получить много важных результатов. В дальнейшем вариационные принципы стали использовать и в других областях теоретической физики.

Рассмотрим случай, когда силы имеют потенциал. Тогда виртуальная работа сил запишется в форме (2.14)

В общем случае потенциальная энергия может зависеть от времени. Поскольку вариация вычисляется при фиксированном , это никак не сказывается на выводах. При использовании обобщенных координат потенциальная энергия в конечном счете является функцией обобщенных координат. Тогда вариация потенциальной энергии будет иметь вид

(2.15)

По аналогии с выражениями (1.12) частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам называют Обобщенными силами:

Для того чтобы преобразовать слагаемые с ускорениями к вариации от скалярной функции, предварительно проинтегрируем уравнение (2.9) по времени: . (2.17)

(2.18)

Будем считать, что начальное в момент времени И конечное в момент времени положения системы материальных точек заданы. Поэтому для этих моментов времени равно нулю, и первое слагаемое в (2.18) обращается в нуль. Так как вариации координат рассматриваются для фиксированных моментов времени, то производную по времени и варьирование можно переставить местами. Второе слагаемое в (2.18) преобразуется к виду

(2.19)

Такие же преобразования можно произвести для всех координат всех материальных точек. Учтем еще выражение (2.14) виртуальной работы через потенциальную функцию. В результате для интеграла (2.17) получим

. (2.20) Разность кинетической и потенциальной энергии, которая входит в последний из интегралов в формуле (2.20), называется Функцией Лагранжа и обозначается буквой . Функция Лагранжа зависит от координат и скоростей материальных точек. При переходе к обобщенным координатам она выражается через обобщенные координаты и обобщенные скорости:

Время может и не входить в функцию Лагранжа. Интеграл из (2.20) обозначается буквой и называется Действием; (2.22)

После введения этих обозначений условие (2.20) принимает вид . (2.23)

Вариация действия равна нулю. Это означает, что действие имеет экстремум, принимает наибольшее или наименьшее значение, если в интеграл (2.22) в качестве зависимости подставить функции, описывающие движение механической системы. Поэтому условие экстремума действия можно использовать для отыскания закона движения системы материальных точек.

Теперь можно сформулировать Интегральный принцип, называемый Принципом Гамильтона: Движение механической системы за конечный промежуток вре­мени от До Происходит таким образом, что действие имеет при этом экстремум.

Для консервативных систем принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона. Поэтому он может считаться основным принципом механики, из которого выводятся все уравнения механики.. Это - вариационный принцип, так как зависимость обобщенных координат от времени находится из условия минимума интеграла действия. Одним из преимуществ применения принципа Гамильтона является то, что в него входят только скалярные функции, которые можно пересчитать к произвольным обобщенным координатам. Поэтому уравнения, которые вытекают из вариационного принципа, оказываются сразу записанными в обобщенных координатах. Получение уравнений механики из вариационного принципа так же позволило решить ряд фундаментальных вопро­сов классической механики.

Ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые с его помощью уравнения движения имеют название уравнений Эйлера - Лагранжа .

Первую формулировку принципа дал П. Мопертюи (P. Maupertuis) в году, сразу же указав на его универсальную природу, считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

История

Мопертюи пришёл к этому принципу из ощущения, что совершенство Вселенной требует определенной экономии в природе и противоречит любым бесполезным расходам энергии. Естественное движение должно быть таким, чтобы сделать некоторую величину минимальной. Нужно было только найти эту величину, что он и продолжал делать. Она являлась произведением продолжительности (время) движения в пределах системы на удвоенную величину, которую мы теперь называем кинетической энергией системы.

Эйлер (в «Réflexions sur quelques loix générales de la nature» , 1748) принимает принцип наименьшего количества действия, называя действие «усилием». Его выражение в статике соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией , так что его утверждение наименьшего действия в статике эквивалентно условию минимума потенциальной энергии для конфигурации равновесия.

В классической механике

Принцип наименьшего действия служит фундаментальной и стандартной основой лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики.

Вначале рассмотрим построение таким образом лагранжевой механики . На примере физической системы с одной степенью свободы , напомним, что действие - это функционал относительно (обобщенных) координат (в случае одной степени свободы - одной координаты ), то есть выражается через так, что каждому мыслимому варианту функции сопоставляется некоторое число - действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции вычислить вполне определенной число - также называемое действием). Действие имеет вид:

где есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты , её первой производной по времени , а также, возможно, и явным образом от времени . Если система имеет большее число степеней свободы , то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела.

То, что действие является скаляром, позволяет легко записать его в любых обобщенных координатах, главное только, чтобы положение (конфигурация) системы однозначно ими характеризовалось (например, вместо декартовых это могут быть полярные координаты, расстояния между точками системы, углы или их функции и т. д.).

Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории , какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:

Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения - уравнения Эйлера - Лагранжа , а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определенной задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений.

где - функция Гамильтона данной системы; - (обобщенные) координаты, - сопряженные им (обобщенные) импульсы, характеризующие вместе в каждый данный момент времени динамическое состояние системы и, являясь каждое функцией времени, характеризуя, таким образом, эволюцию (движение) системы. В этом случае для получения уравнений движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона надо проварьировать записанное так действие независимо по всем и .

Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей - магнитных зарядов - в электромагнитном поле . Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа.

Примеры

Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v ) в Евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии

в ортогональной системе координат .

В полярных координатах кинетическая энергия, и следовательно, функция Лагранжа становится

Радиальная и угловая компонента уравнений становятся, соответственно:

Решение этих двух уравнений

Здесь - это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а - постоянная Планка . Подчеркнём, что в принципе действие в экспоненте появляется (или может появляться) само, при изучении оператора эволюции в квантовой механике, однако для систем, имеющих точный классический (неквантовый) аналог, оно в точности равно обычному классическому действию.

Математический анализ этого выражения в классическом пределе - при достаточно больших , то есть при очень быстрых осцилляциях мнимой экспоненты - показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий в этом интеграле взаимосокращаются при этом в пределе (формально при ). Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем - минимуму). Это - чисто математический факт из теории функций комплексного переменного ; на нём, например, основан метод стационарной фазы .

В результате частица в полном согласии с законами квантовой механики движется одновременно по всем траекториям, но в обычных условиях в наблюдаемые значения дают вклад только траектории, близкие к стационарным (то есть классическим). Поскольку квантовая механика переходит в классическую в пределе больших энергий, то можно считать, что это - квантовомеханический вывод классического принципа стационарности действия .

В квантовой теории поля

В квантовой теории поля принцип стационарности действия также успешно применяется. В лагранжеву плотность здесь входят операторы соответствующих квантовых полей. Хотя правильнее тут в сущности (за исключением классического предела и отчасти квазиклассики) говорить не о принципе стационарности действия, а о фейнмановском интегрировании по траекториям в конфигурационном или фазовом пространстве этих полей - с использованием упомянутой только что лагранжевой плотности.

Дальнейшие обобщения

Более широко, под действием понимают функционал, задающий отображение из конфигурационного пространства на множество вещественных чисел и, в общем, он не обязан быть интегралом, потому что нелокальные действия в принципе возможны, по крайней мере, теоретически. Более того, конфигурационное пространство не обязательно является функциональным пространством, потому что может иметь некоммутативную геометрию.