Математика
Как решать 18 задание

Как решать 18 задание

ЕГЭ 2017. Математика. Задание 18. Задачи с параметром. Садовничий Ю.В.

М.: 2017. - 128 с.

Данная книга посвящена задачам, аналогичным задаче 18 ЕГЭ по математике (задача с параметром). Рассматриваются различные методы решения таких задач, также большое внимание уделяется графическим иллюстрациям. Книга будет полезна учащимся старших классов, учителям математики, репетиторам.

Формат: pdf

Размер: 1,6 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
§1. Линейные уравнения и системы линейных уравнений 5
Задачи для самостоятельного решения 11
§2. Исследование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта 12
Задачи для самостоятельного решения 19
§3. Теорема Виета 20
Задачи для самостоятельного решения 26
§4. Расположение корней квадратного трехчлена 28
Задачи для самостоятельного решения 43
§5. Применение графических иллюстраций
к исследованию квадратного трехчлена 45
Задачи для самостоятельного решения 55
§6. Ограниченность функции. Нахождение области значений 56
Задачи для самостоятельного решения 67
§7. Другие свойства функций 69
Задачи для самостоятельного решения 80
§8. Логические задачи с параметром 82
Задачи для самостоятельного решения 93
Иллюстрации на координатной плоскости 95
Задачи для самостоятельного решения 108
Метод «Оха» 110
Задачи для самостоятельного решения 119
Ответы 120

Данная книга посвящена задачам, аналогичным задаче 18 ЕГЭ по математике (задача с параметром). Наряду с задачей 19 (задача, при решении которой используются свойства целых чисел) задача 18 является наиболее сложной в варианте. Тем не менее, в книге предпринята попытка систематизировать задачи данного типа по различным методам их решения.
Несколько параграфов посвящены казалось бы такой популярной теме, как исследование квадратного трехчлена. Однако подчас подобные задачи требуют разных, порой самых неожиданных подходов к их решению. Один из таких нестандартных подходов продемонстрирован в примере 7 параграфа 2.
Часто при решении задачи с параметром необходимо исследовать данную в условии функцию. В книге формулируются некоторые утверждения, касающиеся таких свойств функций, как ограниченность, четность, непрерывность; после на примерах демонстрируется применение этих свойств к решению задач.

ЕГЭ по математике профильный уровень

Работа состоит из 19 заданий.
Часть 1:
8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности.
Часть 2:
4 задания с кратким ответом
7 заданий с развернутым ответом высокого уровня сложности.

Время выполнения - 3 часа 55 минут.

Примеры заданий ЕГЭ

Решение заданий ЕГЭ по математике.

Для самостоятельного решения:

1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек.
Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12802 киловатт-часа.
Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?
Ответ дайте в рублях.

Задача с решением:

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ = 5 корней из 3, SC = 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.

Решение:

1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5 sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.

2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, EP - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.

3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.

4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH = 2 AD).

5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Треугольники AEP и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и AP = AH/2, и EP = SH/2.

7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDP (нас как раз интересует угол EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Тангенс угла EDP = EP/DP = 6/5,
Угол EDP = arctg(6/5)

Ответ:

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек.
Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг.
Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям.
Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей.
Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?

В школе есть трехместные туристические палатки.
Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское).
Сколько часов поезд находится в пути?

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием - степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: - 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: - Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг - один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую - два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

ЕГЭ 2019 по математике задание 18 с решением

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 по математике

ЕГЭ по математике 2019 в формате pdf Базовый уровень | Профильный уровень

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

ЕГЭ 2019 по математике задание 18

ЕГЭ 2019 по математике профильный уровень задание 18 с решением

ЕГЭ по математике

Найдите все положительные значения параметра а,
при каждом из которых уравнение а x = x имеет единственное решение.

Пусть f(x) = a x , g(x) = x.

Функция g(x) - непрерывная, строго возрастающая на всей области определения и может принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности.

При 0 < a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.

При a = 1 функция f(x) тождественно равна единице, и уравнение f(x) = g(x) также имеет единственное решение x = 1.

При a > 1:
Производная функции h(x) = (a x - x) равна
(a x - x) = a x ln(a) - 1
Приравняем её к нулю:
a x ln(a) = 1
a x = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).

У производной единственный ноль. Слева от этого значения функция h(x) убывает, справа - возрастает.

Поэтому она либо вообще не имеет нулей, либо имеет два нуля. И один корень она имеет только в том случае, когда он совпадает с найденным экстремумом.

То есть, нам требуется найти такое значение a, при котором функция
h(x) = a x - x достигает экстремума и обращается в ноль в одной и той же точке. Иными словами, когда прямая y = x является касательной к графику функции a x .

A x = x
a x ln(a) = 1

Подставляем a x = x во второе уравнение:
x ln(a) = 1, откуда ln(a) = 1/x, a = e (1/x) .

Снова подставляем во второе уравнение:
(e (1/x)) x (1/x) = 1
e 1 = x
x = e.

А это подставляем в первое уравнение:
a e = e
a = e (1/e)

Ответ:

(0;1]{e (1/e) }

ЕГЭ по математике

Найти все значения параметра a, при которых функция
f(x) = x 2 - |x-a 2 | - 9x
имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение:

Раскроем модуль:

При x <= a 2: f(x) = x 2 - 8x - a 2 ,
при x > a 2: f(x) = x 2 - 10x + a 2 .

Производная левой части: f"(x) = 2x - 8
Производная правой части: f"(x) = 2x - 10

И левая, и правая части могут иметь только минимум. Значит, единственный максимум у функции f(x) может быть в том и только в том случае, если в точке x=a 2 левая часть возрастает (то есть 2x-8 > 0), а правая - убывает (то есть 2x-10 < 0).

То есть, получаем систему:
2x-8 > 0
2x-10 < 0
x = a 2

Откуда
4 < a 2 < 5

a ~ (-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

Ответ: (-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

В 18 задании - предпоследнем задании профильного уровня ЕГЭ по математике - необходимо продемонстрировать умение решать задачи с параметрами. В подавляющем большинстве данное задание представляет собой систему из двух уравнений с параметром а, и необходимо найти такие значения, при которых система будет вести себя заданным образом - иметь два или одно или вообще не иметь решений.

Разбор типовых вариантов заданий №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение:

(|x|–5) 2 +(y–4) 2 =4
(x–2) 2 +y 2 =a 2

Алгоритм решения:

Рассматриваем второе уравнения, устанавливаем, что является его графиком.
Определяем условие единственности решения.
Находим расстояние между центрами, определяем значения параметра.
Записываем ответ.

Решение:

1. Первое уравнение - это две окружности радиусами 3 и координатами центров С 2 (5;4) и С 2 (-5;4). Одну окружность задает данное уравнение при х≥0, а вторую – при х<0. Они не пересекаются и не касаются.

2. Второе уравнение - это одна окружность радиуса "а" с координатами центра: С (-2;0).

3. Наличие единственного решения означает, что одна окружность должна коснуться одной из окружностей в одной точке. Поэтому следует решить попарно две системы.

Естественно, в первом и втором случае получается пара корней т. е. координат касания внешним и внутренним образом.

Но стоит заметить что нас будут интересовать только корни определяющие касание внешнее левой окружности и касание внутреннее правой окружности. Т. к. два других уравнения противоречить условию и будут иметь более одного решения. Достаточно взглянуть на прилагаемый рисунок: