Физика
Универсальная формула перемножения эпюр. Определение перемещения методом Мора. Правило Верещагина. Перемножение эпюр по Верещагину

Универсальная формула перемножения эпюр. Определение перемещения методом Мора. Правило Верещагина. Перемножение эпюр по Верещагину

В общем случае (стержень переменного сечения, сложная система нагрузок) интеграл Мора определяется путем численного интегрирования. Во многих практически важных случаях, когда жесткость сечения постоянна по длине стержня, интеграл Мора может быть вычислен по правилу Верещагина. Рассмотрим определение интеграла Мора на участке от а до 6 (рис. 9.18).

Рис. 9.18. Правило Верещагина для вычисления интеграла Мора

Эпюры момента от единичного силового фактора состоят из отрезков прямых. Не нарушая общности, предположим, что в пределах участка

где А и В - параметры прямой:

Интеграл Мора на рассматриваемом участке постоянного сечения имеет вид

где F - площадь под кривой (площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил на участке z).

где - абсцисса центра тяжести площади .

Равенство (109) справедливо, когда в пределах участка не изменяет знак и может рассматриваться как элемент площади эпюры. Теперь из соотношений (107) -(109) получаем

Момент от единичной нагрузки в сечении

Вспомогательная таблица для использования правила Верещагина дана на рис. 9.19.

Замечания. 1. Если эпюра от действия внешних сил на участке линейна (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то правило можно применять в обращенном виде: площадь эпюры от единичного силового фактора умножить на ординату эпюры соответствующую центру тяжести площади . Это вытекает из приведенного доказательства.

2. Правило Верещагина может быть распространено на интеграл Мора в общем виде (уравнение (103)).

Рис. 9.19. Площади и положение центров тяжести эпюр моментов

Рис. 9.20. Примеры определения прогиба и углов поворота по правилу Верещагина

Основное требование при этом состоит в следующем: в пределах участка внутренние силовые факторы от единичной нагрузки должны быть линейными функциями вдоль оси стержня (линейность эпюр!).

Примеры. 1. Определить прогиб в точке А консольного стержня при действии сосредоточенного момента М (рис. 9.20, а).

Прогиб в точке А определяем по формуле (для краткости индекс опускается)

Знак минус связан с тем, что имеют разные знаки.

2. Определить прогиб в точке А в консольном стержне под действием распределенной нагрузки.

Прогиб определяем по формуле

Эпюры изгибающего момента М и перерезывающей силы Q от внешней нагрузки показаны на рис. 9.20, б, ниже на этом рисунке приведены эпюры при действии единичной силы. Далее находим

3. Определить прогиб в точке А и угол поворота в точке В для двухопорной балки, загруженной сосредоточенным моментом (рис. 9.20.).

Прогиб определяем по формуле (деформацией сдвига пренебрегаем)

Так как эпюра момента от единичной силы не изображается одной линией; то интеграл разбиваем на два участка:

Угол поворота в точке В равен

Замечание. Из приведенных примеров видно, что способ Верещагина в простых случаях позволяет быстро определить прогибы и углы поворота. Важно только применять единое правило знаков для Если условиться при изгибе стержня строить эпюры изгибающих моментов на «растянутом волокне» (см. рис. 9.20), то сразу легко видеть положительные и отрицательные значения моментов.

Особое преимущество правила Верещагина состоит в том, что оно может быть исполъвовано не только для стержней, но и для рам (разд. 17).

Ограничения для применения правила Верещагина.

Эти ограничения вытекают из вывода формулы (110), но обратим на них внимание еще раз.

1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 9.21, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл Мора необходимо вычислять отдельно для участков I и II.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 9.21, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого участка в отдельности. Это ограничение не относится к моменту от единичной нагрузки.

Рис. 9.21. Ограничения при использовании правила Верещагина: а - эпюра шсеет излом; б - эпюра имеет разные знаки; в - стержень имеет разные сечения

3. Жесткость стержня в пределах участка должна быть постоянна, иначе интегрирование следует распространять отдельно на участки с постоянной жесткостью. Ограничения по постоянной жесткости можно избежать, если строить эпюры .

Для балок и стержневых систем, состоящих из прямых стержней, внутренние усилия единичных состояний N k , M k и Q k являются линейными функциями или на всем протяжении каждого стержня, или на его отдельных участках. Внутренние усилия грузового состояния Np, М Р и Q P могут иметь произвольные законы изменения по длине стержней. Если балки и стержни имеют при этом постоянные или ступенчато-постоянные жесткости EF, EJ и GF, то вычисление интегралов в формуле Мора может быть произведено с помощью эпюр внутренних усилий.

Рассмотрим, например, эпюры изгибающих моментов М Р и М к в прямом стержне постоянной жесткости (рис. 8.31). Грузовая эпюра М Р является произвольной, а единичная эпюра М к - линейной. Начало отсчета координат поместим в точке пересечения линии эпюры М к с осью Ох. При этом изгибающий момент М к изменяется по закону М к = xtga. Вынося постоянную величину tga/ЕУв формуле (8.22) из-под знака интеграла и производя интегрирование по длине стержня, получим

Величина M P dx = dQ. P является элементом площади грузовой эпюры М р. При этом сам интеграл можно рассматривать как статический момент площади эпюры М Р относительно оси Оу, который равен

где Q. p - площадь эпюры х с - абсцисса ее центра тяжести. Учитывая, что x c tga = у с, получаем окончательный результат:

где у с - ордината в линейной эпюре М к под центром тяжести площади криволинейной эпюры М р (рис. 8.31).

Способ вычисления интегралов в формуле Мора с помощью формулы (8.23) называется правилом Верещагина или правилом «перемножения» эпюр. Согласно формуле (8.23) результат «перемножения» двух эпюр равен произведению площади нелинейной эпюры на ординату под ее центром тяжести в линейной эпюре. Если обе эпюры на рассматриваемом участке являются линейными, то при «перемножении» можно брать площадь любой из них. Результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных - отрицательным.

Результат «перемножения» двух трапеций (рис. 8.32) можно представить в виде следующей формулы:

При использовании правила Верещагина сложные эпюры надо разбить на простые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести. Чаще всего элементами разбиения являются треугольники и квадратные параболы (в случае действия равномерно распределенных нагрузок). Примеры разбиения эпюр приведены на рис. 8.33.

Однозначные или разнозначные трапеции можно разбить на два треугольника (рис. 8.33, а). Квадратная парабола с ординатами а и b в начале и конце участка разбивается на два однозначных или разнозначных треугольника и квадратную параболу с нулевыми начальным и конечным значениями (рис. 8.33, б). Ее площадь определяется по формуле

где q - интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Правило Верещагина нельзя применять в случае, когда обе эпюры являются нелинейными (например, для стержней с криволинейной осью), а также для стержней с переменной жесткостью EJ. В этом случае при определении перемещений методом Мора производится аналитическое или численное вычисление интегралов в формуле (8.20).

Пример 8.7. Для консольной балки постоянной жесткости EJ= const (рис. 8.34, а ) определим прогиб в сечении В и угол поворота сечения С.

Построим эпюру изгибающих моментов М Р от действия заданных нагрузок (рис. 8.34, б). Для определения искомых перемещений приложим в сечении В единичную силу Р = 1, в сечении С - единичный момент М = 1 и построим единичные эпюры М, и М 2 (рис. 8.34, в, г). Грузовую эпюру М р на втором участке разобьем на треугольник и квадратную параболу.

«Перемножим» грузовую и единичные эпюры между собой с помощью правила Верещагина. При «перемножении» эпюр М р и М х на первом участве используем формулу (8.24). В результате вычислений получим:

Направления перемещений совпадают с направлениями действия единичных нагрузок. Прогиб балки в сечении В происходит вниз, а сечение С поворачивается по ходу часовой стрелки.

Пример 8.8. Для шарнирно опертой балки постоянной жесткости (рис. 8.35, а) определим прогиб в сечении Си угол поворота сечения В.

Грузовая эпюра М р приведена на рис. 8.35, б. Приложим в сечении С единичную силу, в сечении В - единичный момент и построим единичные эпюры М х и М 2 (рис. 8.35, в, г). «Перемножив» грузовую эпюру М р с единичными эпюрами, найдем искомые перемещения:

При «перемножении» эпюр на втором участке использована формула (8.24). Сечение В

Пример 8.9. Для шарнирно опертой балки с консолью постоянной жесткости (рис. 8.36, а) определим прогиб в сечении С и угол поворота сечения D.

Определим опорные реакции от действия заданных нагрузок:

Построим грузовую эпюру М р (рис. 8.36, б). Соответствующие единичные эпюры приведены jHa рис. 8.36, в , г. «Перемножая» эпюру М Р с эпюрами М х и М 2 , найдем искомые перемещения:

Сечение С перемещается вверх, сечение D поворачивается против хода часовой стрелки.

Пример 8.10. Для балки ступенчато-постоянной жесткости с промежуточным шарниром (рис. 8.37, а) определим взаимный угол поворота и прогиб в сечении В.

Разобьем балку на несущую и несомую части (рис. 8.37, б) и определим опорные реакции для балки ЛВ

Грузовая эпюра М р и соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 8.37, в , г, д. Отметим, что для определения взаимного угла поворота сечений в промежуточном шарнире приложен парный единичный момент (слева и справа от шарнира).

«Перемножая» эпюру М Р с единичными эпюрами и учитывая ступенчатое изменение жесткости на участках АВ и ВС, найдем:

Пример 8.11. Для консольной рамы со стержнями различной жесткости (рис. 8.38, я) определим вертикальное и горизонтальное перемещения точки С и угол поворота сечения В.

Эпюра МрОТ внешней нагрузки показана на рис. 8.38, б. Влияние продольных и поперечных сил при определении перемещений не учитываем.

Эпюры М х, М 2 и М 3 от единичных сил и момента, приложенных в сечениях С и В, показаны на рис. 8.38, в, г, д. «Перемножая» грузовую эпюру М р с единичными эпюрами в пределах длины каждого стержня, определим искомые перемещения:

Поворот сечения В происходит против хода часовой стрелки. Горизонтальное перемещение точки С равно нулю.

Пример 8.12. Для шарнирно опертой рамы со стержнями различной жесткости (рис. 8.39, а) определим вертикальное перемещение точки С и горизонтальное перемещение точки В.

Определим опорные реакции:

Грузовая и соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 8.39, б, в, г. «Перемножив» эпюры в пределах длины каждого стержня, найдем:

В заключение приведем значения прогибов и углов поворота для консольных и шарнирно опертых балок при простых нагрузках.

Определение перемещений в системах, состоящих из прямолинейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специального приема вычисления интеграла вида . В связи с тем что в подынтегральное выражение входит произведение усилий являющихся ординатами эпюр, построенных для единичного и действительного состояний, этот прием называют способом перемножения эпюр.

Его можно использовать в случае, когда одна из перемножаемых эпюр, например прямолинейна; в этом случае (рис. Вторая эпюра может иметь любое очертание (прямолинейное, ломаное или криволинейное).

Подставим значение в выражение

где - дифференциал площади эпюры (рис. 17.11).

Интеграл представляет собой статический момент площади эпюры относительно оси (рис. 17.11).

Этот статический момент можно выразить иначе:

где - абсцисса центра тяжести площади эпюры

Но так как (см. рис. 17.11)

(26.11)

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади одной из них на ординату другой (прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А. Н. Верещагиным, а потому он называется правилом (или способом ) Верещагина.

Заметим, что левая часть выражения (26.11) отличается от интеграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения . Следовательно, результат выполненного по правилу Верещагина перемножения эпюр для определения искомого перемещения надо разделить на величину жесткости.

Очень важно отметить, что ордината должна быть взята обязательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры и (рис. 18.11, а), то не имеет значения, что взять: произведение площади эпюры на ординату под ее центром тяжести из эпюры или произведение Qkyt площади Q эпюры на ординату под (или над) ее центром тяжести из эпюры

Когда перемножаются две эпюры, имеющие вид трапеции, то не надо находить положение центра тяжести площади одной из них. Следует одну из эпюр разбить на два треугольника и умножить площадь каждого из них на ординату под его центром тяжести из другой эпюры. Например, в случае, приведенном на рис. 18.11, б, получим

(27.11)

В круглых скобках этой формулы произведение левых ординат обеих эпюр и произведение правых ординат берутся с коэффициентом, равным двум, а произведения ординат, расположенных с разных сторон, - с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (27.11) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных» трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные - минус. В случае, например, показанном на рис. 18.11, б, результат перемножения эпюр в виде «перекрученной» и обычной трапеций равен , а в случае, показанном на рис. 18.11, г, равен

Формула (27.11) применима и тогда, когда одна или обе перемножаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треугольник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Результат, например, перемножения эпюр, показанных на рис. 18.11, д, равен

Умножение эпюры в виде «перекрученной» трапеции на любую другую эпюру можно производить и расчленяя «перекрученную трапецию на два треугольника, как показано на рис. 18.11, е.

Когда одна из эпюр (рис. 19.11) очерчена по квадратной параболе (от равномерно распределенной нагрузки q), то ее для перемножения с другой эпюрой рассматривают как сумму (в случае, показанном на рис. 19.11, а) или разность (в случае, показанном на рис. 19.11,б) трапецеидальной и параболической эпюр

Результат перемножения эпюр, показанных на рис. 19.11, а, равен после подстановки в него получаем

Результат перемножения эпюр, показанных на рис. 19.11,б, равен после подстановки в него - и получаем

В обоих полученных выражениях в скобках стоят суммы произведений крайних ординат обеих эпюр с учетверенным произведением средних ординат.

Встречаются случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но одна из них (или обе) ограничена ломаными прямыми линиями. В этих случаях для перемножения эпюр предварительно разбивают их на такие участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра прямолинейна. Так, например, при перемножении эпюр, показанных на рис. 20.11, а,б, можно разбить их на два участка и представить результат перемножения в виде суммы Можно, перемножая эти же эпюры, разбить их на три участка, как показано на рис. 20.11, в,г; в этом случае результат перемножения эпюр равен

При использовании правила Верещагина приходится вычислять площади различных геометрических фигур и определять положения их центров тяжести. В связи с этим в табл. 1.11 приведены значения площадей и координаты центров тяжести наиболее часто встречающихся геометрических фигур.

В качестве примера рассмотрим применение способа Верещагина для определения прогиба точки С (под силой ) балки, изображенной на рис. 16.11, а; при этом учтем действие изгибающих моментов и поперечных сил.

Единичное состояние балки, а также эпюры внутренних усилий в ней, вызванных нагрузкой и единичной силой показаны на рис. 16.11,б,б,г,д,е.

По формуле (24.11), используя способ Верещагина при перемножении эпюр, находим

Этот результат совпадает с результатом, полученным путем интегрирования.

Определим теперь горизонтальное смещение точки С рамы, изображенной на рис. 21.11, а. Моменты инерции поперечных сечений стоек рамы и ригеля указаны на рисунке; .

Действительное состояние рамы изображено на рис. 21.11, а. Эпюра изгибающих моментов для этого состояния (грузовая эпюра) показана на рис. 21.11, б.

В единичном состоянии к точке С рамы приложена в направлении искомого перемещения (т. е. горизонтального) сила, равная единице.

Таблица 1.11

(см. скан)

Эпюра изгибающих моментов М для этого состояния (единичная эпюра) изображена на рис. 21.11, в.

Знаки изгибающих моментов на эпюрах могут не указываться, так как известно, что ординаты эпюр отложены со стороны сжатых волокон каждого элемента.

Перемножив по способу Верещагина грузовую эпюру с единичной (рис. 21.11,б, в) и учтя при этом различные значения моментов инерции поперечных сечений стоек и ригеля рамы, найдем искомое перемещение точки С:

Знак минус при перемножении эпюр взят потому, что эпюры и М расположены с различных сторон элементов рамы, и, следовательно, изгибающие моменты и М имеют разные знаки.

Отрицательное значение полученного перемещения точки С означает, что эта точка смещается не по направлению единичной силы (рис. 21.11, в), а в противоположную сторону, т. е. вправо.

Приведем теперь некоторые практические указания по применению интеграла Мора к различным случаям вычисления перемещений.

Определение перемещений в балках, жесткость сечений которых постоянна по всей длине или в пределах отдельных участков, целесообразно производить, вычисляя интеграл Мора по правилу Верещагина. То же относится и к рамам из прямолинейных стержней постоянной или ступенчато-переменной жесткости.

При жесткости сечений элемента конструкции, непрерывно изменяющейся по его длине, перемещения должны определяться путем непосредственного (аналитического) вычисления интеграла Мора. Такую конструкцию можно рассчитать приближенно, заменив ее системой с элементами ступенчато-переменной жесткости, после чего для определения перемещений использовать способ Верещагина.

Способ Верещагина может применяться не только при определении перемещений, но и при определении потенциальной энергии.

Лекция 13 (продолжение). Примеры решения на вычисление перемещений методом Мора-Верещагина и задачи для самостоятельного решения

Определение перемещений в балках

Пример 1.

Определить перемещение точки К балки (см. рис.) при помощи интеграла Мора.

Решение.

1) Составляем уравнение изгибающего момента от внешней силы M F .

2) Прикладываем в точке К единичную силу F = 1.

3) Записываем уравнение изгибающего момента от единичной силы .

4) Определяем перемещения

Пример 2.

Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.

Решение.

1) Строим грузовую эпюру.

2) Прикладываем в точке К единичную силу.

3) Строим единичную эпюру.

4) Определяем прогиб

Пример 3.

Определить углы поворота на опорах А и В

Решение.

Строим эпюры от заданной нагрузки и от единичных моментов, приложенных в сечениях А и В (см. рис.). Искомые перемещения определяем с помощью интегралов Мора

, которые вычисляем по правилу Верещагина.

Находим параметры эпюр

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

а затем и углы поворота на опорах А и В

Пример 4.

Определить угол поворота сечения С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

Определяем опорные реакции R A =R B ,

, , R A = R B = qa .

Строим эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичного момента, приложенного в сечении С , где ищется угол поворота. Интеграл Мора вычисляем по правилу Верещагина. Находим параметры эпюр

C 2 = -C 1 = -1/4,

а по ним и искомое перемещение

Пример 5.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

Эпюра M F (рис. б)

Опорные реакции:

ВЕ : , ,

, R B + R E = F , R E = 0;

АВ : , R А = R В = F ; , .

Вычисляем моменты в характерных точках , M B = 0, M C = Fa и строим эпюру изгибающего момента от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. в).

В сечении С , где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента, вычисляя сначала опорные реакции ВЕ - , , = 2/3; , , = 1/3, а затем моменты в характерных точках , , .

2. Определение искомого прогиба. Воспользуемся правилом Верещагина и вычислим предварительно параметры эпюр и :

Прогиб сечения С

Пример 6.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

С. Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем параметры эпюр ,

и находим искомый прогиб

Пример 7.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Опорные реакции:

, , R A = 2qa ,

, R A + R D = 3qa , R D = qa .

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С .

2. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.

Участок АВ :

Участок ВС :

Участок С D :

Искомое перемещение

Пример 8.

Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения Е для заданной балки (рис. а ).

Решение.

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Эпюра М F (рис. в ). Определив опорные реакции

, , R B = 19qa /8,

, R D = 13qa /8, строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М F от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. д). В сечении А , где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента.

Эпюра (рис. е). Эта эпюра строится от единичного момента, приложенного в сечении Е , где ищется угол поворота.

2. Определение перемещений. Прогиб сечения А находим, пользуясь правилом Верещагина. Эпюру М F на участках ВС и CD разбиваем на простые части (рис. г). Необходимые вычисления представляем в виде таблицы.


	-qa 3 /6	2qa 3 /3	-qa 3 /2			-qa 3 /2
C i
		-qa 4 /2	5qa 4 /12	-qa 4 /6	-qa 4 /12		-qa 4 /24

Получаем .

Знак “минус” в результате означает, что точка А перемещается не вниз, как была направлена единичная сила, а вверх.

Угол поворота сечения Е находим двумя способами: по правилу Верещагина и по формуле Симпсона.

По правилу Верещагина, перемножая эпюры M F и , по аналогии с предыдущим получим

Для нахождения угла поворота по формуле Симпсона вычислим предварительно изгибающие моменты посредине участков:

Искомое перемещение, увеличенное в EI x раз,

Пример 9.

Определить, при каком значении коэффициента k прогиб сечения С будет равен нулю. При найденном значении k построить эпюру изгибающего момента и изобразить примерный вид упругой линии балки (см. рис.).

Решение.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в сечении С , где ищется прогиб.

По условию задачи V C = 0. С другой стороны, . Интеграл на участке АВ вычисляем по формуле Симпсона, а на участке ВС – по правилу Верещагина.

Находим предварительно

Перемещение сечения С ,

Отсюда , .

При найденном значении k определяем значение опорной реакции в точке А : , , , исходя из которого находим положение точки экстремума на эпюре М согласно условию .

По значениям момента в характерных точках

строим эпюру изгибающего момента (рис. г).

Пример 10.

В консольной балки, изображенной на рисунке.

Решение.

М от действия внешней сосредоточенной силы F : М В = 0, М А = –F 2l (эпюра линейная).

По условию задачи требуется определить вертикальное перемещение у В точки В консольной балки, поэтому строим единичную эпюру от действия вертикальной единичной силы F i = 1, приложенной в точке В .

Учитывая, что консольная балка состоит из двух участков с разной жесткостью на изгиб, эпюры и М перемножаем с помощью правила Верещагина по участкам отдельно. Эпюры М ипервого участка перемножаем по формуле , а эпюры второго участка – как площадь эпюры М второго участка Fl 2 / 2 на ординату 2l /3 эпюры второго участка под центром тяжести треугольной эпюры М этого же участка.

В этом случае формула дает:

Пример 11.

Определить вертикальное перемещение точки В однопролетной балки, изображенной на рисунке. Балка имеет постоянную по всей длине жесткость на изгиб EI .

Решение.

Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней распределенной нагрузки: М А = 0; M D = 0;

Прикладываем в точке В единичную вертикальную силу F i = 1 и строим эпюру (см. рис.):

откуда R a = 2/3;

Откуда R d = 1/3, поэтому M a = 0; M d = 0; .

Разделим рассматриваемую балку на 3 участка. Перемножение эпюр 1-го и 3-го участков не вызывает трудностей, так как перемножаем треугольные эпюры. Для того чтобы применить правило Верещагина ко 2-му участку, разобьем эпюру М 2-го участка на две составляющие эпюры: прямоугольную и параболическую с площадью (см. таблицу).

Центр тяжести параболической части эпюры М лежит посередине 2-го участка.

Таким образом, формула при использовании правила Верещагина дает:

Пример 12.

Определить максимальный прогиб в двухопорной балке, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (см. рис.).

Решение.

Находим изгибающие моменты:

От заданной нагрузки

От единичной силы, приложенной в точке С , где ищется прогиб .

Вычисляем искомый наибольший прогиб, который возникает в среднем сечении балки

Пример 13.

Определить прогиб в точке В балки, показанной на рисунке.

Решение.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичной силы, приложенной в точке В. Чтобы перемножить эти эпюры, надо балку разбить на три участка, так как единичная эпюра ограничена тремя различными прямыми.

Операция перемножения эпюр на втором и третьем участках осуществляется просто. Затруднения возникают при вычислении площади и координат центра тяжести основной эпюры на первом участке. В таких случаях намного упрощает решение задачи построение расслоенных эпюр. При этом удобно одно из сечений принять условно за неподвижное и строить эпюры от каждой из нагрузок, приближаясь справа и слева к этому сечению. Целесообразно за неподвижное принимать сечение в месте перелома на эпюре единичных нагрузок.

Расслоенная эпюра, в которой за неподвижное принято сечение В , представлена на рисунке. Вычислив площади составных частей расслоенной эпюры и соответствующие им ординаты единичной эпюры, получаем

Пример 14.

Определить перемещения в точках 1 и 2 балки (рис. а).

Решение.

Приведем эпюры М и Q для балки при а =2 м; q =10 кН/м; С =1,5а ; М =0,5qa 2 ; Р =0,8qa ; М 0 =М ; =200 МПа (рис. б и в ).

Определим вертикальное перемещение центра сечения, где приложен сосредоточенный момент. Для этого рассмотрим балку в состоянии под действием только сосредоточенной силы приложенной в точке 1 перпендикулярно оси балки (по направлению искомого перемещения ) (рис. г).

Вычислим опорные реакции, составив три уравнения равновесия

Проверка

Реакции найдены верно.

Для построения эпюры рассмотрим три участка (рис. г).

1 участок

2 участок

3 участок

По этим данным строим эпюру (рис. д) со стороны растянутых волокон.

Определим по формуле Мора с помощью правила Верещагина. При этом криволинейную эпюру , на участке между опорами, можно представить в виде сложения трех эпюр. Стрелка

Знак «минус» означает, что точка 1 перемещается вверх (в направлении противоположном ).

Определим вертикальное перемещение точки 2, где приложена сосредоточенная сила. Для этого рассмотрим балку в состоянии под действием только сосредоточенной силы приложенной в точке 2 перпендикулярно оси балки (по направлению искомого перемещения ) (рис. е).

Эпюра строится аналогично предыдущей.

Точка 2 перемещается вверх.

Определим угол поворота сечения, где приложен сосредоточенный момент.

интеграла вида

В связи с тем что в подынтегральное выражение входит произведение усилий Мт и Мп, являющихся ординатами эпюр, построенных для единичного и действительного состояний, этот прием называют способом перемножения эпюр. Его можно использовать в -случае, когда одна из перемножаемых эпюр, например Мт, прямолинейна; в этом случае (рис. 5.17)

Мm = (х + a) tg а.

Вторая эпюра М п может иметь любое очертание (прямолинейное, ломаное

или криволинейное).

Подставим значение М m в выражение

где М п dx= dΩ n - дифференциал площади Ω n эпюры М n (рис. 5.17),

Интеграл представляет собой статический момент площади Ω n эпюры М п относительно оси 0-0" (рис. 5.17). Этот статический момент можно выразить иначе:

где хс-абсцисса центра тяжести площади эпюры Мn. Тогда

Но так как (см. рис. 5.17)

(5.26)

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади одной из них на ординату ус другой (прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А. К. Верещагиным, а потому он называется правилом (или способом) Верещагина,

Заметим, что левая часть выражения (5.26) отличается от интеграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения EJ. Следовательно, результат выполнения по правилу Верещагина перемножения эпюр для определения искомого перемещения надо разделить на жесткость.

Очень важно отметить, что ордината ус должна быть взята обязательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры Mi а Мк (рис. 518, а), то не имеет значения, что взять: произведение yk площади эпюры Mi на ординату yk под ее центром тяжести из эпюры Мк или произведение Ω_k yi площади эпюры М k на ординату уi под (или над) ее центром тяжести из эпюры Мг.

В круглых скобках этой формулы произведение ас левых ординат обеих эпюр и произведение bd правых ординат берутся с коэффициентом, равным двум» а произведения ad и bc ординат, расположенных с разных сторон,- с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (5.27) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных» трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные - -минус. В случае, например, показанном на рис. 5.18,в, результат перемножения эпюр в виде «перекрученной» и обычной трапеций равен (l/6) (2ac-2bd+ad-bc), а в случае, показанном на рис. 5.18, г, равен (l/6) (-2ac-2bd+ad+bc).

Формула (5.27) применима и тогда, когда одна или обе перемножаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треугольник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Результат, например, перемножения эпюр, показанных на рис. 5.18, д, равен (l/6) (2ac+ad).

Умножение эпюры в виде «перекрученной» трапеции на любую другую эпюру можно производить и расчленяя «перекрученную» трапецию на два треугольника, как показано на рис. 5.18, е.

Лекция № 6. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем: балок, рам, ферм.

План лекции:

1. Метод сил.

1.1. Основная система. Основные неизвестные.

1.2. Система канонических уравнений метода сил для расчета на действие внешней нагрузки.

1.3. Расчет статически неопределимых систем методом сил.

2. Метод перемещений.

2.1. Выбор неизвестных и определение их числа.

2.2. Определение числа неизвестных

2.3. Основная система

2.4. Канонические уравнения

3. Основы расчета систем методом конечных элементов.