Четырехмерное вращение и упаковка сфер. Один сломал, другой потерял Трехмерная сфера в четырехмерном пространстве

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОБРАЗ ЧЕТЫРЁХМЕРНОГО ШАРА.

Егоров Нестер Александрович

студент 4 курса, кафедра алгебры и геометрии ИМИ СВФУ, РФ, г. Якутск

E - mail : egrvnester @ mail . ru

Попов Олег Николаевич

научный руководитель, канд. техн. наук, доцент ИМИ СВФУ, РФ, г. Якутск

В настоящей работе дается представление четырехмерного шара в четырехмерном пространстве с помощью его трехмерных сечений. Для объяснения трудностей, связанных с восприятием объектов четырёхмерного пространства, используется метод, который основан на рассмотрении пространств с более низкой размерностью. Актуальность данного подхода заключается в том, что он позволяет понять строение геометрических образов четырехмерного пространства, а также способствует развитию пространственного и абстрактного мышления. Данная работа представляет интерес для учащихся старших классов, студентов факультетов математических и естественных наук, а также учителей математики. Она излагается наглядным методом, без использования формул, на основе лишь школьного курса геометрии.

В научной и популярной литературе, в средствах массовой информации, часто упоминаются многомерные пространства и объекты. Существуют различные теории о многомерности нашей Вселенной. Человеку свойственно геометрические объекты представлять в наглядной форме. Поэтому многие, услышав словосочетание «четырёхмерный шар», сразу же пытаются наглядно представить его в своём воображении. Мы хорошо представляем двумерный шар (это круг, лежащий на плоскости), трёхмерный шар - объект, который часто встречается в нашей жизни. Но в четырёхмерном случае, мы никак не можем построить в нашем воображении геометрический образ четырёхмерного шара. Это связано с появлением четвёртого, недоступного для нас, измерения.

Формирование на интуитивном уровне понятного читателю представления о геометрическом образе четырёхмерного шара является целью нашей работы. В ней не используются строгие определения, математические формулы. Все используемые понятия, термины понимаются только интуитивно. Весь материал излагается в популярной форме.

Актуальность работы состоит в том, что она позволяет понять строение геометрических образов четырехмерного пространства, а также способствует развитию пространственного и абстрактного мышления и представляет интерес для учащихся старших классов, студентов факультетов математических и естественных наук, а также учителей математики.

Рисунок 1. а) Прямая четырехмерном пространстве пересекает трехмерный шар только в одной внутренней точке; б) Прямая на плоскости пересекает двумерный шар по отрезку; в) Прямая, расположенная в пространстве, пересекает двумерный шар только в одной точке

Четырехмерное пространство в некоторой степени является необычным пространством. Мы знаем, что в трёхмерном пространстве прямая линия пересекает ограниченный трёхмерный выпуклый объём (например, шар) по отрезку. Исключение составляет случай, когда прямая линия касается данного объекта. В четырехмерном пространстве всё может происходить иначе. Прямая линия может «пронзить» трёхмерный шар насквозь, задев только одну внутреннюю точку, не потревожив её окружение (рис. 1, а)). Это делает возможным для четырёхмерного человека (если бы он существовал) забрать все наши вещи из сумки, не раскрывая и не разрезая её, что кажется очень необычным и необъяснимым. Чтобы понять это, рассмотрим двумерное пространство (двумерное пространство - это плоскость, вложенная в трёхмерное пространство). Прямая на плоскости будет пересекать круг, расположенный в плоскости по отрезку, а прямая пространства, лежащая вне плоскости, пересечёт круг только в одной точке (рис. 1, б), с)).

Чтобы эпизод пропажи вещей из сумки был более понятным, нарисуем на доске двумерного человека, нарисуем его почки, камень в почке. Затем возьмём в руки тряпку и аккуратно, не задевая почки двумерного человека, сотрём камень (рис. 2). Теперь можем поздравить самого себя с тем, что мы только что успешно произвели операцию по удалению камня из почки без использования разрезов, и что наш пациент здоров. То, что неподвластно двумерному хирургу, оказалось простым делом для обычного трёхмерного человека.

Рисунок 2. Удаление камня из двумерной почки трехмерным доктором без резервов

Далее мы будем пользоваться данным приемом, связанным с переходом на размерность ниже для объяснения трудностей, связанных с восприятием объектов, находящихся в четырёхмерном пространстве. Трудности восприятия двумерного человека, когда он пытается понять трёхмерный мир, аналогичны нашим при восприятии четырёхмерного пространства, так как они связаны в обоих случаях появлением нового недоступного измерения.

Два трёхмерных пространства могут пересекаться или быть параллельными в четырёхмерном пространстве. Рассмотрим случай, когда они пересекаются.

Рисунок 3. Два трехмерных пространства пересекаются в четырехмерном пространстве по плоскости

Если две плоскости x и y пересекаются по прямой l (рис. 4), то трёхмерные пространства P и Q пересекаются по плоскости α (рис. 3). Для двумерного человека прямая l (если она непрозрачна) будет стеной, разделившей его мир на две части. А полуплоскости y 1 и y 2 для него не существуют, так как находятся в недоступном для него, третьем измерении. Для трёхмерного человека такой стеной, разбивающей всё пространство на две части, будет плоскость α (рис. 3).

Далее, рассмотрим две пересекающиеся плоскости x и y, по одной из которых катится двумерный мяч (рис. 4). Заметим, что двумерный человек видит только прямую l из плоскости y, так как она находится в его пространстве x. Полуплоскости y 1 и y 2 ему невидимы, поэтому двумерный человек, находящийся в плоскости x увидит точку (плоский мяч коснулся прямой), которая затем раздвоится (мяч пересёк прямую). Далее, по мере движения мяча, точки будут расходиться, пока прямая пересечения плоскостей не совпадет с диаметром мяча, затем всё будет происходить в обратном порядке.

Рисунок 4. Двумерный человек видит только точку касания круга с его плоскостью

Теперь нетрудно понять, что мы увидим, находясь в трёхмерном пространстве P, в случае, когда мяч, запущенный ногой футболиста, находящегося в Q, пересечёт наше пространство. Вначале на плоскости α. появится точка, которая сразу же преобразуется в постепенно увеличивающуюся окружность, являющуюся пересечением плоскости α и мяча. Достигнув своего максимума, при радиусе равном радиусу футбольного мяча, она постепенно начнет уменьшаться до тех пор, пока не выродится обратно в точку и исчезнет с поля зрения (рис. 5). Что же мы увидим, когда вслед за мячом пробежит сам футболист, оставим вообразить читателю. Для интереса же представим, что произойдет, если футболист, каким-то невероятным способом, находясь в пространстве Q, случайно свернёт в наше пространство P (см. рис. 6).

Рисунок 5. Вид мяча, пересекшего пространство наблюдателя, в динамике

Рисунок 6. Пявление футболста в пространстве P из пространства Q

В двумерном варианте легко представить две параллельные плоскости. Трёхмерное пространство можно представить как бесконечную совокупность параллельных «слипшихся» плоскостей. Такое представление можно получить, глядя на колоду карт, где каждая карта ассоциируется с плоскостью или книгой, где роль плоскостей выполняют листы данной книги.

Четырёхмерное пространство тоже представляет совокупность «слипшихся», но уже трехмерных параллельных пространств. Попытайтесь представить в своём воображении два параллельных (слипшихся), т. е. расположенных очень близко друг к другу, трёхмерных пространства. У вас ничего не получится. Пространства, которые мы хотим представить в своём воображении, либо начинают пересекаться, либо не хотят сближаться, отталкиваясь друг от друга. Разберёмся в причине нашей неудачи. Для этого проанализируем, как попытается представить двумерный человек, живущий в плоскости x, две очень близко лежащие друг к другу параллельные плоскости y и z. Так как для двумерного человека не существует третьего измерения h (рис. 7а)), то он будет вынужден расположить их в своем пространстве, хотя в реальности они будут располагаться перпендикулярно (или под некоторым углом) пересекая плоскость x (рис. 7б)). Теперь сразу же становится очевидным, в чём состоит причина нашей неудачи. Мы пытаемся поместить два трёхмерных пространства в одно трехмерное пространство, в котором находимся (рис. 7с)), когда же они должны простираться по четвёртому, недоступному нам измерению. Понятно, что они никак не смогут казаться слипшимися.

Заметим, что трёхмерное пространство можно представить как след, оставляемый плоскостью в результате её движения по заданному направлению (рис. 8).

Рисунок 7. а) Двумерный человек пытается представить две параллельные плоскости; б) Реальное расположение параллеьных плоскостей; с) Мы пытаемя поместить два трехмерных пространства в одно тремерное пространство

Рисунок 8. Трехмерное пространство, получаемое движением плоскости

Теперь, как и ранее, рассмотрим пространства P и Q, пересекающиеся по плоскости α (рис. 9а)). Каждое из пространств можно получить движением плоскости α соответственно направлениям осей координат x и t. Далее проведём в пространстве P плоскость β на очень близком расстоянии параллельно плоскости α. Очевидно, β не будет находиться в пространстве Q. Начнём движение данных плоскостей по направлению t так, что в любой момент t движущиеся плоскости были параллельны и близки друг к другу. Тогда пространство Q и пространство Q β , полученные движением соответственно плоскостей α и β, параллельны, и будут находиться на очень близком расстоянии друг от друга (на расстоянии, равном расстоянию между плоскостями α и β, по измерению x). Тогда два трёхмерных тела, например, два шара, находящиеся в совершенно разных, но близких друг к другу параллельных пространствах Q и Q β , могут оказаться очень близкими («слипшимися») (рис. 9б)).

Рисунок 9. а) Плоскость β из лоскости P близка и параллельна плоскости α и не находится в пространстве Q ; б) Совокупности плоскостей, полученных движением плоскостей α и β по направлению t , образуют близкие друг к другу араллельные пространства Q и Q β Изображенныешары, находящиеся в этихх пространствах, близки друг к другу по всем точкам(«слипшиеся» шары)

Всё четырёхмерное пространство можно рассматривать как совокупность параллельных, очень близко расположенных («слипшихся») трёхмерных пространств. Если в качестве четвёртого измерения взять время, то движение человека на машине времени будет соответствовать переходу из одного параллельного пространства в другое. В этом случае, в отличие от пересекающихся пространств, когда мы видим только сечение объекта, который движется по второму пространству, пересекая наше, перед нами неожиданно возникнет машина времени с сидящим в ней человеком, которая растворится в прошлом или будущем в зависимости от направления её движения.

Таким образом: мы поняли, что трёхмерные пространства пересекаются по плоскости; четырёхмерное пространство можно представить как совокупность «слипшихся» параллельных трёхмерных пространств; получили представление о «слипшихся» трёхмерных телах, находящихся в параллельных пространствах.

Что собой представляет собой четырехмерный шар? Чтобы ответить на этот вопрос проанализируем то, как устроен наш обычный трёхмерный шар, с точки зрения двумерного человека. Безусловно, полностью шар он видеть не может, в его поле зрения находится только двумерная сфера - окружность, окаймляющая двумерный круг, и являющаяся пересечением мира двумерного человека с шаром (то, что находится внутри окружности, ему не видно. Рис10 а)). При переходе в параллельные пространства окружность будет сужаться, пока не выродится в точку (рис. 10 б)).

Рисунок 10. а) Двумерному человеку видна только часть окружности, окаймляющая пересчением плоскости и шара; б) При переходе человека в параллельные плоскости окржность постепенно выродится в точку

В случае четырёхмерного шара, поле зрения человека ограничено пространством, в котором он находится. По аналогии можно предположить, что он видит сферу, окаймляющую шар, являющуюся пересечением данного трёхмерного пространства с четырёхмерным шаром. При переходе в параллельные пространства сфера также будет уменьшаться в радиусе, пока не выродится в точку (рис. 11 а)). Теперь постараемся более подробно разобраться, что за шары мы видим, и как они образуют четырёхмерный шар.

Рассмотрим трёхмерный шар 2 (рис. 11 б)) и его сечения параллельными плоскостями. Совокупность этих параллельных плоскостей образуют трёхмерное пространство с измерениями y, z, t, в котором находится искомый шар 2. Каждая из этих плоскостей своим движением по направлению x образуют «слипшиеся» трёхмерные пространства. Именно в этих пространствах находятся трёхмерные шары (см. шар 1), которые мы наблюдаем при (описанных выше) переходах в параллельные пространства (рис. 11а)). Совокупность данных шаров будет образовывать четырёхмерный шар. Таким образом, четырёхмерный шар есть совокупность слипающихся по всем точкам шаров, уменьшающихся в размерах, которая и образует геометрический образ четырёхмерного шара. Однако мы не можем увидеть общую цельную картину шара, так как не можем видеть вне нашего пространства.

Рисунок 11. а) Видимые человеком, при переходах в параллельные пространства шары, уменьшающихся в размерах; б) Четырехмерный шар представляет собой совокупность уменьшающихся «слившихся» шаров, являющихся сечениями четырехмерного шара трехмерными пространствами, параллельными пространству P

Рассмотрим четырёхмерный шар с разных сторон. Наблюдатель, находящийся в трехмерном пространстве P с измерениями y, z, t и смотрящий по направлению t, будет видеть шар (рис. 12), который состоит из сечений шаров, образующих четырёхмерный шар (на рис. 11 это шар 2).

Наблюдатель, находящийся в пространстве Q и смотрящий по направлению x, так же увидит трёхмерный шар (рис 12). Таким образом, наблюдатели, находящиеся в пространствах P и Q, видят одну и ту же картинку - трёхмерный шар. Однако шары, которые они наблюдают, являются различными геометрическими объектами, находящимися в различных пространствах и пересекающимися по двумерному кругу.

Рисунок 12. Наблюдатели, находящиеся в пересекающихся пространствах P и Q видят трехмерный шар. Однако на самом деле они обозревают различные шары, пересекающиеся по кугу

К нашему сожалению, как было отмечено выше, поле нашего зрения ограничивается трёхмерным пространством, поэтому мы не можем видеть четырёхмерные образы в целом. Тем не менее, британский математик Ч. Хинтон (1853-1907) разработал особый метод построения моделей геометрических фигур в четырехмерном пространстве по их трехмерным сечениям. Этот метод подробно изложен в двух его монографиях , . Хинтон утверждал, что в результате многолетней работы, в основе которой лежал этот особый метод, он научился мысленно представлять геометрические образы в четырёхмерном пространстве. Он также полагал, что человек, достаточно хорошо овладевший этим методом, обретет интуитивное представление о четырёхмерном пространстве.

Список литературы:

1.Hinton Charles H. A New Era of Thought, orig. 1888, reprinted 1900, by Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London - с. 240.

Четырехмерное вращение Вселенной.

Если Вселенная замкнута, то она обязана вращаться. Все её точки обязаны двигаться с одной и той же 4-скоростью, и с одной и той же угловой скоростью.

Обычный мячик Вы так не раскрутите. Точки мячика возле оси вращения движутся с меньшей линейной скоростью, чем экваториальные точки.

Но замкнутая Вселенная оказывается идеальной в отношении вращения. Она оказывается пространственно однородной и изотропной. Как такое может быть? Ведь на рисунке слева видна явная анизотропия, - мы видим две оси вращения.

Этот рисунок, действительно, помогает нам понять четырехмерное вращение трехмерной неевклидовой гиперсферы x 2 +y 2 +z 2 +q 2 =r 2 , погруженной в Евклидово четырехмерное пространство. Но в этом уравнении фигурирует пространственная координата q , которую на рисунке мы отождествили с цветом.

Давайте заменим её на временную координату t, помноженную на скорость света, чтобы получить метры, и на мнимую единичку i, ведь пространство-время псевдоевклидово. То есть получаем уравнение: x 2 +y 2 +z 2 +(ict) 2 =r 2 , псевдоевклидовой гиперсферы.

Вы могли бы посмотреть на это вращение в плоскости (x,ict), открыв мою программу, но сейчас файлы с расширением exe не загружаются на сайт. В ближайшее время я попробую сделать анимированный gif-рисунок.

Отметим, что там вращается электрон, пробегая за свое классическое время правую и левую гиперболу. Там же вы видите как "тень" электрона рисует окружность. Эту окружность мы получим, если разделим каждый элемент гиперболы на соответствующий релятивистский множитель, и просуммируем их. В результате получаем 2p ri. Это наводит на мысль что пседвоокружность в замкнутой Вселенной превращается в квазизамкнутую окружность не только для электрона, но и для всех частиц во Вселенной, включая галактики.

Итак, куда же девается асимметрия? Для этого вспомним что квадрат 4-скорости (v g , icg ) в специальной теории относительности является инвариантом и он равен -c 2 . Для любого тела! Пространственная часть четырехскорости для покоящегося тела равна нулю, а временная дает нам скорость света.

Берем любую точку замкнутой вращающейся Вселенной. У любой точки существует две оси-плоскости. На одной оси она находится, а другая ось расположена перпендикулярно. Обе являются окружностями. Ось на которой находится рассматриваемая частица содержит координату времени и любую другую, пространственную. Пускай это будет (z,ict). Эта ось движется со скоростью с. Для нашей исследуемой частицы эта скорость будет чисто временной, поскольку она движется вместе с этой осью, а значит покоится относительно этой оси. Другие точки на оси будут получать тем большую пространственную часть, чем дальше они находятся от исследуемой точки. А по временной составляющей 4-скорости темп времени падает, тем больше, чем дальше она находится от исследуемой точки. Итак, делаем вывод: галактики в двух противоположных направлениях, в которые упирается эта ось-плоскость, будут иметь поперечное красное смещение из-за пространственно-временного поворота по координате z.

Поскольку другая ось-плоскость вращается в перпендикулярном направлении, то там тоже будет наблюдаться поперечное красное смещение, но там оно обусловлено поперечным движением в плоскости (x,y).

Такое вращение объясняет очень много вещей:
наличие спина у каждой частицы;
наличие квантовой ψ- функции;
право-левая асимметрия в спиральностях галактик;
почему условный возраст Вселенной 13,34 млрд. лет, всегда!
аномально быстрое вращение периферийных частей галактик;
критическая плотность Вселенной может быть меньше...

Если скорости вращения вдоль осей чуть-чуть отличаются, то мы можем увидеть мультипольную структуру в реликтовом фоне, и небольшую анизотропию в красных смещения галактик.

Мировые линии.

На gif-анимированном рисунке мы видим движение шаров. На самом деле воображаемую картину необходимо несколько усложнить, вообразив мировые линии галактик. Для галактик, вращающихся в плоскости (z,ict), время мы отождествляем с цветом. Если время с этой стороны рисунка идет в одном направлении, то с противоположной стороны рисунка время идет вспять. Этому не стоит удивляться. Как известно, такое уже в физике встречалось, - позитрон это электрон, живущий вспять во времени. А на страницах о квантуемой скорости, мы развили эту идею и увидели, что каждая элементарная частица живет во времени "туда-сюда". Составная частица "вспыхивает" в моменты стыковок квазизамкнутых окружностей. И, если по завершению обхода, какая-то из элементарных частиц опаздывает или опережает другие частицы, то в момент пространственно-временной синхронизации она получает элементарное изменение скорости, или другими словами - совершает элементарный поворот в пространстве-времени.

Такие же элементарные повороты в пространстве-времени мы увидим если проследим за движением шаров на нашем вращающимся рисунке, дополненным другим рисунком.

Совершим элементарный переход из центра этого рисунка в любую сторону. При этом она окажемся ближе к какой-то условной границе. Но поскольку Вселенная изотропна и однородна, мы должны выполнить преобразования с другими галактиками, - переместить их так, чтобы исследуемая частица оказалась снова в центре.

Мысленно выполняя эту процедуру, замечаем, что галактики, которые были сзади у дальней границы, после преобразования окажутся у передней границы.

Если перемещение совершается вдоль временной компоненты, то галактики, которые находились у горизонта событий в прошлом исчезают и появляются в далеком будущем "сверху над световым конусом".

Галактики, которые находятся в пределах светового конуса в промежуточном положении между исследуемой перемещаемой галактикой и горизонтом событий, из-за серии последовательных преобразований получают скорость удаления, подобную той, которая "наблюдается" в расширяющейся модели Вселенной.

Помимо выхода вещества за пределы горизонта событий в далеком прошлом, а соответственно, процесса уменьшения концентрации частиц в связи с ускорением удаления галактик, существует процесс, компенсирующий число галактик в пределах светового конуса.

Число галактик понятие относительное. Около нашей Галактики существуют спутники, БМО и ММО. Вполне возможно, что сейчас зарождаются и другие спутники, - от Галактики отделяются какие-нибудь скопления звезд. Со временем это будут независимые галактики с большим числом звезд. Вопрос, - откуда берется материя.

Во-первых, - вхождение вещества в световой конус сверху. Во-вторых, - гамма-всплески. Этот процесс изложен на странице Модель Хойла и 4d вращение. Оказывается, что четырехмерное вращение Вселенной в двух взаимно перпендикулярных плоскостях не только соответствует наблюдениям, но и реанимирует Стационарную модель Вселенной, созданную Фредом Хойлом, Германом Бонди и Томасом Голдом.

Некоторые полезные приложения из других источнков.

Kissing Number

Problems of arranging balls densely arise in many situations, particularly in coding theory (the balls are formed by the sets of inputs that the error-correction would map into a single codeword).
The most important question in this area is Kepler"s problem: what is the most dense packing of spheres in space? The answer is obvious to anyone who has seen grapefruit stacked in a grocery store, but a proof remains elusive. (It is known, however, that the usual grapefruit packing is the densest packing in which the sphere centers form a lattice.)

The colorfully named "kissing number problem" refers to the local density of packings: how many balls can touch another ball? This can itself be viewed as a version of Kepler"s problem for spherical rather than Euclidean geometry.

In mathematics, sphere packing problems concern arrangements of non-overlapping identical spheres which fill a space. Usually the space involved is three-dimensional Euclidean space. However, sphere packing problems can be generalised to two dimensional space (where the "spheres" are circles), to n-dimensional space (where the "spheres" are hyperspheres) and to non-Euclidean spaces such as hyperbolic space.
A regular arrangement (also called a periodic or lattice arrangement) is one in which the centres of the spheres form a very symmetric pattern called a lattice. Arrangements in which the spheres are not arranged in a lattice are called irregular or aperiodic arrangements. Regular arrangements are easier to handle than irregular ones-their high degree of symmetry makes it easier to classify them and to measure their densities.

The number of equivalent hyperspheres in dimensions n which can touch an equivalent hypersphere without any intersections, also sometimes called the Newton number, contact number, coordination number, or ligancy.

Exact values for lattice packings are known for n=1 to 9 and n=24 (Conway and Sloane 1993, Sloane and Nebe). Odlyzko and Sloane (1979) found the exact value for 24-D.

Exact values for general packings are known for n=1, 2, 3, 4, 8, and 24. Musin developed a bounding method in 2003 to prove the 24-dimensional case, and his method also provides proofs for three and four dimensions (Pfender and Ziegler 2004).

SO(4)

In mathematics, SO(4) is the four-dimensional rotation group; that is, the group of rotations about a fixed point in four-dimensional Euclidean space. The name comes from the fact that it is (isomorphic to) the special orthogonal group of order 4.

Simple rotations
A simple rotation R about a rotation centre O leaves an entire plane A through O (axis-plane) pointwise invariant...

Half-lines from O in the axis-plane A are not displaced; half-lines from O orthogonal to A are displaced through α; all other half-lines are displaced through an angle < α.

Double rotations
A double rotation R about a rotation centre O leaves only O invariant. Any double rotation has at least one pair of completely orthogonal planes A and B through O that are invariant as a whole, i.e. rotated in themselves. In general the rotation angles α in plane A and β in plane B are different. In that case A and B are the only pair of invariant planes, and half-lines from O in A, B are displaced through α, β, and half-lines from O not in A or B are displaced through angles strictly between α and β.

Isoclinic rotations
If the rotation angles of a double rotation are equal then there are infinitely many invariant planes instead of just two, and all half-lines from O are displaced through the same angle. Such rotations are called isoclinic or equiangular rotations, or Clifford displacements. Beware: not all planes through O are invariant under isoclinic rotations; only planes that are spanned by a half-line and the corresponding displaced half-line are invariant.

Недавно я делал простой рейтрейсер 3-х мерных сцен. Он был написан на JavaScript и был не очень быстрым. Ради интереса я написал рейтрейсер на C и сделал ему режим 4-х мерного рендеринга - в этом режиме он может проецировать 4-х мерную сцену на плоский экран. Под катом вы найдёте несколько видео, несколько картинок и код рейтрейсера.

Зачем писать отдельную программу для рисования 4-х мерной сцены? Можно взять обычный рейтрейсер, подсунуть ему 4D сцену и получить интересную картинку, однако эта картинка будет вовсе не проекцией всей сцены на экран. Проблема в том, что сцена имеет 4 измерения, а экран всего 2 и когда рейтрейсер через экран запускает лучи, он охватывает лишь 3-х мерное подпространство и на экране будет виден всего лишь 3-х мерный срез 4-х мерной сцены. Простая аналогия: попробуйте спроецировать 3-х мерную сцену на 1-мерный отрезок.

Получается, что 3-х мерный наблюдатель с 2-х мерным зрением не может увидеть всю 4-х мерную сцену - в лучшем случае он увидит лишь маленькую часть. Логично предположить, что 4-х мерную сцену удобнее разглядывать 3-х мерным зрением: некий 4-х мерный наблюдатель смотрит на какой то объект и на его 3-х мерном аналоге сетчатки образуется 3-х мерная проекция. Моя программа будет рейтрейсить эту трёхмерную проекцию. Другими словами, мой рейтрейсер изображает то, что видит 4-х мерный наблюдатель своим 3-х мерным зрением.

Особенности 3-х мерного зрения

Представьте, что вы смотрите на кружок из бумаги который прямо перед вашими глазами - в этом случае вы увидите круг. Если этот кружок положить на стол, то вы увидите эллипс. Если на этот кружок смотреть с большого расстояния, он будет казаться меньше. Аналогично для трёхмерного зрения: четырёхмерный шар будет казаться наблюдателю трёхмерным эллипсоидом. Ниже пара примеров. На первом вращаются 4 одинаковых взаимноперпендикулярных цилиндра. На втором вращается каркас 4-х мерного куба.

Перейдём к отражениям. Когда вы смотрите на шар с отражающей поверхностью (на ёлочную игрушку, например), отражение как бы нарисовано на поверхности сферы. Также и для 3-х мерного зрения: вы смотрите на 4-х мерный шар и отражения нарисованы как бы на его поверхности. Только вот поверхность 4-х мерного шара трёхмерна, поэтому когда мы будем смотреть на 3-х мерную проекцию шара, отражения будут внутри, а не на поверхности. Если сделать так, чтобы рейстрейсер выпускал луч и находил ближайшее пересечение с 3-х мерной проекцией шара, то мы увидим чёрный круг - поверхность трёхмерной проекции будет чёрная (это следует из формул Френеля). Выглядит это так:

Для 3-х мерного зрения это не проблема, потому что для него виден весь этот 3-х мерный шар целиком и внутренние точки видны также хорошо как и те, что на поверхности, но мне надо как то передать этот эффект на плоском экране, поэтому я сделал дополнительный режим рейтрейсера когда он считает, что трёхмерные объекты как бы дымчатые: луч проходит через них и постепенно теряет энергию. Получается так:

Тоже самое верно для теней: они падают не на поверхность, а внутрь 3-х мерных проекций. Получается так, что внутри 3-х мерного шара - проекции 4-х мерного шара - может быть затемнённая область в виде проекции 4-х мерного куба, если этот куб отбрасывает тень на шар. Я не придумал как этот эффект передать на плоском экране.

Оптимизации

Рейтрейсить 4-х мерную сцену сложнее чем 3-х мерную: в случае 4D нужно найти цвета трёхмерной области, а не плоской. Если написать рейтрейсер «в лоб», его скорость будет крайне низкой. Есть пара простых оптимизаций, которые позволяют сократить время рендеринга картинки 1000×1000 до нескольких секунд.

Первое, что бросается в глаза при взгляде на такие картинки - куча черных пикселей. Если изобразить область где луч рейтрейсера попадает хоть в один объект, получится так:

Видно, что примерно 70% - черные пиксели, и что белая область связна (она связна потому что 4-х мерная сцена связна). Можно вычислять цвета пикселей не по порядку, а угадать один белый пиксель и от него сделать заливку. Это позволит рейтрейсить только белые пиксели + немного черных пикселей которые представляют собой 1-пиксельную границу белой области.

Вторая оптимизация получается из того, что фигуры - шары и цилиндры - выпуклы. Это значит, что для любых двух точек в такой фигуре, соединяющий их отрезок также целиком лежит внутри фигуры. Если луч пересекает выпуклый предмет, при этом точка A лежит внутри предмета, а точка B снаружи, то остаток луча со стороны B не будет пересекать предмет.

Ещё несколько примеров

Здесь вращается куб вокруг центра. Шар куба не касается, но на 3-х мерной проекции они могут пересекаться.

На этом видео куб неподвижен, а 4-х мерный наблюдатель пролетает через куб. Тот 3-х мерный куб что кажется больше - ближе к наблюдателю, а тот что меньше - дальше.

Ниже классическое вращение в плоскостях осей 1-2 и 3-4. Такое вращение задаётся произведением двух матриц Гивенса.

Как устроен мой рейтрейсер

Код написан на ANSI C 99. Скачать его можно . Я проверял на ICC+Windows и GCC+Ubuntu.

На вход программа принимает текстовый файл с описанием сцены.

Scene = { objects = -- list of objects in the scene { group -- group of objects can have an assigned affine transform { axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 } }, lights = -- list of lights { light{{0.2, 0.1, 0.4, 0.7}, 1}, light{{7, 8, 9, 10}, 1}, } } axiscylr = 0.1 -- cylinder radius axiscyl1 = cylinder { {-2, 0, 0, 0}, {2, 0, 0, 0}, axiscylr, material = {color = {1, 0, 0}} } axiscyl2 = cylinder { {0, -2, 0, 0}, {0, 2, 0, 0}, axiscylr, material = {color = {0, 1, 0}} } axiscyl3 = cylinder { {0, 0, -2, 0}, {0, 0, 2, 0}, axiscylr, material = {color = {0, 0, 1}} } axiscyl4 = cylinder { {0, 0, 0, -2}, {0, 0, 0, 2}, axiscylr, material = {color = {1, 1, 0}} }

После чего парсит это описание и создаёт сцену в своём внутреннем представлении. В зависимости от размерности пространства рендерит сцену и получает либо четырёхмерную картинку как выше в примерах, либо обычную трёхмерную. Чтобы превратить 4-х мерный рейтрейсер в 3-х мерный надо изменить в файле vector.h параметр vec_dim с 4 на 3. Можно его также задать в параметрах командной строки для компилятора. Компиляция в GCC:

Cd /home/username /rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt

Тестовый запуск:

/home/username /rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp

Если скомпилировать рейтрейсер с vec_dim = 3, то он выдаст для сцены cube3d.scene обычный куб .

Как делалось видео

Для этого я написал скрипт на Lua который для каждого кадра вычислял матрицу вращения и дописывал её к эталонной сцене.

Axes = { {0.933, 0.358, 0, 0}, -- axis 1 {-0.358, 0.933, 0, 0}, -- axis 2 {0, 0, 0.933, 0.358}, -- axis 3 {0, 0, -0.358, 0.933} -- axis 4 } scene = { objects = { group { axes = axes, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 } }, }

Объект group помимо списка объектов имеет два параметра аффинного преобразования: axes и origin. Меняя axes можно вращать все объекты в группе.

Затем скрипт вызывал скомпилированный рейтрейсер. Когда все кадры были отрендерены, скрипт вызывал mencoder и тот собирал из отдельных картинок видео. Видео делалось с таким расчётом, чтобы его можно было поставить на автоповтор - т.е. конец видео совпадает с началом. Запускается скрипт так:

Luajit animate.lua

Ну и напоследок, в этом архиве 4 avi файла 1000×1000. Все они циклические - можно поставить на автоповтор и получится нормальная анимация.

Теги:

• рейтрейсер
• четырёхмерное пространство

Добавить метки

Стихии и погода

Наука и техника

Необычные явления

Мониторинг природы

Авторские разделы

Открываем историю

Экстремальный мир

Инфо-справка

Файловый архив

Дискуссии

Услуги

Инфофронт

Информация НФ ОКО

Экспорт RSS

Полезные ссылки

Важные темы

В 1904 г. Анри Пуанкаре предположил, что любой трехмерный объект, обладающий определенными свойствами трехмерной сферы, можно преобразовать в 3-сферу. На доказательство этой гипотезы ушло 99 лет. (Внимание! Трехмерная сфера - это не то, о чем вы подумали.) Российский математик Григорий Перельман доказал высказанную сто лет назад гипотезу Пуанкаре и завершил создание каталога форм трехмерных пространств.

Пуанкаре предположил, что 3-сфера уникальна и никакое другое компактное 3-многообразие (Некомпактные многообразия бесконечны или имеют края. Далее рассматриваются только компактные многообразия) не обладает теми свойствами, которые делают ее столь простой. У более сложных 3-многообразий есть границы, встающие как кирпичная стена, или множественные связи между некоторыми областями, похожие на лесную тропинку, которая то разветвляется, то снова соединяется. Любой трехмерный объект со свойствами 3-сферы можно преобразовать в нее саму, поэтому для топологов он представляется просто ее копией. Доказательство Перельмана также позволяет ответить на третий вопрос и провести классификацию всех существующих 3-многообразий.
Вам потребуется изрядное воображение, чтобы представить себе 3-сферу. К счастью, у нее много общего с 2-сферой, типичный пример которой - резина круглого воздушного шарика: она двухмерна, поскольку любая точка на ней задается всего двумя координатами - широтой и долготой. Если рассмотреть достаточно маленький ее участок под мощной лупой, то он покажется кусочком плоского листа. Крошечному насекомому, ползающему по воздушному шарику, он будет казаться плоской поверхностью. Но если козявка будет достаточно долго двигаться по прямой, то в конечном счете вернется в точку отправления. Точно так же 3-сферу размером с нашу Вселенную мы бы воспринимали как «обычное» трехмерное пространство. Пролетев достаточно далеко в любом направлении, мы бы в конце концов совершили «кругосветное путешествие» по ней и оказались бы в исходной точке.
Как вы уже догадались, n-мерная сфера называется n-сферой. Например, 1-сфера всем знакома: это просто окружность.

Математикам, доказывающим теоремы о многомерных пространствах, не приходится воображать себе объект изучения: они обращаются с абстрактными свойствами, руководствуясь интуитивными представлениями, основанными на аналогиях с меньшим числом измерений (к таким аналогиям нужно относиться с осторожностью и не принимать их буквально). Мы тоже будем рассматривать 3-сферу, исходя из свойств объектов с меньшим числом измерений.
1. Начнем с рассмотрения круга и ограничивающей его окружности. Для математиков круг - это двумерный шар, а окружность - одномерная сфера. Далее, шар любой размерности - это заполненный объект, напоминающий арбуз, а сфера - это его поверхность, больше похожая на воздушный шарик. Окружность одномерна, потому что положение точки на ней можно задать одним числом.

2. Из двух кругов мы можем построить двумерную сферу, превратив один из них в Северное полушарие, а другой - в Южное. Осталось склеить их, и 2-сфера готова.

3. Представим себе муравья, ползущего с Северного полюса по большому кругу, образованному нулевым и 180-м меридианом (слева). Если мы отобразим его путь на два исходных круга (справа), то увидим, что насекомое движется по прямой линии (1) к краю северного круга (а), затем пересекает границу, попадает в соответствующую точку на южном круге и продолжает следовать по прямой линии (2 и 3). Затем муравей снова достигает края (b), переходит его и снова оказывается на северном круге, устремляясь к исходной точке - Северному полюсу (4). Заметьте, что во время кругосветного путешествия по 2-сфере направление движения сменяется на противоположное при переходе с одного круга на другой.

4. Теперь рассмотрим нашу 2-сферу и содержащийся в ней объем (трехмерный шар) и сделаем с ними то же самое, что с окружностью и кругом: возьмем две копии шара и склеим их границы вместе. Наглядно показать, как шары искажаются в четырех измерениях и превращаются в аналог полушарий, невозможно, да и не нужно. Достаточно знать, что соответствующие точки на поверхностях, т.е. 2-сферах, соединены между собой так же, как в случае с окружностями. Результат соединения двух шаров представляет собой 3-сферу - поверхность четырехмерного шара. (В четырех измерениях, где существуют 3-сфера и 4-шар, поверхность объекта трехмерна.) Назовем один шар северным полушарием, а другой - южным. По аналогии с кругами, полюса теперь находятся в центрах шаров.

5. Вообразите, что рассмотренные шары - большие пустые области пространства. Допустим, из Северного полюса отправляется космонавт на ракете. Со временем он достигает экватора (1), которым теперь является сфера, окружающая северный шар. Пересекая ее, ракета попадает в южное полушарие и движется по прямой линии через его центр - Южный полюс - к противоположной стороне экватора (2 и 3). Там снова происходит переход в северное полушарие, и путешественник возвращается в Северный полюс, т.е. в исходную точку (4). Таков сценарий кругосветного путешествия по поверхности 4-мерного шара! Рассмотренная трехмерная сфера и есть то пространство, о котором идет речь в гипотезе Пуанкаре. Возможно, наша Вселенная представляет собой именно 3-сферу.

Рассуждения можно распространить на пять измерений и построить 4-сферу, но вообразить это чрезвычайно сложно. Если склеить два n-шара по окружающим их (n-1)-сферам, то получится n-сфера, ограничивающая (n+1)-шар.

Прошла половина столетия, прежде чем дело о гипотезе Пуанкаре сдвинулось с мертвой точки. В 60-х гг. XX в. математики доказали аналогичные ей утверждения для сфер пяти и более измерений. В каждом случае n-сфера действительно является единственным и простейшим n-многообразием. Как ни странно, получить результат для многомерных сфер оказалось легче, чем для 3- и 4-сферы. Доказательство для четырех измерений появилось в 1982 г. И только исходная гипотеза Пуанкаре о 3-сфере оставалась неподтвержденной.
Решающий шаг был сделан в ноябре 2002 г., когда Григорий Перельман, математик из Санкт-Петербургского отделения математического института им. Стеклова, отправил статью на сайт www.arxiv.org, где физики и математики со всего мира обсуждают результаты своей научной деятельности. Топологи сразу уловили связь работы российского ученого с гипотезой Пуанкаре, хотя напрямую автор ее не упомянул.

На самом деле доказательство Перельмана, правильность которого еще никому не удалось поставить под сомнение, решает гораздо более широкий круг вопросов, чем собственно гипотеза Пуанкаре. Предложенная Уильямом Терстоном (William P. Thurston) из Корнеллского университета процедура геометризации позволяет провести полную классификацию 3-многообразий, в основу которой положена 3-сфера, уникальная в своей возвышенной простоте. Если бы гипотеза Пуанкаре была ложной, т.е. существовало бы множество пространств столь же простых, как сфера, то классификация 3-многообразий превратилась бы в нечто бесконечно более сложное. Благодаря Перельману и Терстону у нас появился полный каталог всех допускаемых математикой форм трехмерного пространства, которые могла бы принять наша Вселенная (если рассматривать только пространство без времени).

Чтобы глубже понять гипотезу Пуанкаре и доказательство Перельмана, следует поближе познакомиться с топологией. В этом разделе математики форма объекта не имеет значения, как будто он сделан из теста, которое можно как угодно растягивать, сжимать и изгибать. Зачем же нам задумываться о вещах или пространствах из воображаемого теста? Дело в том, что точная форма объекта - расстояние между всеми его точками - относится к структурному уровню, который называют геометрией. Рассматривая объект из теста, топологи выявляют его фундаментальные свойства, не зависящие от геометрической структуры. Изучение топологии похоже на поиск наиболее общих черт, присущих людям, методом рассмотрения «пластилинового человека», которого можно превратить в любого конкретного индивида.
В популярной литературе часто встречается избитое утверждение, что с точки зрения топологии чашка ничем не отличается от бублика. Дело в том, что чашку из теста можно превратить в бублик, просто сминая материал, т.е. ничего не слепляя и не проделывая отверстий. С другой стороны, чтобы сделать бублик из шара, в нем непременно нужно сделать дырку или раскатать его в цилиндр и слепить концы, поэтому шар - это совсем не бублик.
Топологов больше всего интересуют поверхности шара и бублика. Поэтому вместо сплошных тел следует представлять себе воздушные шарики. Их топология по-прежнему различна, поскольку сферический воздушный шарик невозможно преобразовать в кольцевой, который называется тором. Сначала ученые решили разобраться, сколько вообще существует объектов с различной топологией и как их можно охарактеризовать. Для 2-многообразий, которые мы привыкли называть поверхностями, ответ изящен и прост: все определяется количеством «дырок» или, что то же самое, количеством ручек. К концу XIX в. математики поняли, как классифицировать поверхности, и установили, что самая простая из них - сфера. Естественно, топологи начали задумываться о трехмерных многообразиях: уникальна ли 3-сфера в своей простоте? Вековая история поисков ответа полна неверных шагов и ошибочных доказательств.
Анри Пуанкаре вплотную занялся этим вопросом. Он был одним из двух сильнейших математиков начала XX в. (другим был Давид Гильберт). Его называли последним универсалом - он успешно работал во всех разделах как чистой, так и прикладной математики. Кроме того, Пуанкаре внес огромный вклад в развитие небесной механики, теорию электромагнетизма, а также в философию науки, о которой написал несколько популярных книг.
Пуанкаре стал основателем алгебраической топологии и, используя ее методы, в 1900 г. сформулировал топологическую характеристику объекта, названную гомотопией. Чтобы определить гомотопию многообразия, нужно мысленно погрузить в него замкнутую петлю. Затем следует выяснить, всегда ли можно стянуть петлю в точку, перемещая ее внутри многообразия. Для тора ответ будет отрицательным: если расположить петлю по окружности тора, то стянуть ее в точку не удастся, т.к. будет мешать «дырка» бублика. Гомотопия - это количество различных путей, которые могут воспрепятствовать стягиванию петли.

На n-сфере любую, даже замысловато закрученную петлю всегда можно распутать и стянуть в точку. (Петле разрешается проходить через саму себя.) Пуанкаре предполагал, что 3-сфера - единственное 3-многообразие, на котором в точку можно стянуть любую петлю. К сожалению, он так и не смог доказать свое предположение, которое впоследствии стали называть гипотезой Пуанкаре.

Проведенный Перельманом анализ 3-многообразий тесно связан с процедурой геометризации. Геометрия имеет дело с фактической формой объектов и многообразий, сделанных уже не из теста, а из керамики. Например, чашка и бублик геометрически различны, поскольку их поверхности изогнуты по-разному. Говорят, что чашка и бублик - два примера топологического тора, которому приданы разные геометрические формы.
Чтобы понять, зачем Перельман использовал геометризацию, рассмотрим классификацию 2-многообразий. Каждой топологической поверхности назначена уникальная геометрия, искривление которой распределено по многообразию равномерно. Например, для сферы - это идеально сферическая поверхность. Другая возможная геометрия для топологической сферы - яйцо, но его кривизна не везде распределена равномерно: острый конец изогнут сильнее, чем тупой.
2-многообразия образуют три геометрических типа. Сфера характеризуется положительной кривизной. Геометризированный тор - плоский, ему свойственна нулевая кривизна. Все остальные 2-многообразия с двумя или более «дырками» имеют отрицательную кривизну. Им соответствует поверхность, похожая на седло, которое спереди и сзади изгибается вверх, а слева и справа -вниз. Такую геометрическую классификацию (геометризацию) 2-многообразий Пуанкаре разработал вместе с Паулем Кебе (Paul Koebe) и Феликсом Клейном (Felix Klein), именем которого названа бутылка Клейна.

Возникает естественное желание применить подобный метод к 3-многообразиям. Можно ли найти для каждого из них такую уникальную конфигурацию, у которой кривизна была бы распределена равномерно по всему многообразию?
Оказалось, что 3-многообразия гораздо сложнее своих двумерных собратьев и большинству из них нельзя поставить в соответствие однородную геометрию. Их следует разделять на части, которым соответствует одна из восьми канонических геометрий. Данная процедура напоминает разложение числа на простые множители.

Каким же образом можно геометризировать многообразие и придать ему повсюду равномерное искривление? Нужно взять некую произвольную геометрию с различными выступами и углублениями, а затем сгладить все неровности. В начале 90-х гг. XX в. к анализу 3-многообразий приступил Гамильтон, который воспользовался уравнением потока Риччи, названным так в честь математика Грегорио Риччи-Курбастро (Gregorio Ricci-Curbastro). Оно в чем-то схоже с уравнением теплопроводности, которое описывает тепловые потоки, протекающие в неравномерно нагретом теле до тех пор, пока его температура не станет везде одинаковой. Точно так же уравнение потока Риччи задает такое изменение кривизны многообразия, которое ведет к выравниванию всех выступов и углублений. Например, если начать с яйца, то оно постепенно станет сферическим.

Перельман добавил к уравнению потока Риччи новый член. Внесенное изменение не устранило проблему особенностей, но позволило провести гораздо более глубокий анализ. Российский ученый показал, что над многообразием в виде гантели можно провести «хирургическую» операцию: отрезать тонкую трубку по обе стороны от появляющегося пережима и заделать торчащие из шаров открытые трубки сферическими колпачками. Затем следует продолжать изменение «прооперированного» многообразия в соответствии с уравнением потока Риччи, а ко всем возникающим пережимам применять вышеописанную процедуру. Перельман также показал, что сигарообразные особенности появляться не могут. Таким образом, любое 3-многообразие можно свести к набору частей с однородной геометрией.
Когда поток Риччи и «хирургическую операцию» применяют ко всем возможным 3-многообразиям, любое из них, если оно столь же простое, как 3-сфера (иначе говоря, характеризуется такой же гомотопией), обязательно сводится к той же самой однородной геометрии, что и 3-сфера. Значит, с топологической точки зрения, рассматриваемое многообразие и есть 3-сфера. Таким образом, 3-сфера уникальна.

Ценность статей Перельмана заключается не только в доказательстве гипотезы Пуанкаре, но и в новых методах анализа. Ученые всего мира уже используют в своих работах результаты, полученные российским математиком, и применяют разработанные им методы в других областях. Оказалось, что поток Риччи связан с так называемой группой перенормировки, которая определяет, как изменяется сила взаимодействий в зависимости от энергии столкновения частиц. Например, при низких энергиях сила электромагнитного взаимодействия характеризуется числом 0,0073 (приблизительно 1/137). Однако когда два электрона сталкиваются лоб в лоб при скорости, почти равной скорости света, значение этой силы приближается к 0,0078. Математика, описывающая изменение физических сил, очень похожа на математику, описывающую геометризацию многообразия.
Увеличение энергии столкновения эквивалентно изучению силы на меньших расстояниях. Поэтому группа перенормировки подобна микроскопу с изменяемым коэффициентом увеличения, который позволяет исследовать процесс на разных уровнях детализации. Точно так же поток Риччи представляет собой микроскоп для рассмотрения многообразий. Выступы и углубления, видимые при одном увеличении, исчезают при другом. Вполне вероятно, что в масштабах длины Планка (около 10 -35 м) пространство, в котором мы живем, выглядит как пена со сложной топологической структурой. Кроме того, уравнения общей теории относительности, которые описывают характеристики гравитации и крупномасштабной структуры Вселенной, тесно связаны с уравнением потока Риччи. Как это ни парадоксально, член, добавленный Перельманом к выражению, которое использовал Гамильтон, возникает в теории струн, претендующей на звание квантовой теории гравитации. Не исключено, что в статьях российского математика ученые найдут еще много полезной информации не только об абстрактных 3-многообразиях, но также и о пространстве, в котором мы живем.

Ещё когда я был студентом-первокурсником у меня с одним моим одногруппником вышел горячий спор. Он говорил, что четырёхмерный куб представить нельзя ни в каком виде, а я уверял, что его можно представить достаточно отчётливо. Тогда я даже сделал из скрепок проекцию гиперкуба на наше трёхмерное пространство… Но давайте обо всём по-порядку.

Что такое гиперкуб и четырёхмерное пространство

В нашем привычном пространстве три измерения. С геометрической точки зрения это значит, что в нём можно указать три взаимно-перпендикулярных прямых. То есть для любой прямой можно найти вторую, перпендикулярную первой, а для пары можно найти третью прямую, перпендикулярную двум первым. Найти четвёртую прямую, перпендикулярную трём имеющимся, уже не удастся.

Четырёхмерное пространство отличается от нашего только тем, что в нём есть ещё одно дополнительное направление. Если у вас уже есть три взаимно перпендикулярные прямые, то вы можете найти четвёртую, такую, что она будет перпендикуляра всем трём.

Гиперкуб это просто куб в четырёхмерном пространстве.

Можно ли представить четырёхмерное пространство и гиперкуб?

Этот вопрос сродни вопросу: «можно ли представить Тайную Вечерю, посмотрев на одноимённую картину (1495-1498) Леонардо да Винчи (1452-1519)?»

С одной стороны, вы конечно не представите то, что видел Иисус (он сидит лицом к зрителю), тем более вы не почувствуете запаха сада за окном и вкуса еды на столе, не услышите пения птиц… Вы не получите полного представления о происходившем в тот вечер, но нельзя сказать, что вы не узнаете ничего нового и что картина не представляет никакого интереса.

Аналогичная ситуация и с вопросом о гиперкубе. Полностью представить его нельзя, но можно приблизиться к пониманию, каков он.

Построение гиперкуба

0-мерный куб

Начнём с начала - с 0-мерного куба. Этот куб содержит 0 взаимно перпендикулярных граней, то есть это просто точка.

1-мерный куб

В одномерном пространстве у нас есть только одно направление. Сдвигаем точку в этом направление и получаем отрезок.

Это одномерный куб.

2-мерный куб

У нас появляется второе измерение, сдвигаем наш одномерный куб (отрезок) в направлении второго измерения и получаем квадрат.

Это куб в двумерном пространстве.

3-мерный куб

С появлением третьего измерения поступаем аналогично: сдвигаем квадрат и получаем обычный трёхмерный куб.

4-мерный куб (гиперкуб)

Теперь у нас появилось четвёртое измерение. То есть в нашем распоряжении имеется направление, перпендикулярное всем трём предыдущим. Воспользуемся им точно так же. Четырёхмерный куб будет выглядеть вот так.

Естественно, трёхмерный и четырёхмерный кубы нельзя изобразить на двумерной плоскости экрана. То, что нарисовал я - это проекции. О проекциях мы поговорим чуть позже, а пока немного голых фактов и цифр.

Количество вершин, рёбер, граней

Обратите внимание, что гранью гиперкуба является наш обычный трёхмерный куб. Если внимательно посмотреть на рисунок гиперкуба, то можно действительно найти восемь кубов.

Проекции и зрение жителя четырёхмерного пространства

Несколько слов о зрении

Мы живём в трёхмерном мире, но видим мы его двумерным. Это связано с тем, что сетчатка наших глаз расположена в плоскости, имеющей только два измерения. Именно поэтому мы способны воспринимать двумерные картины и находить их похожими на реальность.

(Конечно, благодаря аккомодации, глаз может оценить расстояние до объекта, но это уже побочное явление, связанное с оптикой, встроенной в наш глаз.)

Глаза жителя четырёхмерного пространства должны иметь трёхмерную сетчатку. Такое существо может сразу увидеть трёхмерную фигуру полностью: все её грани и внутренности. (Точно так же мы можем увидеть двумерную фигуру, все её грани и внутренности.)

Таким образом, с помощью наших органов зрения, мы не способны воспринять четырёхмерный куб так, как его воспринимал бы житель четырёхмерного пространства. Увы. Остаётся только уповать на мысленный взор и фантазию, которые, к счастью, не имеют физических ограничений.

Тем не менее, изображая гиперкуб на плоскости, я просто вынужден делать его проекцию на двумерное пространство. Учитывайте это обстоятельство, при изучении рисунков.

Пересечения рёбер

Естественно, ребра гиперкуба не пересекаются. Пересечения появляются только на рисунках. Впрочем, это не должно вызывать удивления, ведь рёбра обычного куба на рисунках тоже пересекаются.

Длины рёбер

Стоит отметить, что все грани и рёбра четырёхмерного куба равны. На рисунке они получаются не равными только потому, что расположены под разными углами к направлению взгляда. Однако можно развернуть гиперкуб так, что все проекции будут иметь одинаковую длину.

Кстати, на этом рисунке отчётливо видны восемь кубов, являющихся гранями гиперкуба.

Гиперкуб внутри пустой

В это трудно поверить, но между кубами, ограничивающими гиперкуб, заключено некоторое пространство (фрагмент четырёхмерного пространства).

Чтобы это лучше понять, давайте рассмотрим двумерную проекцию обычного трёхмерного куба (я специально сделал её несколько схематичной).

Можно ли по ней догадаться, что внутри куба есть некоторое пространство? Да, но только применив воображение. Глаз этого пространства не видит.

Это происходит потому, что рёбра, расположенные в третьем измерении (которое нельзя изобразить на плоском рисунке), теперь превратились в отрезки, лежащие в плоскости рисунка. Они больше не обеспечивают объём.

Квадраты, ограничивающие пространство куба, наложились друг на друга. Но можно представить, что в исходной фигуре (трёхмерном кубе) эти квадраты располагались в разных плоскостях, а не один поверх другого в одной плоскости, как это получилось на рисунке.

Точно так же дело обстоит и с гиперкубом. Кубы-грани гиперкуба на самом деле не накладываются, как это кажется нам на проекции, а располагаются в четырёхмерном пространстве.

Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть трёхмерный объект одновременно со всех сторон. Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный куб? Глазом - нет. Но люди придумали способ, как изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно. Такое изображение называется развёрткой.

Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают. Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден. Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата (не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз .

Как понять 4-х мерное пространство?

Как раз благодаря воображению из неё можно почерпнуть много информации.

Развёртка четырёхмерного куба

Сделать анимированный процесс разворачивания гиперкуба хоть сколько нибудь наглядным просто невозможно. Но этот процесс можно представить. (Для этого надо посмотреть на него глазами четырёхмерного существа.)

Развёртка выглядит так.

Здесь видны все восемь кубов, ограничивающих гиперкуб.

Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться при сворачивании. Серыми оставлены грани для которых парных не видно. После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться с нижней гранью нижнего куба. (Аналогично сворачивается развёртка трёхмерного куба.)

Обратите внимание, что после свёртки все грани восьми кубиков придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб. И наконец, представляя процесс свёртывания, не забывайте, что при свёртывании происходит не наложение кубов, а оборачивание ими некой (гиперкубической) четырёхмерной области.

Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты фигурируют в очень многих его картинах. На картине «Распятие» (1954) используется развёртка гиперкуба.

Пространство-время и евклидово четырёхмерное пространство

Надеюсь, что вам удалось представить гиперкуб. Но удалось ли вам приблизиться к пониманию, как устроено четырёхмерное пространство-время в котором мы живём? Увы, не совсем.

Здесь мы говорили об евклидовом четырёхмерном пространстве, но пространство-время обладает совсем другими свойствами. В частности, при любых поворотах отрезки остаются всегда наклонены к оси времени либо под углом меньше 45 градусов, либо под углом больше 45 градусов.

Свойствам пространства времени я посвятил серию заметок.

Трехмерность изображения

Мир трехмерен. Его изображение двухмерно. Важной задачей живописи и, теперь, фотографии является передача трехмерности пространства. Некоторыми приемами владели уже римляне, потом они были забыты и начали возвращаться в классическую живопись с Ренессансом.

Основной прием создания трехмерного пространства в живописи — перспектива. Железнодорожные рельсы, удаляясь от зрителя, визуально сужаются. В живописи рельсы можно физически сузить. В фотографии перспектива возникает автоматически: камера снимет рельсы такими же зауженными, как их видит глаз. Однако не допускайте почти смыкания: оно будет выглядеть уже не перспективой, а странной фигурой; между рельсами, сторонами улицы, берегами реки должен сохраняться заметный просвет.

Важно понимать, что линейная перспектива — наиболее примитивный, реалистичный способ передачи мира.

Post navigation

Не случайно ее появление связано с театральными декорациями (Флоренский, “Обратная перспектива”). Условность, простота передачи театральной сцены небольшой глубины очень подходит для фотографии, лишенной разнообразия приемов, доступных в живописи.

Существуют перспективы, значительно более интересные, чем линейная. В работах китайских мастеров присутствует плавающая перспектива, когда объекты изображены одновременно снизу, сверху и спереди. Она не была технической ошибкой некомпетентных художников: легендарный автор этой техники, Guo Xi писал, что такое отображение позволяет осознать мир в его тотальности. Аналогична техника русской иконописи, в которой зритель может видеть лицо и спину персонажа одновременно. Интересным приемом иконописи, встречающимся также у западноевропейских художников, была обратная перспектива, в которой удаленные объекты, наоборот, крупнее близких, подчеркивая важность. Только в наши дни было установлено, что такая перспектива правильная: в отличие от удаленных предметов, ближний план действительно воспринимается в обратной перспективе (Раушенбах). Средствами фотошопа можно добиться обратной перспективы, увеличивая объекты заднего плана. Для привыкшего к законам фотографии зрителя смотреться такое изображение будет странно.

Введение в кадр угла здания, от которого в обе стороны расходятся стены, создает подобие изометрической перспективы. Мозг понимает, что стены находятся под прямым углом, и раскладывает остальное изображение соответственно. Такая перспектива динамичнее фронтальной и естественнее для ближнего плана. Просто вводите в кадр торцевые углы предметов и близко расположенных зданий.

За счет расширения, изометрическая перспектива мажорна, что редко подходит для классического портрета. Линейная перспектива, за счет сужения, лучше передает минорные эмоции.

На этапе съемки, фотографу доступен ряд инструментов, подчеркивающих перспективу. Уходящие вдаль объекты равной ширины (колея, улица, колонны, борозды) своим сужением и даже просто удалением обозначают зрителю трехмерность пространства. Эффект сильнее, если снимать с низкого ракурса, чтобы увеличить искажения перспективы. Для пейзажной съемки этого достаточно, но при небольшой глубине изображения интерьерной съемки эффект малозаметен. Его можно немного усилить в пост-обработке, заузив верхнюю часть изображения (Transform Perspective). Впрочем, и в пейзаже гипертрофированная перспектива может выглядеть интересно.

Глубина может быть явной по смыслу изображения: здания разделены улицей или рекой. Диагональ подчеркивает трехмерность; например, мост через реку.

Предметы известного зрителю размера на заднем плане задают масштаб и, соответственно, формируют перспективу. В пейзажной съемке таким предметом может быть автомобиль, а в портретной попробуйте присогнуть и поджать под стул ногу (от камеры), чтобы она, оставаясь видимой, казалась меньше. Можно даже чуть уменьшить эту ногу в пост-обработке.

Орнамент передает перспективу за счет визуального уменьшения элементов. Примером будет крупная плитка на полу, линии разметки на дороге.

Существует техника гипертрофированного переднего плана. Диспропорционально большой, он создает глубину изображения. Сравнивая масштаб переднего плана и модели, глаз приходит к выводу, что модель гораздо дальше, чем кажется. Гипертрофированность должна оставаться едва различимой, чтобы изображение не воспринималось ошибкой. Этот прием подходит не только для пост-обработки, но и при съемке: исказите пропорции, снимая объективом 35 или 50мм. Съемка широкоугольным объективом растягивает пространство, усиливая его трехмерность за счет нарушения пропорций. Эффект сильнее, если снимать модель с близкого расстояния, но опасайтесь гротескных пропорций: только авторы религиозных изображений могут изображать человека больше здания.

Отлично работает пересечение. Если яблоко частично закрывает собой грушу, то мозг не ошибется: яблоко находится впереди груши. Модель, частично закрывающая собой мебель, создает тем самым глубину интерьера.

Глубину изображению придает также чередование светлых и темных пятен. Мозг знает по опыту, что находящиеся рядом предметы освещены примерно одинаково, поэтому интерпретирует по-разному освещенные предметы как расположенные на разном расстоянии. Для такого эффекта, пятна чередуются в направлении оси перспективы — вглубь изображения, а не поперек него. Например, снимая модель, лежащую от камеры в темном кадре, положите блики света возле ягодиц и возле ног. Можно осветлять/ затемнять области в пост-обработке.

Последовательность все более темных предметов воспринимается уменьшающейся. За счет постепенного затенения объектов, расположенных по активной линии, можно получить тонкое ощущение перспективы. Аналогично, глубина передается ослаблением света: пустите полосу света по мебели или на полу.

Трехмерное изображение можно получить за счет не только светового, но и цветового контраста. Этот прием был известен фламандским живописцам, которые располагали на своих натюрмортах яркие цветные пятна. Красный гранат и желтый лимон рядом будут смотреться трехмерно даже при плоском фронтальном освещении. Особенно хорошо они будут выступать вперед на фоне фиолетового винограда: теплый цвет на фоне холодного. Яркие цветные поверхности хорошо вырываются из темноты даже слабым светом, типичным для натюрморта. Контраст цветов лучше работает с основными цветами: красным, желтым, синим, а не оттенками.

На черном фоне, желтый цвет выступает вперед, синий прячется назад. На белом фоне — наоборот. Насыщенность цвета усиливает этот эффект. Почему так происходит? Желтый цвет не бывает темным, поэтому мозг отказывается верить в то, что желтый предмет может быть погружен в темный фон, не освещен. Синий цвет, наоборот, темный.

Усиление перспективы в пост-обработке сводится к имитации атмосферного восприятия: удаленные объекты кажутся нам более светлыми, размытыми, со сниженным контрастом по яркости, насыщенности и тону.

Помимо больших расстояний, атмосферные эффекты естественно выглядят в утренней дымке, тумане, накуренном баре. Учитывайте погоду: в облачный день или в сумерках не может быть значительного отличия между передним и задним планами.

Самый сильный из факторов — контраст по яркости. В настройках это обычный контраст. Снизьте контрастность удаленных предметов, поднимите контрастность переднего плана — и изображение станет выпуклым. Речь не о контрасте между передним и задним планами, а о контрастности заднего плана, которая должна быть ниже контрастности переднего. Этот метод подходит не только для пейзажей и жанровой съемки, но и студийного портрета: поднимите контраст передней части лица, снизьте контраст на волосах и скулах, одежде. Портретные фильтры делают нечто похожее, размывая кожу модели и оставляя резкими глаза и губы.

Корректировка контраста — самый простой способ трехмерной пост-обработки изображения. В отличие от других процессов, зритель практически не заметит изменений, что позволит сохранить максимальную естественность.

На снижение контраста похоже размытие, но это разные процессы. Изображение может быть низкоконтрастным, оставаясь резким. В силу ограниченной глубины резкости, размытие удаленных предметов остается наиболее популярным способом передачи трехмерности на фотографии, и его легко усилить, размыв дальний план в пост-обработке. Поэтому же на заднем плане следует располагать поменьше деталей — мозг не ожидает различимых предметов вдалеке. Между тем, снижение контраста лучше отвечает естественному восприятию: удаленные горы видны низкоконтрастными, а не размытыми, потому что сканируя пейзаж, взгляд постоянно перефокусируется, ему чужда проблема глубины резкости. Размывая задний план, можно заодно поднять резкость переднего. Дополнительно, на переднем плане можно усилить линии изображения (High Pass Filter или Clarity). Именно высокая резкость переднего плана объясняет характерную выпуклость изображения высококачественных объективов. Осторожно: ради незначительного увеличения трехмерности вы можете сделать изображение слишком жестким.

Более светлые объекты кажутся более удаленными. Связано это с тем, что в природе мы видим дальние объекты сквозь толщу рассеивающего свет воздуха; дальние горы кажутся светлыми. В пейзажной съемке следует, поэтому, с осторожностью относиться к расположению светлых объектов на переднем плане.

Осветлите дальние объекты. Чем удаленнее, тем больше они сливаются с яркостью и тоном неба. Обратите внимание, что горизонтальные объекты (земля, море) лучше освещаются, чем вертикальные (стены, деревья), поэтому не переусердствуйте с осветлением последних. В любом случае, объекты должны оставаться заметно менее светлыми, чем небо.

Хорошо, если вы заметили, что осветление — это другой способ снизить контраст по яркости заднего плана. Чуть затемните передний план для усиления эффекта выпуклости.

Казалось бы, в интерьере все наоборот. Если на улице глаз привык к тому, что даль светла, то в комнате свет зачастую сосредоточен на человеке, а интерьер погружен в темноту; мозг привык к освещению переднего плана, а не заднего.

На интерьерных изображениях с малой глубиной сцены, в отличие от пейзажных, освещенная модель выступает из темного фона. Но есть и противоположный фактор: 99% своей эволюции, человек наблюдал перспективу на открытой местности, и с появлением комнат мозг еще не успел перестроиться. Вермеер предпочитал светлый фон для портретов, и они у него действительно выпуклые. Освещение вертикального фона, рекомендуемое в фотографии, не только отделяет от него модель, но и за счет осветления фона придает изображению небольшую трехмерность. Здесь мы сталкиваемся с тем, что мозг анализирует расположение объектов по нескольким факторам, и они могут быть конфликтующими.

Интересно выглядит студийное освещение, в котором световые пятна лежат на удаленных от камеры зонах модели. Например, подсвечена та грудь, которая дальше от камеры.

Снизьте насыщенность цвета на удаленных объектах: из-за толщи разделяющего нас воздуха, дальние горы десатурированы почти до уровня монохрома и покрыты синей дымкой. Насыщенность переднего плана можно увеличить.

Поскольку желтый цвет светлый, а синий и красный — темные, то цветовой контраст заодно является и контрастом по яркости.

Десатурируя удаленный фон, не дайте ему пропасть из виду. Часто, напротив, нужно поднять насыщенность дальнего плана, чтобы проявить его. Это важнее трехмерности.

Много советов по трехмерности фотографии посвящено температурному контрасту. На самом деле, этот эффект очень слабый, легко перебивается контрастом по яркости. К тому же, температурный контраст назойлив, бросается в глаза.

Очень удаленные предметы кажутся более холодного цвета, потому что воздух поглощает теплый оранжевый свет. Фотографируя модель на пляже на фоне кораблей, расположенных у горизонта, в пост-обработке снизьте цветовую температуру далекого моря и судов. Модель в красном купальнике выступает из синего моря, а модель в желтом свете уличного фонаря — из синеватых сумерек.

В этом заключается раздельное тонирование: модель делаем теплее, фон — холоднее. Мозг понимает, что в одной плоскости разных цветовых температур не бывает, и воспринимает такое изображение трехмерным, на котором модель выступает из фона. Раздельное тонирование придает глубину и пейзажам: сделайте передний план теплее, задний холоднее.

Важное исключение из раздельного тонирования: на восходе и закате, удаленный фон вовсе не холодный, а теплый, с желтыми и красно-оранжевыми тонами. Очевидное решение — использовать белокожую модель в фиолетовом купальнике — не работает, потому что закатный свет наносит теплый оттенок и на тело модели.

Обобщим: для придания фотографии трехмерности на основе атмосферных эффектов, необходимо противопоставить передний и задний планы. Основное противопоставление — по обычному контрасту: передний план контрастный, задний — слабоконтрастный. Второе противопоставление — по резкости: передний план резкий, задний — размытый. Третье противопоставление — по светлости: передний план темный, задний — светлый. Четвертое противопоставление — по насыщенности: цвета переднего плана насыщены, заднего — десатурированы. Пятое противопоставление — по температуре: передний план теплый, задний — холодный.

Перечисленные факторы нередко разнонаправленны. Желтый цвет ярче синего, а светлые предметы кажутся дальше темных. Естественно было бы ожидать, что желтый цвет отступает, а синий — приближается к зрителю. На самом деле, наоборот: теплый цвет выступает из холодного фона. То есть, цвет оказывается более сильным фактором, чем яркость. Что, по размышлении, и не удивительно: желтый и красный хорошо различимы только вблизи, и зритель не ожидает их встретить на большом расстоянии.

Итог: удерживайте задний план низкоконтрастным, размытым, светлым, десатурированным, синеватым. И будьте готовы к тому, что зритель, привыкший к гипертрофированному 3D кинофильмов, сочтет созданную вами трехмерность едва заметной или отсутствующей.

В портретной съемке, лучше полагаться на проверенный эффект chiaroscuro — игру светотени на лице модели, которая сделает изображение достаточно выпуклым. В жанровой съемке, перспектива дает наиболее заметный эффект трехмерности. В натюрморте, основным фактором будет пересечение (наложение) предметов.

Не увлекайтесь перспективой; она лишь фон для фронтальной плоскости, на которой трепещет ваше изображение. В современной живописи, далекой от реализма, перспектива не в почете.

Скачать книгу целиком: pdfepubazw3mobifb2litОглавление