«Средняя общеобразовательная школа №51»

На конкурс «Учитель года», школьный этап

План-конспект урока математики для 8 «А» класса

Тема: Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня.

Выполнила:

Учитель математики

Аралбаева Нурслу Еркагалеевна

МОБУ «СОШ №51»

г.Оренбург, 2015г.

Тип урока : систематизация и обобщение знаний.

Методы обучения : проблемный, словесный, наглядный, практический.

Формы классной работы : индивидуальная, парная.

Оборудование :

мел, классная доска

компьютер

мультимедийный проектор с экраном

электронная версия урока - презентация

раздадочный материал (кардочки с заданиями разного уровня)

Цели урока:

Образовательная: обобщить знания по всем видам преобразований выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, закреплять умения пользоваться свойствами квадратного корня, учиться использовать полученные знания для подготовки к РОЭ.

Развивающая: развитие нестандартного подхода к решению проблемы; развитие мышления, грамотной математической речи, навыков самоконтроля; формировать умение организовывать свою деятельность.

Воспитательная: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.

Учащиеся должны знать:

Алгоритм внесения множителя под знак корня.

Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня.

Применение свойств квадратного корня.

Определение квадратного корня.

« Величие человека в его способности мыслить ».

Блез Паскаль.

I Организационный момент

Вступление. Сообщение темы и целей урока.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

Что есть больше всего на свете? – Пространство.

Что быстрее всего? – Ум.

Что мудрее всего? – Время.

Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

В данный момент в класс стучатся и сообщают о том, что школа получила почту, в которой была бандероль для 8 “А” класса. Учитель вскрывает бандероль, в которой находятся письма для каждого учащегося. Получив конверты, учащиеся знакомятся с содержимым. Один из учеников читает вслух рекомендательное письмо:

Уважаемая Нурслу Еркагалеевна!

Оренбургский Государственный университет предлагает Вам принять участие в международном конкурсе “Дети - наше будущее”. Целью проводимого конкурса является выявление одаренных детей в различных регионах нашей страны и предоставление им возможности обучаться в высших учебных заведениях на государственной основе.

Поскольку профилирующими предметами у нас являются математика, физика, информатика, то для участия в конкурсе “Дети - наше будущее” необходимо выполнить задание по предмету “Математика”. Рекомендации по другим предметам Вы получите позже.

Помните, при положительных результатах у Вас появится шанс на поступление в наш университет.

Желаем удачи!

Учитель:

Ребята, нам предлагают принять участие в конкурсе “Дети - наше будущее” и у Вас появится возможность поступить в ВУЗ. Для этого необходимо выполнить предлагаемые задания. Однако, прежде, чем перейти к выполнению задания, повторим основные моменты по теме.

II Актуализация знаний

Вынести из-под знака корня:

Внести множитель под знак корня:

Возведите в квадрат:

Приведите подобные слагаемые:

Получи рисунок (работа в парах)

III Физминутка

Физкультминутка для глаз

IV Тестовая работа.

Тест из заданий РОЭ

Найти значение выражения:

-2(
) 2

А. 9,6 Б. 0 В. 0,38 Г. 2,4

А. 42 Б. 18 В. 60 Г. 6

Найти значение выражения:

0,5
+ 3

А. 62,93 Б. 0 В. 8,2 Г. 1

Найти значение выражения:

- 0,5 (
) 2

А. 141 Б. 9. В. 6 Г. 0

А. 0 Б. 0,7 В.1 Г.0,1

Найти значение выражения:

-2(
) 2

А. 8,75 Б. 0,1 В. 0,28 Г. 3,6

А. 47 Б. 8 В. 70 Г. 16

Найти значение выражения:

0,5
+ 3

А. 0 Б. 58,61 В. 8,1 Г. 1

Найти значение выражения:

- 0,5 (
) 2

А. 7 Б. 121 В. 6 Г. 0

А. 0 Б. 1 В. 0,3 Г. 0,1

Заполнив таблицу, учащиеся вкладывают выполненное задание в конверт и сдают учителю. Учитель выставляет оценки, благодарит учащихся за работу и сообщает, что на следующем уроке учащиеся получат конверты с результатом и узнают о шансе поступления. VII Итог урока.

Рефлексия

Наша работа подходит к концу и наступает момент творчества. Какой праздник нас ожидает в ближайшее время (Новый год). Мы нарядим «Ёлочку настроения». И пусть она соединит в себе ваше настроение, ваши чувства и эмоции от урока.

Я доволен своей работой на уроке (смайлик соответствующий)

На уроке я работал неплохо.

На уроке мне было трудно.

Пожалуйста, выберите соответствующий вашим эмоциям смайлик, подойдите к доске и повесьте его на ёлочку.

Что же у нас получилось? Очень яркая ёлочка говорит о том, что вы с интересом работали на уроке, узнали много нового, что заставило вас задуматься и изменить свое отношение к алгебре. Я позволю себе добавить несколько штрихов:
- Пусть снежинки окрыляют нас к успеху и творчеству (вешаю снежинки).
- Я надеюсь, что урок принес радость не только мне, но и вам уважаемые мои ученики (Включаем гирлянду).
- А те знания, что вы приобрели, сегодня пусть останутся с вами навсегда.

VIII Задание на дом:

Дифференцированное: уровень А – оценка «3», уровень В – оценка «4», уровень С – оценка «5».

Выставление оценок

Литература:

Программа: для общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г.Мордковича.

Поурочные разработки по алгебре 8 класс О.В.Занина, И.Н. Данкова.

Алгебра. 8 класс

Учитель: Кулешова Татьяна Николаевна

Тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Цель урока: формирование умений учащихся преобразовывать выражения, содержащих квадратные корни

Задачи:

Образовательные: знать свойства арифметического квадратного корня; научиться преобразовывать такие выражения, содержащие квадратные корни, как вынесение множителя из – под знака корня, внесение множителя в знак корня и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби;

Развивающие: развивать познавательные и творческие способности, мышление, наблюдательность, сообразительность и навыки самостоятельной деятельности; привитие интереса к математике;

Воспитательные : умение работать в команде (группе), желания активно учиться с интересом; четкость и организованность в работе; дать каждому ученику достичь успеха;

Оборудование: Школьные принадлежности, доска, мел, учебник, раздаточный материал.

План урока

1. Организационный момент
2. Целеполагание
3. Повторение
4. Самостоятельная работа
5. Диктант
6. Тест
7. Работа по учебнику
8. Инструктаж домашнего задания
9. Итоги урока. Рефлексия

Ход работы

1. Организационный момент

Мотивация урока

«Закройте глаза, сядьте поудобнее. Представьте что-то очень приятное вам. Вам хорошо, удобно. Вокруг вас много друзей. Среди них и натуральные числа, с которыми мы с вами хорошо знакомы. Ряды наших друзей пополняются и к ним присоединились дробные числа. А вот подошли и отрицательные числа. А теперь вы идете на встречу рациональным и иррациональным числам. Пройдёт время, и мы познакомимся с вами с новыми числами и, пока на свете существует математика, эти числа бесконечны».

« Знание – только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью ».Л. Н. Толстой.-Эти слова Л. Н. Толстого важны и актуальны при изучении математики, ведь математика одна из немногих наук, где надо постоянно размышлять. Ваша задача показать свои знания и умения в процессе устной работы, тестирования, работы у доски.

У каждого из вас на столе лежит оценочный лист, после каждого выполненного задания не забываем выставлять оценки, а в конце урока поставить итоговую оценку.

1. Целеполагание

Решите анаграмму (Работа в группах)

ОБ – ЗО – РА – ПРЕ – НИЕ – ВА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

НИЙ – РА – ЖЕ – ВЫ ВЫРАЖЕНИЙ

ЩИХ – ДЕР – ЖА – СО СОДЕРЖАЩИХ

РАТ – КВ – НЫЕ – АД КВАДРАТНЫЕ

НИ – КО – Р КОРНИ

Решив анаграмму, учащиеся определяют тему урока

Как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке?

Давайте вместе сформулируем цель нашего урока.

1. Повторение ранее изученного материала

А 1) Устный счёт:

Проверка теории: Соединить линией соответствующие части определения.

оценка -2 балла

2). Завершить утверждение.

а) Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. (оценка -2 балла)

б) Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом. (оценка -2 балла)

в) Корень из дроби, числитель которой является неотрицательным числом, а знаменатель положительным, равен корню из числителя, деленного на корень из знаменателя.( оценка -2 балла)

3) Установить соответствие (2 балла)

В. 3 учащихся получают по алгоритму преобразований выражений, содержащих квадратные корни. Задание: изобразить, начертить, написать, показать и т.д. и защитить (спикер).

3) Извлечь корень

1. Разложить знаменатель дроби на множители.
2. Если знаменатель имеет вид или содержит множитель , то числитель и знаменатель следует умножить на или на .
3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.

1. Самостоятельная работа

Вынеси множитель из-под знака корня:

(2 балла )

3)

Упростите выражение (4 балла)

1. Тест на ноутбуке (оценка выставляется автоматически)

1) 6 =

а) , б) , в) - , г) .

2) 5 =

3) 3 =

а) , б) , в) - , г) .

1. Диктант:

Вариант-1	Ответы:

За каждое правильно выполненное задание 0,5 балла.

1. Работа по учебнику- работа на доске: каждый учащийся получает конкретный пример, по очереди решают на доске, все записывают в тетради. (1 балл)
2. Информация о домашнем задании
3. Подведение итогов урока. Рефлексия

Оценивание

Оценочный лист. Ф.И учащегося _______________________Оценка _____

Этап урока	Баллы
Устный счёт
Самостоятельная работа
Тест
Диктант
Работа по учебнику- работа на доске
Дополнительные задания
Итого баллов за урок
Моё настроение в конце урока- после оценки за урок

Перевод баллов в оценку

25 баллов и более – оценка «5»

24 – 18 баллов – оценка «4»

17 – 9 баллов – оценка «3»

0 – 8 баллов – оценка «2»

Для оценивания всей работы за урок используется «Перевод баллов в оценку» - с обратной стороны оценочного листа.

Заполните до конца оценочный лист. Оценки за урок.

Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской.

Если в жизни ты хоть на мгновенье

Истину в сердце своем ощутил,

Если луч света сквозь мрак и сомненье

Ярким сияньем твой путь озарил:

Что бы в решенье твоем неизменном

Рок ни назначил тебе впереди,

Память об этом мгновенье священном

Вечно храни, как святыню в груди.

Тучи сберутся громадой нестройной,

Небо покроется черною мглой,

С ясной решимостью, с верой спокойной

Бурю ты встреть и померься с грозой.

В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. А как мы сегодня с вами преодолевали преграды? Чем мы занимались на уроке?

- Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Все работали плодотворно, активно и коллективно в течение урока.

Урок окончен. Всем спасибо за урок!

Внести множитель под знак корня:

1) 6 =

а) , б) , в) - , г) .

2) 5 =

3) 3 =

а) , б) , в) - , г) .

Тест Ф.И.____________________

Внести множитель под знак корня:

1) 6 =

а) , б) , в) - , г) .

2) 5 =

3) 3 =

а) , б) , в) - =

а) , б) , в) - , г) .

2) 5 =

3) 3 =

а) , б) , в) - =

а) , б) , в) - , г) .

2) 5 =

3) 3 =

а) , б) , в) - =

а) , б) , в) - , г) .

2) 5 =

3) 3 =

а) , б) , в) - , г) .

Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня

1) Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень.

2) Применим теорему о корне из произведения.

3) Извлечь корень

Алгоритм внесения множителя под знак корня

1) Представим произведение в виде арифметического квадратного корня.

2) Преобразуем произведение квадратных корней в квадратный корень из произведения подкоренных выражений.

3) Выполним умножение под знаком корня.

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:

1) Разложить знаменатель дроби на множители.

Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.

Навигация по странице.

Вспомним свойства корней

Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.

Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):

А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):

Преобразование выражений с числами под знаками корней

По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.

Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.

Приведем еще несколько примеров.

Упростим выражение . Числа 3 , 5 и 7 положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3 - как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:

Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:

Возможны и другие варианты решения, например, такой:

Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a . Имеем:

Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием

а уже дальше применять свойства корней

До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.

Пример.

Преобразуйте иррациональное выражение .

Решение.

По свойству первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2 :

Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81 не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3 :

Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: . Имеем

Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.

Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12 , и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем

Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:

Оформим краткий вариант решения:

Ответ:

.

Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.

Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .

Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо

• выбрать подходящее свойство из списка,
• убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
• и провести задуманное преобразование.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .

Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2 . Если сразу подставить вместо переменной x число −2 , то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.

Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0 , его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪}