Частные производные частный и полный дифференциал. Частные производные. Частные и полный дифференциалы функции

Для упрощения записи и изложения материала ограничимся случаем функций двух переменных. Все дальнейшее справедливо также для функций любого числа переменных.

Определение. Частной производной функции z = f (х, у ) по независимой переменной х называется производная

вычисленная при постоянном у .

Аналогично определяется частная производная по переменной у .

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Определение. Произведение частной производной на приращение аргумента х ( y) называется частным дифференциалом по переменной х (у ) функции двух переменных z = f (x, y ) (обозначения: ):

Если под дифференциалом независимой переменной dx (dy ) понимать приращение х (у ), то

Для функции z = f (x, y ) выясним геометрический смысл ее частотных производных и .

Рассмотрим точку , точку P 0 (х 0 , y 0 , z 0) на поверхности z = f (x , у ) и кривую L , которая получится при сечении поверхности плоскостью у = у 0 . Эту кривую можно рассматривать как график функции одной переменной z = f (x, y ) в плоскости у = у 0 . Если провести в точке Р 0 (х 0 , у 0 , z 0) касательную к кривой L , то, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной , где a – угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ох .

Или: аналогично зафиксируем другую переменную, т.е. проведем сечение поверхности z = f (x, y ) плоскостью х = х 0 . Тогда функцию

z = f (x 0 , y ) можно рассмотреть как функцию одной переменной у :

где b – угол, образованный касательной в точке М 0 (х 0 , у 0) с положительным направлением оси Oy (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Иллюстрация геометрического смысла частных производных

Пример 1.6. Дана функция z = х 2 – 3ху – 4у 2 – х + 2у + 1. Найти и .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим

Считая х постоянной, находим

Понятие функции двух переменных

Величина z называется функцией двух независимых переменных x и y , если каждой паре допустимых значений этих величин по определенному закону соответствует одно вполне определенное значение величины z. Независимые переменные x и y называют аргументами функции.

Такая функциональная зависимость аналитически обозначается

Z = f (x,y), (1)

Значения аргументов x и y, которым соответствуют действительные значения функции z, считаются допустимыми , а множество всех допустимых пар значений x и y называют областью определения функции двух переменных.

Для функции нескольких переменных, в отличие от функции одной переменной, вводят понятия ее частных приращений по каждому из аргументов и понятие полного приращения.

Частным приращением Δ x z функции z=f (x,y) по аргументу x называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент x получает приращение Δx при неизменном y :

Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Частным приращением Δ y z функции z= f (x, y) по аргументу y называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент y получает приращение Δy при неизменном x:

Δ y z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Полным приращением Δz функции z= f (x, y) по аргументам x и y называется приращение, которое получает функция, если оба ее аргумента получают приращения:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

При достаточно малых приращениях Δx и Δy аргументов функции

имеет место приближенное равенство:

Δz Δ x z + Δ y z , (5)

причем оно тем точнее, чем меньше Δx и Δy .

Частные производные функции двух переменных

Частной производной функции z=f (x, y) по аргументу x в точке (x, y) называется предел отношения частного приращения Δ x z этой функции к соответствующему приращению Δx аргумента x при стремлении Δx к 0 и при условии, что этот предел существует:

, (6)

Аналогично определяют производную функции z=f (x, y) по аргументу y:

Кроме указанного обозначения, частные производные функции обозначают также , z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Основной смысл частной производной состоит в следующем: частная производная функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов характеризует скорость изменения данной функции при изменении этого аргумента.

При вычислении частной производной функции нескольких переменных по какому-либо аргументу все остальные аргументы этой функции считаются постоянными.

Пример1. Найти частные производные функции

f (x, y)= x 2 + y 3

Решение . При нахождении частной производной этой функции по аргументу x аргумент y считаем постоянной величиной:

;

При нахождении частной производной по аргументу y аргумент x считаем постоянной величиной:

.

Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных

Частным дифференциалом функции нескольких переменных по какому -либо из ее аргументов называется произведение частной производной этой функции по данному аргументу на дифференциал этого аргумента:

d x z= , (7)

d y z= (8)

Здесь d x z и d y z -частные дифференциалы функции z= f (x, y) по аргументам x и y. При этом

dx= Δx; dy= Δy, (9)

Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма ее частных дифференциалов:

dz= d x z + d y z , (10)

Пример 2. Найдем частные и полный дифференциалы функции f (x, y)= x 2 + y 3 .

Так как частные производные этой функции найдены в примере 1, то получаем

d x z= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2 dy

Частный дифференциал функции нескольких переменных по каждому из ее аргументов является главной частью соответствующего частного приращения функции .

Вследствие этого можно записать:

Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)

Аналитический смысл полного дифференциала заключается в том, что полный дифференциал функции нескольких переменных представляет собой главную часть полного приращения этой функции .

Таким образом, имеет место приближенное равенство

Δz dz, (12)

На использовании формулы (12) основано применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Представим приращение Δz в виде

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

а полный дифференциал в виде

Тогда получаем:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3.Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Определение функции двух переменных.

2. Понятие частного и полного приращения функции двух переменных.

3. Определение частной производной функции нескольких переменных.

4. Физический смысл частной производной функции нескольких переменных по какому- либо из ее аргументов.

5. Определение частного дифференциала функции нескольких переменных.

6. Определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

7. Аналитический смысл полного дифференциала.

Студент должен уметь:

1. Находить частные и полное приращение функции двух переменных.

2. Вычислять частные производные функции нескольких переменных.

3. Находить частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.

4. Применять полный дифференциал функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

Теоретическая часть :

1. Понятие функции нескольких переменных.

2. Функция двух переменных. Частное и полное приращение функции двух переменных.

3. Частная производная функции нескольких переменных.

4. Частные дифференциалы функции нескольких переменных.

5. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

6. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

Практическая часть:

1.Найдите частные производные функций:

1) ; 4) ;

2) z= e ху+2 x ; 5) z= 2tg хе у;

3) z= х 2 sin 2 y; 6) .

4. Дайте определение частной производной функции по данному аргументу.

5. Что называется частным и полным дифференциалом функции двух переменных? Как они связаны между собой?

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. Равно ли в общем случае произвольной функции нескольких переменных ее полное приращение сумме всех частных приращений?

2. В чем состоит основной смысл частной производной функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов?

3. В чем состоит аналитический смысл полного дифференциала?

7.Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 20 мин.

3.Решение примеров и задач - 40 мин.

4. Текущий контроль знаний -30 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию :

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, § 3.3.

Лекция 3 ФНП, частные производные, дифференциал

Что главное мы узнали на прошлой лекции

Мы узнали, что такое функция нескольких переменных с аргументом из евклидова пространства. Изучили, что такое предел и непрерывность для такой функции

Что мы узнаем на этой лекции

Продолжая изучение ФНП, мы изучим частные производные и дифференциалы для этих функций. Узнаем, как написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Частная производная, полный дифференциал ФНП. Связь дифференцируемости функции с существованием частных производных

Для функции одной вещественной переменной после изучения тем «Пределы» и «Непрерывность» (Введение в математический анализ) изучались производные и дифференциалы функции. Перейдем к рассмотрению аналогичных вопросов для функции нескольких переменных. Заметим, что если в ФНП зафиксировать все аргументы, кроме одного, то ФНП порождает функцию одного аргумента, для которой можно рассматривать приращение, дифференциал и производную. Их мы будем называть соответственно частным приращением, частным дифференциалом и частной производной. Перейдем к точным определениям.

Определение 10 . Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства и соответствующие приращения аргументов , ,…, . При величины , называются частными приращениями функция . Полное приращение функции - это величина .

Например, для функции двух переменных , где - точка на плоскости и , соответствующие приращения аргументов, частными будут приращения , . При этом величина является полным приращениями функции двух переменных .

Определение 11 . Частной производной функции переменных по переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению соответствующего аргумента , когда стремится к 0.

Запишем определение 11 в виде формулы или в развернутом виде . (2) Для функции двух переменных определение 11 запишется в виде формул , . С практической точки зрения данное определение означает, что при вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные фиксируются и мы рассматриваем данную функцию как функцию одной выбранной переменной. По этой переменной и берется обычная производная.

Пример 4 . Для функции , где найдите частные производные и точку, в которой обе частные производные равны 0.

Решение . Вычислим частные производные , и систему запишем в виде Решением этой системы являются две точки и .

Рассмотрим теперь, как понятие дифференциала обобщается на ФНП. Вспомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой, если ее приращение представляется в виде , при этом величина является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом. Величина является функцией от , обладает тем свойством, что , т. е. является функцией, бесконечно малой по сравнению с . Функция одной переменной дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке. При этом константа и равна этой производной, т. е. для дифференциала справедлива формула .

Если рассматривается частное приращение ФНП , то меняется только один из аргументов, и это частное приращение можно рассматривать как приращение функции одной переменной, т. е. работает та же теория. Следовательно, условие дифференцируемости выполнено тогда и только тогда, когда существует частная производная , и в этом случае частный дифференциал определяется формулой .

А что же такое полный дифференциал функции нескольких переменных?

Определение 12 . Функция переменных называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представляется в виде . При этом главная часть приращения называется дифференциалом ФНП.

Итак, дифференциалом ФНП является величина . Уточним, что мы понимаем под величиной , которую мы будем называть бесконечно малой по сравнению с приращениями аргументов . Это функция, которая обладает тем свойством, что если все приращения, кроме одного , равны 0, то справедливо равенство . По сути это означает, что = = + +…+ .

А как связаны между собой условие дифференцируемости ФНП и условия существования частных производных этой функции?

Теорема 1 . Если функция переменных дифференцируема в точке , то у нее существуют частные производные по всем переменным в этой точке и при этом .

Доказательство . Равенство запишем при и в виде и раздели обе части полученного равенства на . В полученном равенстве перейдем к пределу при . В итоге мы и получим требуемой равенство . Теорема доказана.

Следствие . Дифференциал функции переменных вычисляется по формуле . (3)

В примере 4 дифференциал функции был равен . Заметим, что этот же дифференциал в точке равен . А вот если мы его вычислим в точке с приращениями , , то дифференциал будет равен . Заметим, что , точное значение заданной функции в точке равно , а вот это же значение, приближенно вычисленное с помощью 1-го дифференциала, равно . Мы видим, что, заменяя приращение функции ее дифференциалом, мы можем приближенно вычислять значения функции.

А будет ли функция нескольких переменных дифференцируема в точке, если она имеет частные производные в этой точке. В отличии от функции одной переменной ответ на этот вопрос отрицательный. Точную формулировку взаимосвязи дает следующая теорема.

Теорема 2 . Если у функции переменных в точке существуют непрерывные частные производные по всем переменным, то функция дифференцируема в этой точке.

в виде . В каждой скобке меняется только одна переменная, поэтому мы можем и там и там применить формулу конечных приращений Лагранжа. Суть этой формулы в том, что для непрерывно дифференцируемой функции одной переменной разность значений функции в двух точках равна значению производной в некоторой промежуточной точке, умноженному на расстояние между точками. Применяя эту формулу к каждой из скобок, получим . В силу непрерывности частных производных производная в точке и производная в точке отличаются от производных и в точке на величины и , стремящиеся к 0 при , стремящихся к 0. Но тогда и, очевидно, . Теорема доказана. , а координата. Проверьте, что эта точка принадлежит поверхности. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в указанной точке.

Решение . Действительно, . Мы уже вычисляли в прошлой лекции дифференциал этой функции в произвольной точке, в заданной точке он равен . Следовательно, уравнение касательной плоскости запишется в виде или , а уравнение нормали - в виде .

Линеаризация функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Производные и дифференциалы высших порядков.

1. Частные производные ФНП *)

Рассмотрим функцию и = f (P), РÎDÌR n или, что то же самое,

и = f (х 1 , х 2 , ..., х п ).

Зафиксируем значения переменных х 2 , ..., х п , а переменной х 1 дадим приращение Dх 1 . Тогда функция и получит приращение , определяемое равенством

= f (х 1 +Dх 1 , х 2 , ..., х п ) – f (х 1 , х 2 , ..., х п ).

Это приращение называют частным приращением функции и по переменной х 1 .

Определение 7.1. Частной производной функции и = f (х 1 , х 2 , ..., х п ) по переменной х 1 называется предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента Dх 1 при Dх 1 ® 0 (если этот предел существует).

Обозначается частная производная по х 1 символами

Таким образом, по определению

Аналогично определяются частные производные по остальным переменным х 2 , ..., х п . Из определения видно, что частная производная функции по переменной х i – это обычная производная функции одной переменной х i , когда остальные переменные считаются константами. Поэтому все ранее изученные правила и формулы дифференцирования могут быть использованы для отыскания производной функции нескольких переменных.

Например, для функции u = x 3 + 3xy – z 2 имеем

Таким образом, если функция нескольких переменных задана явно, то вопросы существования и отыскания ее частных производных сводятся к соответствующим вопросам относительно функции одной переменной – той, по которой необходимо определить производную.

Рассмотрим неявно заданную функцию. Пусть уравнение F(x , y ) = 0 определяет неявную функцию одной переменной х . Справедлива

Теорема 7.1.

Пусть F(x 0 , y 0) = 0 и функции F(x , y ), F¢ х (x , y ), F¢ у (x , y ) непрерывны в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), причем F¢ у (x 0 , y 0) ¹ 0. Тогда функция у , заданная неявно уравнением F(x , y ) = 0, имеет в точке (x 0 , y 0) производную, которая равна

.

Если условия теоремы выполняются в любой точке области DÌ R 2 , то в каждой точке этой области .

Например, для функции х 3 –2у 4 + ух + 1 = 0 находим

Пусть теперь уравнение F(x , y , z ) = 0 определяет неявную функцию двух переменных. Найдем и . Так как вычисление производной по х производится при фиксированном (постоянном) у , то в этих условиях равенство F(x , y =const, z ) = 0 определяет z как функцию одной переменной х и согласно теореме 7.1 получим

.

Аналогично .

Таким образом, для функции двух переменных, заданной неявно уравнением , частные производные находят по формулам: ,

Практическая работа №2

«Дифференциал функции»

Цель занятия : Научиться решать примеры и задачи по данной теме.

Вопросы теории (исходный уровень):

1. Применение производных для исследования функций на экстремум.

2. Дифференциал функции, его геометрический и физический смысл.

3. Полный дифференциал функции многих переменных.

4. Состояние организма как функция многих переменных.

5. Приближенные вычисления.

6. Нахождение частных производных и полного дифференциала.

7. Примеры использования указанных понятий в фармакокинетике, микробиологии и др.

(самостоятельная подготовка)

1. ответить на вопросы по теме занятия;

2. решить примеры.

Примеры

Найти дифференциалы следующих функций:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Применение производных для исследования функций

Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b]

Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b]

Условие максимума функции y=f(x)при x= а

f"(a)=0 и f"" (a)<0

Если при х=а производные f"(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f"(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f"(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума - с « - » на «+» Если f"(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке у функ­ции экстремума нет

Дифференциал функции.

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

Дифференциал функции y=f(x)

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

Дифференциал произведения двух функций у=uv

Дифференциал частного двух функций y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Приращение функции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx

где Δx: - приращение аргумента.

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx

Применениедифференциала в приближенных вычислениях

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погрешность результата измерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Дифференциал функции как главная часть приращения функци и. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции. Пусть функция f(x) непрерывна при данных значениях х и имеет производную

Df/Dx = f¢(x) + a(Dx) , откуда приращение функции Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, где a(Dх) ® 0 при Dх ® 0 . Определим порядок бесконечно малой f¢(x)Dx Dх. :

Следовательно, бесконечно малые f¢(x)Dx и Dx имеют одинаковый порядок малости, то есть f¢(x)Dx = O.

Определим порядок бесконечно малой a(Dх)Dх по отношению к бесконечно малой Dх :

Следовательно, бесконечно малая a(Dх)Dх имеет более высокий порядок малости по сравнению с бесконечно малой Dх , то есть a(Dх)Dх = о.

Таким образом, бесконечно малое приращение Df дифференцируемой функции может быть представлено в виде двух слагаемых: бесконечно малой f¢(x)Dx одинакового порядка малости с Dх и бесконечно малой a(Dх)Dх более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой Dх. Это означает, что в равенстве Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx при Dх® 0 второе слагаемое стремится к нулю «быстрее», чем первое, то есть a(Dх)Dх = о.

Первое слагаемое f¢(x)Dx, линейное относительно Dх , называют дифференциалом функции f(x) в точке х и обозначают dy или df (читается «дэ игрек» или «дэ эф»). Итак,

dy = df = f¢(x)Dx.

Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал функции есть главная часть приращения функции Df , линейная относительно приращения аргумента Dx . Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем Dx . Действительно, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx или Df = df + a(Dx)Dx. Дифференциал аргумента dx равен его приращению Dx: dx=Dx.

Пример. Вычислить значение дифференциала функции f(x) = x 3 + 2x, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение. Найдем общее выражение для дифференциала этой функции:

Подставляя значения dx=Dx=1,1–1= 0,1 и x = 1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала: df ½ x=1; = 0,5.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.

Частные производные первого порядка . Частной производной первого порядкафункции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел

если он существует.

Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов:

Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой:

Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования».

Замечание. Для нахождения частной производной, например по аргументу х – df/dx , достаточно найти обыкновенную производную функции f(x,y), считая последнюю функцией одного аргумента х , а у – постоянной; для нахождения df/dy – наоборот.

Пример. Найти значения частных производных от функции f(x,y) = 2x 2 + y 2 в точке Р(1;2).

Решение. Считая f(x,y) функцией одного аргумента х и пользуясь правилами дифференцирования, находим

В точке Р(1;2) значение производной

Считая f(x;y) функцией одного аргумента у, находим

В точке Р(1;2) значение производной

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА:

Найдите дифференциалы следующих функций:

Решить следующие задачи:

1. На сколько уменьшится площадь квадрата со стороной х=10см, если сторону уменьшить на 0,01 см?

2. Дано уравнение движения тела: y=t 3 /2+2t 2 , где s – выражено в метрах, t-в секундах. Найти путь s, пройденный телом за t=1,92 с от начала движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики - М.: «Вышэйшая школа», 1978.C198-226.

2. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. Пер. с англ. М.: «Мир», 1970.

3. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина Л.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике – М.: «Высшая школа», 1987. С16-20.