Подробная таблица аналогия механические и электромагнитные колебания. Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями. Вынужденные электромагнитные колебания
Собственные незатухающие электромагнитные колебания
Электромагнитными колебаниями называютсяколебания электрических зарядов, токов и физических величин, характеризующих электрические и магнитные поля.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания. Гармонические колебания описываются уравнениями
Или 
.
Различают колебания зарядов, токов и полей, неразрывно связанных друг с другом, и колебания полей, существующих в отрыве от зарядов и токов. Первые имеют место в электрических цепях, вторые – в электромагнитных волнах.
Колебательным контуром называется электрическая цепь, в которой могут происходить электромагнитные колебания.
Колебательным контуром служит любая замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью С, катушки индуктивности с индуктивностью L и резистора сопротивлением R , в которой происходят электромагнитные колебания.
Простейший (идеальный) колебательный контур – это соединенные между собой конденсатор и катушка индуктивности. В таком контуре емкость сосредоточена только в конденсаторе, индуктивность – только в катушке и, кроме того, омическое сопротивление контура равно нулю, т.е. нет потерь энергии на тепло.
Чтобы в контуре возникли электромагнитные колебания, контур необходимо вывести из состояния равновесия. Для этого достаточно зарядить конденсатор или возбудить ток в катушке индуктивности и предоставить самому себе.
Сообщим одной из обкладок конденсатора заряд + q м. Из-за явления электростатической индукции вторая обкладка конденсатора зарядится отрицательным зарядом – q м. В конденсаторе возникнет электрическое поле с энергией 
.
Так как катушка индуктивности подсоединена к конденсатору, то напряжения на концах катушки будут равны напряжению между обкладками конденсатора. Это приведет к направленному движению свободных зарядов в контуре. Вследствие этого в электрической цепи контура наблюдается одновременно: нейтрализация зарядов на обкладках конденсатора (разрядка конденсатора) и упорядоченное движение зарядов в катушке индуктивности. Упорядоченное движение зарядов в цепи колебательного контура называется разрядным током.
Из-за явления самоиндукции разрядный ток начнет увеличиваться постепенно. Чем больше индуктивность катушки, тем медленнее растет разрядный ток.
Таким образом, разность потенциалов, приложенная к катушке, ускоряет движение зарядов, а эдс самоиндукции, напротив, тормозит их. Совместное действие разности потенциалов и эдс самоиндукции приводит к постепенному нарастанию разрядного тока . В тот момент, когда конденсатор полностью разрядится, ток в цепи достигнет максимального значения I м.
Этим завершается первая четверть периода колебательного процесса .
В процессе разрядки конденсатора разность потенциалов на его обкладках, заряд обкладок и напряженность электрического поля уменьшаются, при этом ток через катушку индуктивности и индукция магнитного поля возрастают. Энергия электрического поля конденсатора постепенно превращается в энергию магнитного поля катушки.
В момент завершения разрядки конденсатора энергия электрического поля будет равна нулю, а энергия магнитного поля достигает максимума
,
где L – индуктивность катушки, I m – максимальный ток в катушке.
Наличие в контуре конденсатора приводит к тому, что разрядный ток на его обкладках обрывается, заряды здесь тормозятся и накапливаются.
На той обкладке, по направлению к которой течет ток, накапливаются положительные заряды, на другой обкладке – отрицательные. В конденсаторе вновь возникает электростатическое поле, но теперь уже противоположного направления. Это поле тормозит движение зарядов катушки. Следовательно, ток и его магнитное поле начинают убывать. Уменьшение магнитного поля сопровождается возникновением эдс самоиндукции, которая препятствует уменьшению тока и поддерживает его первоначальное направление. Благодаря совместному действию вновь возникшей разности потенциалов и эдс самоиндукции ток уменьшается до нуля постепенно. Энергия магнитного поля снова переходит в энергию электрического поля. Этим завершается половина периода колебательного процесса. На третьей и четвертой частях описанные процессы повторяются, как на первой и второй частях периода, но в обратном направлении. Пройдя все эти четыре стадии, контур вернется в исходное состояние. Последующие циклы колебательного процесса будут в точности повторяться.
В колебательном контуре периодически изменяются следующие физические величины:
q - заряд на обкладках конденсатора;
U - разность потенциалов на конденсаторе и, следовательно, на концах катушки;
I - разрядный ток в катушке;
Напряженность электрического поля;
Индукция магнитного поля;
W E - энергия электрического поля;
W B - энергия магнитного поля.
Найдем зависимости q , I , , W E , W B от времени t .
Для нахождения закона изменения заряда q = q(t), необходимо составить для него дифференциальное уравнение и найти решение этого уравнения.
Так как контур идеальный (т.е. не излучает электромагнитных волн и не выделяет тепла), то его энергия, состоящая из суммы энергии магнитного поля W B и энергии электрического поля W E , остается неизменной в любой момент времени.
где I(t) и q(t) – мгновенные значения тока и заряда на обкладках конденсатора.
Обозначив 
, получим дифференциальное уравнение для заряда
Решение уравнения описывает изменение заряда на обкладках конденсатора со временем.
,
где - амплитудное значение заряда; - начальная фаза; - циклическая частота колебаний, 
- фаза колебаний.
Колебания любой физической величины, описывающей уравнением, называют собственными незатухающими колебания. Величину называют собственной циклической частотой колебаний. Период колебаний Т – наименьший промежуток времени, по истечении которого физическая величина принимает то же значение и имеет ту же скорость.
Период и частота собственных колебаний контура вычисляются по формулам:
Выражение 
называют формулой Томсона.
Изменения разности потенциалов (напряжения) между обкладками конденсатора со временем
, где 
- амплитуда напряжения.
Зависимость силы тока от времени определяется соотношением –
где 
- амплитуда тока.
Зависимость эдс самоиндукции от времени определяется соотношением –
где 
- амплитуда эдс самоиндукции.
Зависимость энергии электрического поля от времени определяется соотношением
где 
- амплитуда энергии электрического поля.
Зависимость энергии магнитного поля от времени определяется соотношением
где 
- амплитуда энергии магнитного поля.
В выражения для амплитуд всех изменяющихся величин входит амплитуда заряда q m . Эта величина, а также начальная фаза колебаний φ 0 определяются начальными условиями – зарядом конденсатора и током в 
контуре в начальный момент времени t = 0.
Зависимости 
от времени t приведены на рис.
При этом, колебания заряда и разности потенциалов совершаются в одинаковых фазах, ток отстает по фазе от разности потенциалов на , частота колебаний энергий электрического и магнитного полей в два раза больше частоты колебаний всех других величин.
Электрические и магнитные явления неразрывно связаны между собой. Изменение электрических характеристик какого-либо явления влечет за собой изменение его магнитных характеристик. Особую практическую ценность представляют электромагнитные колебания.
Электромагнитные колебания – это взаимосвязанные изменения электрического и магнитного полей, при которых значения величин, характеризующих систему (электрический заряд, ток, напряжение, энергия), повторяются в той или иной степени.
Следует отметить, что между колебаниями различной физической природы существует аналогия. Они описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и функциями. Поэтому сведения, полученнные при изучении механических колебаний, оказваются полезными и при изучении электромагнитных колебаний.
В современной технике электромагнитные колебания и волны играют большую роль, чем механические, так как используются в устройствах связи, телевидения, радиолокации, в различных технологических процессах, определивших научно-технический прогресс.
Электромагнитные колебания возбуждаются в колебательной системе, называемой колебательным контуром . Известно, что любой проводник обладает электрическим сопротивлением R , электроемкостью С и индуктивностью L , причем эти параметры рассредоточены по длине проводника. Сосредоточенными параметрами R , С , L обладают резистор, конденсатор и катушка соответственно.
Колебательным контуром называется замкнутая электрическая цепь, состоящая из резистора, конденсатора и катушки (рис. 4.1). Такая система аналогична механическому маятнику.
Контур находится в состоянии равновесия, если в нем нет зарядов и токов. Чтобы вывести контур из равновесия, необходимо сообщить конденсатору заряд (или возбудить индукционный ток с помощью из меняющегося магнитного поля). Тогда в конденсаторе возникнет электрическое поле с напряженностью . При замыкании ключа К в контуре пойдет ток, в результате конденсатор будет разряжаться, энергия электрического поля уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки индуктивности увеличиваться.
Рис. 4.1 Колебательный контур
В некоторый момент времени, равный четверти периода конденсатор полностью разрядится, а магнитное поле достигнет максимума. Это означает, что произошло превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля. Так как токи, поддерживающие магнитное поле исчезли, то оно начнет убывать. Убывающее магнитное поле вызывает ток самоиндукции, который по закону Ленца направлен так же, как ток разряда. Поэтому конденсатор будет перезаряжаться и между его пластинами появится электрическое поле с напряженностью, противоположной первоначальной. Через время, равное половине периода магнитное поле исчезнет, а электрическое – достигнет максимума.
Затем все процессы будут происходить в обратном направлении и через время, равное периоду колебаний, колебательный контур придет в первоначальное состояние с зарядом конденсатора . Следовательно, в контуре возникают электрические колебания.
Для полного математического описания процессов в контуре надо найти закон изменения одной из величин (например, заряда) с течением времени, который при использовании законов электромагнетизма позволит найти закономерности изменения всех других величин. Функции, описывающие изменение величин, характеризующих процессы в контуре, являются решением дифференциального уравнения. Для его составления применяют закон Ома и правила Кирхгофа. Однако они выполняются для постоянного тока.
Анализ процессов, происходящих в колебательном контуре, показал, что законы постоянного тока можно применять и для изменяющегося во времени тока, удовлетворяющего условию квазистационарности. Это условие состоит в том, что за время распространения возмущения до самой удаленной точки цепи сила тока и напряжение изменяются незначительно, тогда мгновенные значения электрических величин во всех точках цепи практически одинаковы. Так как электромагнитное поле распространяется в проводнике со скоростью света в вакууме, то время распространения возмущений всегда меньше периода колебаний тока и напряжения.
В отсутствие внешнего источника в колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания.
Согласно второму правилу Кирхгофа сумма напряжений на резисторе и на конденсаторе равна электродвижущей силе, в данном случае ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке при протекании в ней изменяющегося тока
Учитывая, что , и, следовательно, , представим выражение (4.1) в виде:
. (4.2)
Введем обозначения: , .
Тогда уравнение (4.2) примет вид:
. (4.3)
Полученное выражение является дифференциальным уравнением, описывающим процессы в колебательном контуре.
В идеальном случае, когда сопротивлением резистора можно пренебречь, свободные колебания в контуре являются гармоническими .
В этом случае дифференциальное уравнение (4.3) примет вид:
а его решение будет являться гармонической функцией
, (4.5)
>> Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями
§ 29 АНАЛОГИЯ МЕЖДУ МЕХАНИЧЕСКИМИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ
Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например с колебаниями тела, закрепленного на пружине (пружинный маятник). Сходство относится не к природе самих величин, которые периодически изменяются, а к процессам периодического изменения различных величин.
При механических колебаниях периодически изменяются координата тела х и проекция его скорости x , а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи. Одинаковый характер изменения величин (механических и электрических) объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых возникают механические и электромагнитные колебания .
Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости F x упр, пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k.
Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением и между пластинами конденсатора, которое про порционально заряду q. Коэффициентом пропорциональности является величина , обратная емкости, так как u = q.
Подобно тому как, вследствие инертности, тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием сильт и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L выполняет ту же роль, что и масса тела т при механических колебаниях. Соответственно кинетическая энергия тела аналогична энергии магнитного поля тока
Зарядка конденсатора от батареи аналогична сообщению телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии при смещении тела на расстояние x m от положения равновесия (рис. 4.5, а). Сравнивая это выражение c энергией конденсатора замечаем, что жесткость k пружины выполняет при механических колебаниях такую же роль, как величина , обратная емкости, при электромагнитных колебаниях. При этом начальная координата х m соответствует заряду q m .
Возникновение в электрической цепи тока i соответствует появлению в механической колебательной системе скорости тела x под действием силы упругости пружины (рис. 4.5, б).
Момент времени, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, аналогичен тому моменту времени, когда тело будет проходить с максимальной скоростью (рис. 4.5, в) положение равновесия.
Далее конденсатор в ходе электромагнитных колебаний начнет перезаряжаться, а тело в ходе механических колебаний - смещаться влево от положения равновесия (рис. 4.5, г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.
При механических колебаниях этому соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис. 4.5, д).
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиХотя механические и электромагнитные колебания имеют различную природу, между ними можно провести много аналогий. Например, рассмотрим электромагнитные колебания в колебательном контуре и колебание груза на пружине.
Колебание груза на пружине
При механических колебаниях тела на пружине, координата тела будет периодически изменяться. При этом будем меняться проекция скорости тела на ось Ох. В электромагнитных колебаниях с течение времени по периодическому закону будет изменяться заряд q конденсатора, и сила тока в цепи колебательного контура.
Величины будут иметь одинаковый характер изменения. Это происходит потому, что имеется аналогия между условиями, в которых возникают колебания. Когда мы отводим груз на пружине из положения равновесии, в пружине возникает сила упругости F упр., которая стремится вернуть груз обратно, в положение равновесия. Коэффициентом пропорциональности этой силы будет являться жесткость пружины k.
При разрядке конденсатора в цепи колебательного контура появляется ток. Разрядка обусловлена тем, что на пластинах конденсатора есть напряжение u. Это напряжение будет пропорционально заряду q любой из пластин. Коэффициентом пропорциональности будет служить величина 1/C, Где С – емкость конденсатора.
При движении груза на пружине, когда мы отпускаем его, скорость тела увеличивается постепенно, вследствие инертности. И после прекращения силы скорость тела не становится сразу равной нулю, она тоже постепенно уменьшается.
Колебательный контур
Так же и в колебательном контуре. Электрический ток в катушке под действием напряжения увеличивается не сразу, а постепенно, из-за явления самоиндукции. И когда напряжение перестает действовать, сила тока не становится сразу равной нулю.
То есть в колебательном контуре индуктивность катушки L будет аналогична массе тела m, при колебаниях груза на пружине. Следовательно, кинетическая энергия тела (m*V^2)/2, будет аналогична энергии магнитного поля тока (L*i^2)/2.
Когда мы выводим груз из положения равновесия, мы сообщаем уме некоторую потенциальную энергию (k*(Xm)^2)/2, где Хm - смещение от положения равновесия.
В колебательном контуре роль потенциальной энергии выполняет энергия заряда конденсатора q^2/(2*C). Можем сделать вывод, что жесткость пружины в механических колебаниях будет аналогична величине 1/С, где С- емкость конденсатора в электромагнитных колебаниях. А координата тела будет аналогична заряду конденсатора.
Рассмотрим подробнее процессы колебаний, на следующем рисунке.
картинка
(а) Сообщаем телу потенциальную энергию. По аналогии заряжаем конденсатор.
(б) Отпускаем шарик, потенциальная энергия начинает уменьшаться, возрастает скорость шарика. По аналогии, начинает уменьшаться заряд на обкладке конденсатора, в цепи появляется сила тока.
(в) Положение равновесия. Потенциальной энергии нет, скорость тела максимальна. Конденсатор разрядился, сила тока в цепи максимальна.
(д) Тело отклонилось в крайнее положении, скорость его стала равной нулю, а потенциальная энергия достигла своего максимума. Конденсатор снова зарядился, сила тока в цепи стала равняться нулю.
Темы кодификатора ЕГЭ : свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.
Электромагнитные колебания - это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.
Колебательный контур
Колебательный контур - это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.
Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания - периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия - только за счёт энергии, запасённой в контуре.
Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.
Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.
Начальный момент : . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.
Рис. 1.
Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.
Аналогия . Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.
Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).
Рис. 2.
Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.
Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же - координата маятника) уменьшается.
Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.
Рис. 3.
Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия . Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть : . Конденсатор перезаряжается - на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).
Рис. 4.
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.
Аналогия . Маятник продолжает двигаться влево - от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.
Рис. 5.
Аналогия . Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .
Третья четверть : . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).
Рис. 6.
Аналогия . Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).
Рис. 7.
Аналогия . Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть : . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).
Рис. 8.
Аналогия . Маятник продолжает двигаться вправо - от положения равновесия к крайней левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода : . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).
Рис. 9.
Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок - рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия . Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими - они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
Энергетические превращения в колебательном контуре
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:
Таким образом,
(1)
Соотношение (1) применяется при решении многих задач.
Электромеханические аналогии
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :
(2)
Здесь, как вы уже поняли, - жёсткость пружины, - масса маятника, и - текущие значения координаты и скорости маятника, и - их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:
(3)
(4)
(5)
(6)
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:
(7)
Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона . Мы вскоре приведём её более строгий вывод.
Гармонический закон колебаний в контуре
Напомним, что колебания называются гармоническими , если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока - ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).
Рис. 10. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной class="tex" alt="(I > 0)"> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .
Заряд конденсатора - это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае - заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если class="tex" alt="I > 0"> , то заряд левой пластины возрастает, и потому class="tex" alt="\dot{q} > 0"> .
Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:
(8)
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если - функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):
Подставляя сюда и , получим:
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
Перепишем это в виде:
(9)
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
(10)
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
(11)
Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :
(12)
Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз - по закону синуса:
(13)
Амплитуда силы тока равна:
Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).
Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .
А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).
Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения
запишем закон изменения тока (13) в виде:
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .
Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).
Вынужденные электромагнитные колебания
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).
Рис. 12. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс - резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.