Вычисление пути, пройденного точкой
ЕН 01 МАТЕМАТИКА
Сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач».
для специальности:
100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства
Вологда 2013
Математика: Сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач» для специальности: 100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства
Данный сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач» представляет собой учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов.
Содержит задания для самостоятельной внеаудиторной работы для шести вариантов и критерии оценки выполнения самостоятельной работы.
Комплект призван помочь студентам систематизировать и закрепить полученные на аудиторных занятиях по математике теоретический материал, сформировать практические навыки.
Составитель: Е. А. Севалёва – преподаватель математики высшей категории БОУ СПО ВО «Вологодский строительный колледж»
2. Самостоятельная работа.
3. Критерии оценки.
4. Литература.
Пояснительная записка
Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов по дисциплине ЕН 01 «Математика» для специальности 100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства.
Цель методических указаний состоит в обеспечении эффективности самостоятельной работы, определении ее содержания, установления требований к оформлению и результатам самостоятельной работы.
Целями самостоятельной работы студентов по дисциплине ЕН 01 «Математика» являются:
· систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических навыков;
· углубление и расширение теоретических знаний;
· формирование умений использовать справочную и дополнительную литературу;
· развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности и самоорганизации;
· активизации учебно-познавательной деятельности будущих специалистов.
Самостоятельные работы выполняются индивидуально в свободное от занятий время.
Студент обязан:
- перед выполнением самостоятельной работы, повторить теоретический материал, пройденный на аудиторных занятиях;
- выполнить работу согласно заданию;
- по каждой самостоятельной работе представить преподавателю отчет в виде письменной работы.
Самостоятельная работа по теме:
«Применение определённого интеграла для решения физических задач»
Цель: научиться применять определённый интеграл для решения физических задач.
Теория.
Вычисление пути, пройденного точкой.
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью а промежуток времени от до , вычисляется по формуле
…… (1)
Пример 1.
м/с
. Найти путь, пройденный точкой за 10 с
от начала движения.
Решение:
Согласно условию 
, , .
По формуле (1) находим:
Ответ: .
Пример 2.
Скорость движения точки изменяется по закону 
м/с
. Найти путь, пройденный точкой за 4-ую секунду.
Решение:
Согласно условию 
, ,
Следовательно:
Ответ: .
Пример 3.
Скорость движения точки изменяется по закону 
м/с
. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.
Решение:
· Скорость точки равна 0 в момент начала движения и в момент остановки.
· Определим, в какой момент времени точка остановится, для этого решим уравнение: 
То есть , .
· По формуле (1) находим:
Ответ: .
Вычисление работы силы.
Работа, произведённая переменной силой при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х = , находится по формуле:
…… (2)
При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука : ……(3), где
Сила (Н );
х – абсолютное удлинение (сжатие) пружины, вызванное силой (м );
Коэффициент пропорциональности (Н/м ).
Пример 4. Вычислить работу силы при сжатии пружины на 0,04 м , если для сжатия её на 0,01 м нужна сила 10 Н .
Решение:
· Так как х = 0,01 м при силе =10 Н
, находим , т.е. 
.
Ответ: Дж .
Пример 5. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м . Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м . Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от 0,22 м до 0,32 м ?
Решение:
· Так как х = 0,01 при силе =50 Н , то, подставляя эти значения в равенство (3): , получим:
· Подставив теперь в это же равенство найденное значение 
, находим , т.е. 
.
· Находим пределы интегрирования: м , м .
· Искомую работу найдём по формуле (2):
где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки , скорость и ускорение в моменты времени t 0 =0 с, t 1 =1 с и t 2 =5 с , а также путь, пройденный точкой за 5 с.
Решение
Расчет траектории
Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:
3x=6t 2 +6
-4y=-6t 2 -4
————
3x-4y=2
Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).
Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A 0 , подставим в заданные уравнения значения t 0 =0 ; из первого уравнения получим x 0 =2 см , из второго y 0 =1 см . При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A 0 (2; 1).
Рисунок 1.5
Расчет скорости
Определяем , найдя сначала ее проекции на оси координат :
При t 0 =0с скорость точки v 0 =0 , при t 1 =1с – v 1 =5 см/с , при t 2 =5с – v 2 =25см/с .
Расчет ускорения
Определяем ускорение точки . Его проекции на оси координат:
Проекции ускорения не зависят от времени движения,
т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.
С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости.
Пример 1. По заданному закону движения S = 10 + 20t - 5t 2 ([S] = м; [t] = с) определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.
Решение
1. Вид движения: равнопеременное
2. При сравнении уравнений очевидно, что
- начальный путь, пройденный до начала отсчета – 10 м;
- начальная скорость 20 м/с;
- постоянное касательное ускорение a t /2 = 5 м/с; a t = - 10 м/с.
- ускорение отрицательное, следовательно, движение замедленное (равнозамедленное), ускорение направлено в сторону, противоположную направлению скорости движения.
3. Можно определить время, при котором скорость точки будет равна нулю:
v = S" = 20 - 2 5t; v = 20 – 10t = 0; t = 20/10 = 2 c.
Примечание. Если при равнопеременном движении скорость растет, значит, ускорение - положительная величина, график пути - вогнутая парабола. При торможении скорость падает, ускорение (замедление) - отрицательная величина, график пути - выпуклая парабола (рис. 10.4).
Пример 2. Точка движется по желобу из точки А в точку D (рис. 10.5).
Как изменятся касательное и нормальное ускорения при прохождении точки через В и С ?
Решение
1. Рассмотрим участок АВ. Касательное ускорение равно нулю (v = const).
Нормальное ускорение (а п = v 2 /r) при переходе через точку В увеличивается в 2 раза, оно меняет направление, т. к. центр дуги АВ не совпадает с центром дуги ВС.
2. На участке ВС:
Касательное ускорение равно нулю: a t = 0;
Нормальное ускорение при переходе через точку С меняется: до точки С движение вращательное, после точки С движение становится прямолинейным, нормальное напряжение на прямолинейном участке равно нулю.
3. На участке CD полное ускорение равно нулю.
Пример 3. По заданному графику скорости найти путь, пройденный за время движения (рис. 10.6).
Решение
1. По графику следует рассмотреть три участка движения. Первый участок - разгон из состояния покоя (равноускоренное движение).
Второй участок - равномерное движение: v = 8 м/с; a 2 = 0.
Третий участок - торможение до остановки (равнозамедленное движение).
2. Путь, пройденный за время движения, будет равен:
Пример 4. Тело, имевшее начальную скорость 36 км/ч, прошло 50 м до остановки. Считая движение равнозамедленным, определить время торможения.
Решение
1. Записываем уравнение скорости для равнозамедленного движения:
v = v о + at = 0.
Определяем начальную скорость в м/с: v о = 36*1000/3600 = 10 м/с.
Выразим ускорение (замедление) из уравнения скорости: a = - v 0 /t
2. Записываем уравнение пути: S = v o t/2 + at 2 /2 . После подстановки получим: S = v o t/2
3. Определяем время до полной остановки (время торможения):
Пример 5. Точка движется прямолинейно согласно уравнению s = 20t – 5t 2 (s - м, t - с). Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых 4 с движения. Определить путь, пройденный точкой за 4 с, и описать движение точки.
Решение
1. Точка движется прямолинейно по уравнению s = 20t – 5t 2 следовательно, скорость точки u = ds/d/t = 20 - 10t и ускорение a = a t = dv/dt = -10 м/с 2 . Значит, движение точки равнопеременное (a = a t = - 10 м/c 2 = const) с начальной скоростью v 0 = 20 м/с.
2. Составим зависимость числовых значений s и v для первых 4 с движения
3. По приведенным числовым значениям построим графики расстояний (рис. а ), скорости (рис. б ) и ускорения (рис. в ), выбрав масштабы для изображения по осям ординат расстояний s, скорости v и ускорения а , а также одинаковый для всех графиков масштаб времени по оси абсцисс. Например, если расстояние s = 5 м изображать на графике длиной отрезка l s = 10 мм, то 5м = μ s *10мм, где коэффициент пропорциональности μ s и есть масштаб по оси Os : μ s = 5/10 = 0,5 м/мм (0,5 м в 1 мм); если модуль скорости v = 10 м/с изображать на графике длиной l v =10 мм, то 10 м/c = μ v * 10 мм и масштаб по оси Ov μ v = 1 м/(с-мм) (1 м/с в 1 мм); если модуль ускорения а = 10 м/с 2 изображать отрезком l a = 10 мм, то, аналогично предыдущему, масштаб по оси Оа μ a = 1 м/(с 2 -мм) (1 м/с 2 в 1 мм); и наконец, изображая промежуток времени Δt = 1 с отрезком μ t = 10 мм, получим на всех графиках масштаб по осям Ot μ t = 0,1 с/мм (0,1 с в 1 мм).
4. Из рассмотрения графиков следует, что в течение времени от 0 до 2 с точка движется равнозамедленно (скорость v и ускорение в течение этого промежутка времени имеют разные знаки, значит, их векторы направлены в противоположные стороны); в период времени от 2 до 4 с точка движется равноускоренно (скорость v и ускорение имеют одинаковые знаки, т. е. их векторы направлены в одну сторону).
За 4 с точка прошла путь s o _ 4 = 40 м. Начав движение со скоростью v 0 = 20 м/с, точка по прямой прошла 20 м, а затем вернулась в исходное положение, имея ту же скорость, но направленную в противоположную сторону.
Если условно принять ускорение свободного падения g = 10 мс 2 и пренебречь сопротивлением воздуха, то можно сказать, что графики описывают движение точки, брошенной вертикально вверх со скоростью а 0 = 20 м/с.
Пример 6. Точка движется по траектории, изображенной на рис. 1.44, а, согласно уравнению s = 0,2t 4 (s - в метрах, t - в секундах). Определить скорость и ускорение точки в положениях 1 и 2.
Решение
Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 (начала отсчета) в положение 1, определим из уравнения движения, подставив частные значения расстояния и времени:
Уравнение изменения скорости
Скорость точки в положении 1
Касательное ускорение точки в положении 1
Нормальное ускорение точки на прямолинейном участке траектории равно нулю. Скорость и ускорение точки в конце этого участка траектории показаны на рис.1.44, б.
Определим скорость и ускорение точки в начале криволинейного участка траектории. Очевидно, что v 1 = 11,5 м/с, а t1 = 14,2 м/с 2 .
Нормальное ускорение точки в начале криволинейного участка
Скорость и ускорение в начале криволинейного участка показаны на рис. 1.44, в (векторы a t 1 и a a 1 изображены без соблюдения масштаба).
Положение 2 движущейся точки определяется пройденным путем, состоящим из прямолинейного участка 0 - 1 и дуги окружности 1 - 2, соответствующей центральному углу 90°:
Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 в положение2,
Скорость точки в положении 2
Касательное ускорение точки в положении 2
Нормальное ускорение точки в положении 2
Ускорение точки в положении 2
Скорость и ускорения точки в положении 2 показаны на рис. 1.44, в (векторы at „ и а Пг изображены без соблюдения масштаба).
Пример 7. Точка движется по заданной траектории (рис. 1.45, а) согласно уравнению s = 5t 3 (s - в метрах, t - в секундах). Определить ускорение точки и угол α между ускорением и скоростью в момент t 1 , когда скорость точки v 1 = 135 м/с.
Решение
Уравнение изменения скорости
Время t 1 определим из уравнения изменения скорости, подставив частные значения скорости и времени:
Определим положение точки на траектории в момент 3 с:
Дуга окружности длиной 135 м соответствует центральному углу
Уравнение изменения касательного ускорения
Касательное ускорение точки в момент t t
Нормальное ускорение точки в момент t t
Ускорение точки в момент t x
Скорость и ускорение точки в момент времени t 1 показаны на рис. 1.45, б.
Как видно из рис. 1.45, б
Пример 8. В шахту глубиной H = 3000 м с поверхности земли без начальной скорости брошен предмет. Определить, через сколько секунд звук, возникающий в момент удара предмета о дно шахты, достигнет поверхности земли. Скорость звука 333 м/с.
Решение
Уравнение движения свободно падающего тела
Время, необходимое для перемещения предмета от поверхности земли до дна шахты, определим из уравнения движения.