Уравнение криволинейного движения. Движение тела по криволинейной траектории. Движение по окружности. Характеристики вращательного движения. Центростремительное ускорение. Неравномерное движение. Скорость при неравномерном движении
В некоторых задачах используется понятие "плавучесть", означающее разность между подъемной силой Архимеда и силой тяжести. Звездочкой помечены задачи повышенной сложности (варианты 158-167).
Задача 114. Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной 60 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти: 1) наименьшую скорость вращения ведерка, при которой в высшей точке вода из него не выливается, 2) натяжение веревки при этой скорости в высшей и низшей точках окружности. Масса ведерка с водой 2 кг.
Задача 115. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжениями веревки равна 9,8 Н.
Задача 116. Гирька массой 50 г, привязанная к нити длиною в 25 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Скорость вращения гирьки соответствует 2 об/с. Найти натяжение нити.
Задача 117. Диск вращается вокруг вертикальной оси, делая 30 об/мин. На расстоянии 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каков должен быть коэффициент трения между телом и диском, чтобы тело не скатилось с диска?
Задача 118. Определить скорость движения автомобиля массой 2 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если он давит на середину моста с силой 25 кН.
Задача 119. Самолет, летящий со скоростью 900 км/ч, делает “мертвую петлю”. Каков должен быть радиус “мертвой петли”, чтобы наибольшая сила, прижимающая летчика к сидению, была равна: пятикратному весу летчика? 2) десятикратному весу летчика?
Задача 120.
Задача 121. Найти силу тяготения, действующую со стороны Земли на тело массой 1 кг, находящееся на поверхности Луны. Расстояние между центрами Земли и Луны принять равными 384 000 км.
Задача 122. Спутник делает 16 оборотов за время одного оборота Земли. Определить период, высоту и скорость спутника, считая его орбиту круговой.
Задача 123. Трамвайный вагон массой 5 тонн идет по закруглению радиусом 128 м. Найти силу бокового давления колес на рельсы при скорости движения 9 км/ч.
Задача 124. Гирька, привязанная к нити длиною 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 15 см. Какому числу оборотов в минуту соответствует скорость вращения гирьки? (59 об/мин)
Задача 125. Шарик на веревке длиной 50 см равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти, при какой частоте вращения веревка оборвется, если предел прочности веревки mg, где m - масса шарика.
Задача 126. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны в 100 м. Насколько при этом он должен накрениться, чтобы не упасть при повороте?
Задача 127. Шоссе имеет вираж с уклоном в 10° при радиусе закругления дороги в 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?
Задача 128. Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определить его скорость и период вращения.
Задача 129. С увеличением высоты полета спутника его скорость уменьшилась с 7,79 до 7,36 км/с. Определить, на сколько изменились период вращения спутника и удаленность его от земной поверхности.
Задача 130. Определить период вращения искусственного спутника вблизи планеты, которую можно принять за однородный шар плотностью ρ.
Задача 131. Спутник вывели на круговую орбиту со скорость v над полюсом Земли. Найти расстояние от спутника до поверхности Земли.
Задача 132. Найти массу Земли, если спутник, движущийся в ее экваториальной плоскости с запада на восток по круговой орбите радиуса R=2∙10 4 км, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые τ=11,6 ч.
Задача 133. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую плавучесть р = 0.01mg м. Т = 0.01mg . Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R = –0.1mV .Определить траекторию лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.
Задача 134. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 5 кг O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения F=-k 2 mOM, k = 20 с –1 g = 9.8 м/с , v x 0 = 200 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy
Задача 135. Подводная лодка, не имевшая хода, находилась в надводном положении на расстоянии H=100 м от дна. Получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , она начинает уходить от преследования на очень тихом ходу, который обеспечивается малой постоянной горизонтальной силой тяги двигателя T = 0.001mg . Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05mg , гдеV y – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она ляжет на дно.
Задача 136. Точка M массы m = 5 кг O k = 20 c –1 , r – радиус-вектор точки. В начальный момент точка M имела координаты M 0 (a ,0), a = 24 м , и скорость v 0 с проекциями v x 0 = 0, v y 0 = 4 м/с . Определить закон движения и траекторию точки M
Задача 137. р = 0.001mg , начинает подниматься с глубины H=150 м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги T=mg. Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной , гдеV x – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.
Задача 138. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении c малой скоростью U 0 = 0.5 м/с р = 0.5mg , начала срочное погружение с выключенными двигателями. Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05mg , гдеV y – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину H=150 м.
Задача 139. Телу M массы m = 8 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 30° (рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 18 м/с , направленная под углом = 45° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y g = 9.8 м/с x (t ), y (t ).
Рис.39
Задача 140. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении со скоростью U 0 = 0.5 м/с , получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , начала погружение с выключенными двигателями. Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R=-0,05mV.Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину H=150 м.
Задача 141.
Наибольшая горизонтальная дальность полета снаряда 
м
достигается при угле бросания по отношению к горизонту. Определить, чему равны начальная скорость снаряда v 0 и . Ускорение свободного падения g
= 9.8 м/с
Начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия фиксирована.
Задача 142. Береговое орудие, расположенное на высоте H=150 м над уровнем моря, стреляет снарядами, имеющими при вылете из ствола скорость U 0 = 1500 м/с . Определить дальность поражения цели при горизонтальном выстреле и закон движения снаряда x (t ), y (t ), если вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной , гдеV x – горизонтальная скорость снаряда.
Задача 143. Определить закон движения x (t ), y (t ) материальной точки M массы m = 8 кг , притягиваемой к неподвижному центру O k = 12 c –1 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 18 м , , v y 0 = 6 м/с . Силой тяжести Земли пренебречь.
Задача 144. Материальная точка массы m Oxy под действием силы, направленной параллельно оси x. Модуль силы изменяется по закону F=3t 2 . Начальная скорость м/с направлена под углом к линии действия силы. Получить уравнение траектории точки y (x ).
Задача 145. Точка M массы m = 8 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону F=k 2 mr, где k = 12 c –1 , r g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 20 м , , v y 0 = 50 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .
Задача 146. Материальная точка массы m движется по гладкой горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, направленной параллельно оси у (см. рис. 39). Модуль силы изменяется по закону F=4t 3 . Начальная скорость V 0 =5 м/с направлена перпендикулярно к линии действия силы. Найти закон движения x (t ), y (t ) и уравнение траектории точки y = y (x ).
Задача 147. Телу M массы m = 20 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 60° (см. рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 2 м/с x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).
Задача 148. При угле бросания = 60° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему при этом равна начальная скорость снаряда v 0 . Найти также горизонтальную дальность и максимальную высоту траектории при угле бросания 30°. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с
Задача 149. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 6 кг , притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения равна F=-k 2 mOM, k = 8 c g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 24 м , V x 0 =0, у 0 = 40 м , V y 0 =0. Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх.
Задача 150. Точка M массы m = 4 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону F=k 2 mr, где k = 10 c –1 , r – радиус-вектор точки. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 2 м , v х 0 = 4 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .
Задача 151. Парашютист массы mпадает с раскрытым парашютом на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =5 м/с . На высоте h=100 м над поверхностью Земли он, натянув стропы, приобретает горизонтальную скорость м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения, если при дальнейшем спуске он удерживает стропы в том же положении. Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV x , где V x – горизонтальная скорость парашютиста. Изменением вертикальной компоненты силы сопротивления, вызванной наклоном купола парашюта, пренебречь.
Задача 152. Стартуя с поверхности Земли, реактивный снаряд массы M=100 кг движется в течение первых 10 с под действием силы тяги F=5000 H, направленной под углом к горизонту (). Затем сила тяги отключается. Определить траекторию движения снаряда и его дальность полета. Силой сопротивления воздуха пренебречь.
Задача 153. Телу M массы m = 28 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 45° (см. рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 34 м/с , направленная под углом = 30° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).
Задача 154. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую положительную плавучесть p = 0.01mg , начинает подниматься с глубины H=100 м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги Т = 0.01mg . Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной R = –0.01mV x , гдеV x – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки y (x ) и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.
Задача 155.
При угле бросания = 42° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета 
м
. Определить, чему равна начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия. Найти также горизонтальную дальность полета снаряда и время полета снаряда до цели при угле бросания = 35° и той же начальной скорости v 0 . Ускорение свободного падения g
= 9.8 м/с
2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 156. Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, чтобы поразить цель, обнаруженную на той же горизонтальной плоскости, что и орудие, на расстоянии м . Дополнительно определить максимальную высоту траектории и время полета снаряда до цели. Начальная скорость снаряда v 0 = 600 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 157. Определить зависимость горизонтальной дальности полета снаряда , максимальной высоты его траектории и времени полета от угла наклона ствола орудия к горизонту. Найти также значения этих величин для = 38°. Начальная скорость снаряда v 0 = 980 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 158*. Считая Землю шарообразной, найти зависимость ускорения силы тяжести Земли от широты местности. Вычислить g на полюсе, экваторе и на широте Одессы
Задача 159*. Найти изменение ускорения силы тяжести тела на глубине h от поверхности Земли. На какой глубине ускорение силы тяжести составит 0,3 от ускорения силы тяжести на поверхности Земли? Плотность земли считать постоянной. Считать, что со стороны вышележащего слоя тело не испытывает никакого притяжения.
Задача 160*. Воздушный шар массы m под действием выталкивающей силы F = 1.1mg начинает подъем. Горизонтальная компонента силы сопротивления воздуха пропорциональна квадрату горизонтальной компоненты скорости шара относительно воздуха: R x = –0.1m , где V x – его горизонтальная относительная скорость. Вертикальной компонентой силы сопротивления воздуха пренебречь. Определить закон движения шара x (t ), y (t ), если дует горизонтальный ветер со скоростью м/с.
Задача 161*. Тело M массы m = 8 кг k = 20 c O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0), a = 24 м . Движение начинается в точке A 0 (–2a ,0) со скоростью V x 0 =0, v у 0 = 18 м/с . Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Силой тяжести пренебречь.
Задача 162*. Тело M массы m = 2 кг находится под действием двух сил притяжения F 1 =-k 2 mO 1 M, F 2 =-k 2 mO 2 M, k = 120 c –1 , направленных к двум неподвижным центрам O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0), а = 12 м . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Движение начинается в точке A 0 (2a ,0) со скоростью V x 0 =0, v у 0 = 12 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M . Найти моменты времени, когда она пересекает ось Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени.
Задача 163*. Материальная точка M F = 0.1mg , силы сопротивления R = –0.1mV ,где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q = 2m v x , где V x – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки вдоль вертикальной оси y, если в начальный момент времени (t=0) ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна V 0 =5 м/с .
Задача 164*. Тело массы m на высоте H=500 м над поверхностью Земли имело скорость V 0 =7 м/с , направленную вертикально вниз. Затем оно попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . В результате на него действует сила где V r – скорость тела относительно потока. Определить величину горизонтального отклонения тела от первоначального направления его движения в момент падения на Землю.
Задача 165*. Парашютист массы m, совершая затяжной прыжок, падает на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =40 м/с . На некоторой высоте от поверхности Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью u 0 = 0.5 м/с ,и в это же время открывает парашют. Горизонтальная компонента силы, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV rx , где V rx – горизонтальная скорость тела относительно потока воздуха. Вертикальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста, R y = –0.1m , где V y – его вертикальная скорость. Определить закон движения парашютиста x (t ), y (t ) после раскрытия парашюта.
Задача 166*. Материальная точка M массы m движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, постоянной горизонтальной силы тяги F = 0.2mg , силы сопротивления R = –0.1mV , где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q=2mV x , где V x – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки в направлении горизонтальной оси x, если в начальный момент времени (t=0) ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна V 0 =5 м/с .
Задача 167*. Парашютист массы m с раскрытым парашютом падает вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =5 м/с . На высоте h=100 м над поверхностью Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения x (t ), y (t ). Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R х = –0.01mV x , где V x – горизонтальная скорость парашютиста относительно потока воздуха.
Похожая информация.
Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.
Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль скорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).
Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.
При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина траектории . Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).
Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.
Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение :
Где v τ , v 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно.
Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.
Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:
Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.
Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.
Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:
Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).
Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.
Для описания движения в механике используются математические модели: материальная точка и абсолютно твердое тело.
Материальной точкой называется обладающее массой тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи (размеры тела минимум в 10 раз меньше расстояния, которое проходит тело). Например, при вычислении траектории, по которой Земля движется вокруг Солнца, Землю можно рассматривать как материальную точку, так как ее радиус в 24 000 раз меньше радиуса ее орбиты. При рассмотрении движения тел по поверхности Земли она должна рассматриваться как протяженный объект.
Любое тело можно рассматривать как систему материальных точек.
Если деформация тела при его взаимодействии с другими телами в рассматриваемом процессе пренебрежимо мала, то можно пользоваться моделью абсолютно твердого тела.
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя точками которого в условиях данной задачи можно считать постоянным, т.е. это тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении.
Тела могут двигаться поступательно и вращательно. Рассмотрим поступательное движение.
Поступательным движением называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела движутся одинаковым образом. Поэтому достаточно рассмотреть движение одной точки тела, например, центра тяжести, чтобы говорить о движении тела в целом.
Для определения положения тела в пространстве нужно использовать систему отсчета. Системой отсчета называется совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета, по отношению к которому изучается движение.
Существует два способа описания движения тела (точки): векторный способ и координатный.
1) векторный - задается радиус-вектор . Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку;
2) координатный - задаются три координаты - x,y,z (рис. 1.1).
Если i, j, k – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат, то радиус-вектор запишется следующим образом:
r = xi + yj + zk .
При движении материальной точки М ее координаты x, y, z и r меняются со временем. Поэтому для задания закона движения необходимо знать либо уравнения зависимости координат точки от времени:
x = x(t) y = y(t) z = z(t) либо уравнение r = r (t).
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.
Исключив из уравнения время, получим уравнение траектории.
Траекторией называется линия, которую описывает в пространстве сама точка при ее движении. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если все участки траектории лежат в одной плоскости, то движение называется плоским .
Длиной пути S материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.
| z s ∆r r 0 r y x рис. 1.2 |
∆r = r – r 0
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Так как перемещение – вектор, то имеет место закон независимости движений:
Если точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых точкой за одно и тоже время в каждом из движений отдельно.
Полное описание движения материальной точки с помощью только вектора перемещения невозможно. Необходимо знать быстроту изменения перемещения.
Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории. Вектор перемещения представляет собой приращение радиуса-вектора за время Δt: 
Величину, характеризующую быстроту изменения положения точки, определяют отношением: 
, где – средняя скорость движения. Вектор совпадает по направлению с . Если в выражении для средней скорости перейти к пределу при ∆t → 0, то получим выражение мгновенной скорости
, т.е. скорости в данный момент времени:
Это значит, что в данный момент времени равен производной и направлен по касательной к траектории в данной точке (как и ) в сторону движения точки.
Из математики известно, что модуль малого приращения равен длине ds соответствующей ему дуги траектории, т.е.
Из последнего следует понятие путевой скорости:
Для нахождения пути, пройденного телом за промежуток времени Δt, надо найти интеграл:
Поскольку мгновенная скорость – векторная величина, то ее можно разложить на три составляющие по осям координат:
v = v x i + v y j + v z k .
Используя выражение для мгновенной скорости, получим:
Отсюда проекции вектора скорости на оси координат:
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Скорость материальной точки не зависит от времени (равномерное движение). Для определения перемещения используется уравнение:
для определения пути 
2. Скорость материальной точки является функцией времени (неравномерное движение).
для пути аналогично.
Скорость механического движения в большинстве случаев не остается постоянной, а меняется со временем либо по величине, либо по направлению, либо по величине и направлению одновременно.
| Пусть тело двигалось из точки А в точку В. Перенеся вектор в точку А находим приращение скорости :   – среднее ускорение - вектор, равный производной от вектора скорости по времени и совпадающий по направлению с вектором изменения скорости ∆v за малый интервал времени ∆t.
|
Используя предыдущие рассуждения, получим:
– мгновенное ускорение.
Ускорение – физическая величина характеризующая быстроту изменения скорости.
Так как ускорение – это вектор, то: a = a x i + a y j + a z k
Легко показать, что:
а для модуля вектора ускорения получим:
Криволинейное движение .
В общем случае криволинейного неравномерного движения скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Полное ускорение, которым обладает движущаяся точка, определяет оба вида изменения скорости. Для рассмотрения движения удобно использовать скользящую систему координат – систему, которая изменяет свое положение в пространстве вместе с движением материальной точки. За начало отсчета принимают саму движущуюся точку. Одна ось направлена по касательной к траектории движения материальной точки в данный момент времени (тангенциальная ось τ ), другая направлена перпендикулярно (нормальная ось n ). Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории.
М τ 1 v 1
n 1 N
n 2 τ 2
v 2
Вектор скорости направлен всегда по касательной к траектории. В скользящей системе координат скорость материальной точки можно представить как v = vτ
Учитывая, что, имеем 
Таким образом, ускорение материальной точки представляет собой сумму двух векторов, первый их которых показывает быстроту изменения модуля скорости (тангенциальное ускорение), второй – быстроту изменения направления скорости (нормальное ускорение):
Нормальное ускорение направлено перпендикулярно тангенциальной оси и направлено по нормальной оси скользящей системы координат.
Для определения физического смысла нормального ускорения рассматривают равномерное движение точки по окружности, из которого следует, что
Криволинейное движение - это движение, траектория которого представляет собой кривую линию. (Например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.
Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль скорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).
Рис. 1
При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1), а l - длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 2).
Рис. 2
Криволинейное движение - это всегда ускоренное движение. То естьускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени - это тангенциальное ускорение:
Где v ф , v 0 - величины скоростей в момент времени t 0 + Дt и t 0 соответственно.
Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.
Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:
Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.
Центростремительное ускорение - это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.
Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:
Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 3).
Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.
Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам
Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением где r – радиус окружности.
Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.
При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:
Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:
v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.
Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.
Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:
Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.
Период обращения - это время, за которое тело совершается один оборот.
Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:
где t - время обращения, п - число оборотов, совершенных за это время.
Частота обращения - это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.
Обозначается частота греческой буквой (ню) и находится по формуле:
Измеряется частота в 1/с.
Период и частота - величины взаимно обратные:
Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив скорость v на время одного оборота:
l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr . Поэтому
vT = 2πr,
где w (с -1) - угловая скорость.
При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.
Угловая скорость (w ) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:
.
Связь между линейной и угловой скоростями:
Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.