Устойчивое равновесие в физике. Положения равновесия линейных автономных систем. Смотреть что такое "Механическое равновесие" в других словарях

Следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс.

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю.

${\overrightarrow{F}}={\overrightarrow{F_1}}+{\overrightarrow{F_2}}+...= 0$

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.

Произведение модуля силы $F$ на плечо d называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки.

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил. Оба эти условия не являются достаточными для покоя.

Рисунок 1. Безразличное равновесие. Качение колеса по горизонтальной поверхности. Равнодействующая сила и момент сил равны нулю

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо -- пример безразличного равновесия (рис. 1). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия. Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия.

Рисунок 2. Различные виды равновесия шара на опоре. (1) -- безразличное равновесие, (2) -- неустойчивое равновесие, (3) -- устойчивое равновесие

Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, -- пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 2).

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси -- состояние равновесия неустойчиво (рис. 3).

Рисунок 3. Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска, закрепленного на оси O; точка C -- центр массы диска; ${\overrightarrow{F}}_т\ $-- сила тяжести; ${\overrightarrow{F}}_{у\ }$-- упругая сила оси; d -- плечо

Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается.

Задача 1

Наклонная плоскость наклонена под углом 30o к горизонту (рис. 4). На ней находится тело Р, масса которого m=2 кГ. Трением можно пренебречь. Нить, перекинутая через блок, составляет угол 45o с наклонной плоскостью. При каком весе груза Q тело Р будет в равновесии?

Рисунок 4

Тело находится под действием трех сил: силы тяжести Р, натяжения нити с грузом Q и силы упругости F со стороны плоскости, давящей на него в направлении, перпендикулярном к плоскости. Разложим силу Р на составляющие: $\overrightarrow{Р}={\overrightarrow{Р}}_1+{\overrightarrow{Р}}_2$. Условие ${\overrightarrow{P}}_2=$ Для равновесия, учитывая удвоение усилия подвижным блоком, необходимо, чтобы $\overrightarrow{Q}=-{2\overrightarrow{P}}_1$. Отсюда условие равновесия: $m_Q=2m{sin \widehat{{\overrightarrow{P}}_1{\overrightarrow{P}}_2}\ }$. Подставляя значения получим: $m_Q=2\cdot 2{sin \left(90{}^\circ -30{}^\circ -45{}^\circ \right)\ }=1,035\ кГ$.

При ветре привязной аэростат висит не над той точкой Земли, к которой прикреплен трос (рис. 5). Натяжение троса составляет 200 кГ, угол с вертикалью а=30${}^\circ$. Какова сила давления ветра?

\[{\overrightarrow{F}}_в=-{\overrightarrow{Т}}_1;\ \ \ \ \left|{\overrightarrow{F}}_в\right|=\left|{\overrightarrow{Т}}_1\right|=Тg{sin {\mathbf \alpha }\ }\] \[\left|{\overrightarrow{F}}_в\right|=\ 200\cdot 9.81\cdot {sin 30{}^\circ \ }=981\ Н\]

«Физика - 10 класс»

Вспомните, что такое момент силы.
При каких условиях тело находится в покое?

Если тело находится в покое относительно выбранной системы отсчёта, то говорят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, части машин, книга на столе и многие другие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны других тел приложены силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как говорят, деформируются.

Во многих случаях, которые встречаются на практике, деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчёт, считая тело абсолютно твёрдым .

Для краткости абсолютно твёрдое тело будем называть твёрдым телом или просто телом . Изучив условия равновесия твёрдого тела, мы найдём условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформации можно не учитывать.

Вспомните определение абсолютно твёрдого тела.

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твёрдых тел, называется статикой .

В статике учитываются размеры и форма тел, в этом случае существенным является не только значение сил, но и положение точек их приложения.

Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при каком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьём мысленно всё тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Как обычно, назовём силы, действующие на тело со стороны других тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы самого тела, внутренними (рис. 7.1). Так, сила 1,2 - это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же 2,1 действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; к ним относятся также силы 1,3 и 3,1 , 2,3 и 3,2 . Очевидно, что геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона

12 = - 21 , 23 = - 32 , 31 = - 13 и т.д.

Статика - частный случай динамики, так как покой тел, когда на них действуют силы, есть частный случай движения ( = 0).

На каждый элемент в общем случае может действовать несколько внешних сил. Под 1 , 2 , 3 и т. д. будем понимать все внешние силы, приложенные соответственно к элементам 1, 2, 3, ... . Точно так же через " 1 , " 2 , " 3 и т. д. обозначим геометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам 2, 2, 3, ... соответственно (эти силы не показаны на рисунке), т. е.

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... и т.д.

Если тело находится в покое, то ускорение каждого элемента равно нулю. Поэтому согласно второму закону Ньютона будет равна нулю и геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Каждое из этих трёх уравнений выражает условие равновесия элемента твёрдого тела.

Первое условие равновесия твёрдого тела.

Выясним, каким условиям должны удовлетворять внешние силы, приложенные к твёрдому телу, чтобы оно находилось в равновесии. Для этого сложим уравнения (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

В первых скобках этого равенства записана векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, а во вторых - векторная сумма всех внутренних сил, действующих на элементы этого тела. Но, как известно, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона любой внутренней силе соответствует сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. Поэтому в левой части последнего равенства останется только геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

В случае абсолютно твёрдого тела условие (7.2) называют первым условием его равновесия .

Оно является необходимым, но не является достаточным.

Итак, если твёрдое тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.

Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Такие же уравнения можно записать и для проекций сил на оси OY и OZ.

Второе условие равновесия твёрдого тела.

Убедимся, что условие (7.2) является необходимым, но недостаточным для равновесия твёрдого тела. Приложим к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2. Сумма этих сил равна нулю:

+ (-) = 0. Но доска тем не менее будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 7.3).

Какое же ещё условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твёрдое тело находилось в равновесии? Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Найдём, например, условие равновесия стержня, шарнирно закреплённого на горизонтальной оси в точке О (рис. 7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики основной школы, представляет собой рычаг первого рода.

Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы 1 и 2 .

Кроме сил 1 и 2 , на рычаг действует направленная вертикально вверх сила нормальной реакции 3 со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трёх сил равна нулю: 1 + 2 + 3 = 0.

Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол α. Точки приложения сил 1 и 2 пройдут пути s 1 = ВВ 1 и s 2 = CC 1 (дуги ВВ 1 и СС 1 при малых углах α можно считать прямолинейными отрезками). Работа А 1 = F 1 s 1 силы 1 положительна, потому что точка В перемещается по направлению действия силы, а работа А 2 = -F 2 s 2 силы 2 отрицательна, поскольку точка С движется в сторону, противоположную направлению силы 2 . Сила 3 работы не совершает, так как точка её приложения не перемещается.

Пройденные пути s 1 и s 2 можно выразить через угол поворота рычага а, измеренный в радианах: s 1 = α|ВО| и s 2 = α|СО|. Учитывая это, перепишем выражения для работы так:

А 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
А 2 = -F 2 α|CO|.

Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил 1 и 2 , являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил

Как вы уже знаете, плечо силы - это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Будем обозначать плечо силы буквой d. Тогда |ВО| = d 1 - плечо силы 1 , а |СО| = d 2 - плечо силы 2 . При этом выражения (7.4) примут вид

А 1 = F 1 αd 1 , А 2 = -F 2 αd 2 . (7.5)

Из формул (7.5) видно, что работа каждой из сил равна произведению момента силы на угол поворота рычага. Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде

А 1 = М 1 α, А 2 = М 2 α, (7.6)

а полную работу внешних сил можно выразить формулой

А = А 1 + А 2 = (М 1 + М 2)α. α, (7.7)

Так как момент силы 1 положителен и равен М 1 = F 1 d 1 (см. рис. 7.4), а момент силы 2 отрицателен и равен М 2 = -F 2 d 2 , то для работы А можно записать выражение

А = (М 1 - |М 2 |)α.

Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершать работу, т. е. в этом случае А ≠ 0 и соответственно М 1 + М 2 ≠ 0.

Если работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела не изменяется (остаётся равной нулю) и тело остаётся неподвижным. Тогда

М 1 + М 2 = 0 . (7.8)

Уравнение (7 8) и есть второе условие равновесия твёрдого тела .

При равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твёрдого тела следующие:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0 .

Второе условие равновесия можно вывести из основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела. Согласно этому уравнению где М - суммарный момент сил, действующих на тело, М = М 1 + М 2 + М 3 + ... , ε - угловое ускорение. Если твёрдое тело неподвижно, то ε = 0, и, следовательно, М = 0. Таким образом, второе условие равновесия имеет вид М = М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.

Если тело не абсолютно твёрдое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю.

Приложим, например к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Проще всего рассмотреть условия равновесия абсолютно твердого тела, т. е. такого тела, размеры и форму которого можно считать неизменными. Понятие абсолютно твердого тела является абстракцией, поскольку все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил в той или иной степени деформируются, т. е. меняют свою форму и размеры. Величина деформаций зависит как от приложенных к телу сил, так и от свойств самого тела - его формы и свойств материала, из которого оно изготовлено. Во многих практически важных случаях деформации бывают малыми и использование представлений об абсолютно твердом теле является оправданным.

Модель абсолютно твердого тела. Однако не всегда малость деформаций является достаточным условием для того, чтобы тело можно было считать абсолютно твердым. Чтобы пояснить это, рассмотрим следующий пример. Доска, лежащая на двух опорах (рис. 140а), может рассматриваться как абсолютно твердое тело, несмотря на то, что она слегка прогибается под действием сил тяжести. Действительно, в этом случае условия механического равновесия позволяют определить силы реакции опор не учитывая деформации доски.

Но если та же доска лежит на тех же опорах (рис. 1406), то представление об абсолютно твердом теле является неприменимым. В самом деле, пусть крайние опоры находятся на одной горизонтали, а средняя - чуть ниже. Если доска абсолютно твердая, т. е. вообще не прогибается, то она совсем не давит на среднюю опору Если же доска прогибается, то она давит на среднюю опору, причем тем сильнее, чем больше деформация. Условия

равновесия абсолютно твердого тела в этом случае не позволяют определить силы реакции опор так как приводят к двум уравнениям для трех неизвестных величин.

Рис. 140. Силы реакции, действующие на доску, лежащую на двух (а) и на трех (б) опорах

Такие системы носят название статически неопределимых. Для их расчета необходимо учитывать упругие свойства тел.

Приведенный пример показывает, что применимость модели абсолютно твердого тела в статике определяется не столько свойствами самого тела, сколько условиями, в которых оно находится. Так, в рассмотренном примере даже тонкую соломинку можно считать абсолютно твердым телом, если она лежит на двух опорах. Но даже очень жесткую балку нельзя считать абсолютно твердым телом, если она лежит на трех опорах.

Условия равновесия. Условия равновесия абсолютно твердого тела представляют собой частный случай динамических уравнений, когда ускорение отсутствует, хотя исторически статика возникла из потребностей строительной техники почти на два тысячелетия раньше динамики. В инерциальной системе отсчета твердое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело внешних сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю. При выполнении первого условия равно нулю ускорение центра масс тела. При выполнении второго условия отсутствует угловое ускорение вращения. Поэтому если в начальный момент тело покоилось, то оно будет оставаться в покое и дальше.

В дальнейшем мы ограничимся изучением сравнительно простых систем, в которых все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное условие

сводится к двум скалярным:

если расположить оси плоскости действия сил. Некоторые из входящих в условия равновесия (1) действующих на тело внешних сил могут быть заданы, т. е. их модули и направления известны. Что же касается сил реакции связей или опор, ограничивающих возможное перемещение тела, то они, как правило, заранее не заданы и сами подлежат определению. В отсутствие трения силы реакции перпендикулярны поверхности соприкосновения тел.

Рис. 141. К определению направления сил реакции

Силы реакции. Иногда возникают сомнения в определении направления силы реакции связи, как, например, на рис. 141, где изображен стержень, опирающийся в точке А о гладкую вогнутую поверхность чашки и в точке В на острый край чашки.

Для определения направления сил реакции в этом случае можно мысленно немного подвинуть стержень, не нарушая его контакта с чашкой. Сила реакции будет направлена перпендикулярно поверхности, по которой скользит точка контакта. Так, в точке А действующая на стержень сила реакции перпендикулярна поверхности чашки, а в точке В - перпендикулярна стержню.

Момент силы. Моментом М силы относительно некоторой точки

О называется векторное произведение радиуса-вектора проведенного из О в точку приложения силы, на вектор силы

Вектор М момента силы перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы

Уравнение моментов. Если на тело действует несколько сил, то второе, связанное с моментами сил условие равновесия записывается в виде

При этом точка О, из которой проводятся радиусы-векторы должна выбираться общей для всех действующих сил.

Для плоской системы сил векторы моментов всех сил направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, если моменты рассматриваются относительно точки, лежащей в этой же плоскости. Поэтому векторное условие (4) для моментов сводится к одному скалярному: в положении равновесия алгебраическая сумма моментов всех внешних действующих сил равна нулю. Модуль момента силы относительно точки О равен произведению модуля

силы на расстояние от точки О до линии, вдоль которой действует сила При этом моменты, стремящиеся повернуть тело по часовой стрелке, берутся с одним знаком, против часовой стрелки - с противоположным. Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил, производится исключительно из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты.

Пример равновесия. Для иллюстрации применения условий равновесия абсолютно твердого тела рассмотрим следующий пример. Легкая лестница-стремянка состоит из двух одинаковых частей, шарнирно соединенных вверху и связанных веревкой у основания (рис. 142). Определим, какова сила натяжения веревки, с какими силами взаимодействуют половинки лестницы в шарнире и с какими силами они давят на пол, если на середине одной из них стоит человек весом Р.

Рассматриваемая система состоит из двух твердых тел - половинок лестницы, и условия равновесия можно применять как для системы в целом, так и для ее частей. Применяя условия равновесия ко всей системе в целом, можно найти силы реакции пола и (рис. 142). При отсутствии трения эти силы направлены вертикально вверх и условие равенства нулю векторной суммы внешних сил (1) принимает вид

Условие равновесия моментов внешних сил относительно точки А записывается следующим образом:

где - длина лестницы, угол, образованный лестницей с полом. Решая систему уравнений (5) и (6), находим

Рис. 142. Векторная сумма внешних сил и сумма моментов внешних сил в равновесии равна нулю

Разумеется, вместо уравнения моментов (6) относительно точки А можно было бы написать уравнение моментов относительно точки В (или любой другой точки). При этом получилась бы система уравнений, эквивалентная использованной системе (5) и (6).

Сила натяжения веревки и силы взаимодействия в шарнире для рассматриваемой физической системы являются внутренними и поэтому не могут быть определены из условий равновесия всей системы как целого. Для определения этих сил необходимо рассматривать условия равновесия отдельных частей системы. При этом

удачным выбором точки, относительно которой составляется уравнение моментов сил, можно добиться упрощения алгебраической системы уравнений. Так, например, в данной системе можно рассмотреть условие равновесия моментов сил, действующих на левую половинку лестницы, относительно точки С, в которой находится шарнир.

При таком выборе точки С силы, действующие в шарнире, не войдут в это условие, и мы сразу находим силу натяжения веревки Т:

откуда, учитывая, что получаем

Условие (7) означает, что равнодействующая сил Т и проходит через точку С, т. е. направлена вдоль лестницы. Поэтому равновесие этой половинки лестницы возможно, только если сила действующая на нее в шарнире, также направлена вдоль лестницы (рис. 143), а ее модуль равен модулю равнодействующей сил Т и

Рис. 143. Линии действия всех трех сил, действующих на левую половинку лестницы, проходят через одну точку

Абсолютное значение силы действующей в шарнире на другую половинку лестницы, на основании третьего закона Ньютона равно а ее направление противоположно направлению вектора Направление силы можно было бы определить непосредственно из рис. 143, учитывая, что при равновесии тела под действием трех сил линии, по которым действуют эти силы, пересекаются в одной точке. Действительно, рассмотрим точку пересечения линий действия двух из этих трех сил и составим уравнение моментов относительно этой точки. Моменты первых двух сил относительно этой точки равны нулю; значит, должен равняться нулю и момент третьей силы, что в соответствии с (3) возможно, только если линия ее действия также проходит через эту точку.

Золотое правило механики. Иногда задачу статики можно решить, вообще не рассматривая условий равновесия, а используя закон сохранения энергии применительно к механизмам без трения: ни один механизм не дает выигрыша в работе. Этот закон

называют золотым правилом механики. Для иллюстрации такого подхода рассмотрим следующий пример: тяжелый груз весом Р подвешен на невесомом шарнире с тремя звеньями (рис. 144). Какую силу натяжения должна выдержать нить, соединяющая точки А и В?

Рис. 144. К определению силы натяжения нити в трехзвенном шарнире, поддерживающем груз весом Р

Попробуем с помощью этого механизма поднимать груз Р. Отвязав нить в точке А, потянем ее вверх так, чтобы точка В медленно поднялась на расстояние Это расстояние ограничено тем, что сила натяжения нити Т должна оставаться неизменной в процессе перемещения. В данном случае, как будет видно из ответа, сила Т вообще не зависит от того, насколько сжат или растянут шарнир. Совершенная при этом работа . В результате груз Р поднимается на высоту которая, как ясно из геометрических соображений, равна Так как при отсутствии трения никаких потерь энергии не происходит, можно утверждать, что изменение потенциальной энергии груза, равное определяется совершенной при подъеме работой. Поэтому

Очевидно, что для шарнира, содержащего произвольное число одинаковых звеньев,

Нетрудно найти силу натяжения нити и в том случае, когда требуется учитывать вес самого шарнира совершаемую при подъеме работу следует приравнять сумме изменений потенциальных энергий груза и шарнира. Для шарнира из одинаковых звеньев центр масс его поднимается на Поэтому

Сформулированный принцип («золотое правило механики») применим и тогда, когда в процессе перемещений не происходит изменения потенциальной энергии, а механизм используется для преобразования силы. Редукторы, трансмиссии, вороты, системы рычагов и блоков - во всех таких системах преобразованную силу можно определить, приравнивая работы преобразованной и приложенной сил. Другими словами, при отсутствии трения отношение этих сил определяется только геометрией устройства.

Рассмотрим с этой точки зрения разобранный выше пример со стремянкой. Конечно, использовать стремянку в качестве подъемного механизма, т. е. поднимать человека, сближая половинки стремянки, вряд ли целесообразно. Однако это не может помешать нам применить описанный метод для нахождения силы натяжения веревки. Приравнивая работу, совершаемую при сближении частей стремянки, изменению потенциальной энергии человека на стремянке и связывая из геометрических соображений перемещение нижнего конца лестницы с изменением высоты груза (рис. 145), получаем, как и следовало ожидать, приведенный ранее результат:

Как уже отмечалось, перемещение следует выбрать таким, чтобы в процессе его можно было считать действующую силу постоянной. Легко убедиться, что в примере с шарниром это условие не накладывает ограничений на перемещение, так как сила натяжения нити не зависит от угла (рис. 144). Напротив, в задаче о стремянке перемещение следует выбирать малым, ибо сила натяжения веревки зависит от угла а.

Устойчивость равновесия. Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие устойчиво (рис. 146а), если при малых перемещениях тела из положения равновесия действующие силы стремятся вернуть его обратно, и неустойчиво (рис. 1466), если силы уводят его дальше от положения равновесия.

Рис. 145. Перемещения нижних концов лестницы и перемещение груза при сближении половинок стремянки

Рис. 146. Устойчивое (а), неустойчивое (б) и безразличное (в) равновесия

Если же при малых смещениях действующие на тело силы и их моменты по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное (рис. 146в). При безразличном равновесии соседние положения тела также являются равновесными.

Рассмотрим примеры исследования устойчивости равновесия.

1. Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии тела по отношению к ее значениям в соседних положениях тела. Этим свойством часто удобно пользоваться при отыскании положения равновесия и при исследовании характера равновесия.

Рис. 147. Устойчивость равновесия тела и положение центра масс

Вертикальная свободно стоящая колонна находится в устойчивом равновесии, поскольку при малых наклонах ее центр масс приподнимается. Так происходит до тех пор, пока вертикальная проекция центра масс не выйдет за пределы площади опоры, т. е. угол отклонения от вертикали не превысит некоторого максимального значения. Другими словами, область устойчивости простирается от минимума потенциальной энергии (при вертикальном положении) до ближайшего к нему максимума (рис. 147). Когда центр масс расположен точно над границей площади опоры, колонна также находится в равновесии, но неустойчивом. Горизонтально лежащей колонне соответствует гораздо более широкая область устойчивости.

2. Имеются два круглых карандаша с радиусами и Один из них расположен горизонтально, другой уравновешен на нем в горизонтальном положении так, что оси карандашей взаимно перпендикулярны (рис. 148а). При каком соотношении между радиусами равновесие устойчиво? На какой максимальный угол можно при этом отклонить от горизонтали верхний карандаш? Коэффициент трения карандашей друг о друга равен

На первый взгляд может показаться, что равновесие верхнего карандаша вообще неустойчиво, так как центр масс верхнего карандаша лежит выше оси, вокруг которой он может поворачиваться. Однако здесь положение оси вращения не остается неизменным, поэтому этот случай требует специального исследования. Поскольку верхний карандаш уравновешен в горизонтальном положении, центры масс карандашей лежат на этой вертикали (рис. ).

Отклоним верхний карандаш на некоторый угол от горизонтали. При отсутствии трения покоя он немедленно соскользнул бы вниз. Чтобы не думать пока о возможном соскальзывании, будем считать трение достаточно большим. При этом верхний карандаш «прокатывается» по нижнему без проскальзывания. Точка опоры из положения А перемещается в новое положение С, а та точка, которой верхний карандаш до отклонения опирался о нижний,

переходит в положение В. Поскольку проскальзывание отсутствует, длина дуги равна длине отрезка

Рис. 148. Верхний карандаш уравновешен в горизонтальном положении на нижнем карандаше (а); к исследованию устойчивости равновесия (б)

Центр масс верхнего карандаша переходит в положение . Если вертикаль, проведенная через проходит левее новой точки опоры С, то сила тяжести стремится вернуть верхний карандаш в положение равновесия.

Выразим это условие математически. Проведя вертикаль через точку В, видим, что должно выполняться условие

Так как то из условия (8) получаем

Поскольку сила тяжести будет стремиться возвратить верхний карандаш в положение равновесия только при Следовательно, устойчивое равновесие верхнего карандаша на нижнем возможно только тогда, когда его радиус меньше радиуса нижнего карандаша.

Роль трения. Для ответа на второй вопрос следует выяснить, какие причины ограничивают допустимый угол отклонения. Во-первых, при больших углах отклонения вертикаль, проведенная через центр масс верхнего карандаша, может пройти правее точки опоры С. Из условия (9) видно, что при заданном отношении радиусов карандашей максимальный угол отклонения

Всегда ли условий равновесия твердого тела достаточно для определения сил реакции?

Как практически можно определить направление сил реакции при отсутствии трения?

Как можно использовать золотое правило механики при анализе условий равновесия?

Если в шарнире, показанном на рис. 144, нитью соединить не точки А и В, а точки Л и С, то какой будет ее сила натяжения?

Как связана устойчивость равновесия системы с ее потенциальной энергией?

Какими условиями определяется максимальный угол отклонения тела, опирающегося на плоскость в трех точках, чтобы не была утрачена его устойчивость?