Круг с помощью циркуля. Деление окружности на любое число равных частей. Построение угла, равного данному

В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.

Допустимые построения. В задачах на построение допускаются следующие операции:

1. Отметить точку:

• произвольную точку плоскости;
• произвольную точку на заданной прямой;
• произвольную точку на заданной окружности;
• точку пересечения двух заданных прямых;
• точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
• точки пересечения/касания двух заданных окружностей.

2. С помощью линейки можно построить прямую:

• произвольную прямую на плоскости;
• произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
• прямую, проходящую через две заданных точки.

3. С помощью циркуля можно построить окружность:

• произвольную окружность на плоскости;
• произвольную окружность с центром в заданной точке;
• произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
• окружность с центром в заданной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

Решение задач на построение. Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения искомого объекта.
2. Доказательство того, что объект, построенный описанным способом, действительно является искомым.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Построение отрезка, равного данному. Пусть дан луч с началом в точке $O$ и отрезок $AB$. Для построения на луче отрезка $OP = AB$ нужно построить окружность с центром в точке $O$ радиуса $AB$. Точка пересечения луча с окружностью будет искомой точкой $P$.

Построение угла, равного данному. Пусть дан луч с началом в точке $O$ и угол $ABC$. C центром в точке $В$ строим окружность с произвольным радиусом $r$. Обозначим точки пересечения окружности с лучами $BA$ и $BC$ соответственно $A"$ и $C"$.

Построим окружность с центром в точке $O$ радиуса $r$. Точку пересечения окружности с лучом обозначим $P$. Построим окружность с центром в точке $P$ радиуса $A"B"$. Точку пересечения окружностей обозначим $Q$. Проведем луч $OQ$.

Получим угол $POQ$, равный углу $ABC$, так как треугольники $POQ$ и $ABC$ равны по трем сторонам.

Построение серединного перпендикуляра к отрезку. Построим две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами в концах отрезка. Соединив две точки их пересечения, получим серединный перпендикуляр.

Построение биссектрисы угла. Нарисуем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла. Построим две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами в точках пересечения первой окружности со сторонами угла. Соединив вершину угла с любой из точек пересечения этих двух окружностей, получаем биссектрису угла.

Построение суммы двух отрезков. Для построения на данном луче отрезка, равного сумме двух данных отрезков, нужно дважды применить метод построения отрезка, равного данному.

Построение суммы двух углов. Для того чтобы отложить от данного луча угол, равный сумме двух данных углов, нужно дважды применить метод построения угла, равного данному.

Нахождение середины отрезка. Для того чтобы отметить середину данного отрезка, нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку и отметить точку пересечения перпендикуляра с самим отрезком.

Построение перпендикулярной прямой через данную точку. Пусть требуется построить прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку. Проводим окружность произвольного радиуса с центром в данной точке (независимо от того, лежит она на прямой или нет), пересекающую прямую в двух точках. Строим серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках пересечения окружности с прямой. Это и будет искомая перпендикулярная прямая.

Построение параллельной прямой через данную точку. Пусть требуется построить прямую, параллельную данной и проходящую через данную точку вне прямой. Строим прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярную данной прямой. Затем строим прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярную построенному перпендикуляру. Полученная при этом прямая и будет искомой.

Окружностью называется замкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки О, называемой центром.

Прямые линии, соединяющие любую точку окружности с её центром, называют радиусами R.

Прямая АВ, соединяющая две точки окружности и проходящая через её центр О, называется диаметром D.

Части окружностей называются дугами .

Прямая СD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой .

Прямая МN,которая имеет только одну общую точку с окружностью называется касательной .

Часть круга, ограниченная хордой СD и дугой, называется сигментом .

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором .

Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности .

Угол, образованный двумя радиусами КОА, называется центральным углом .

Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол в 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.

Проводим окружность с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят её на 4-ре равные части. Проведённые с помощью циркуля или угольника под 45 0 , две взаимно перпендикулярные линии делят окружность на 8-мь равных частей.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)

Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.

Построение правильного пятиугольника выполняется следующим образом. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки "а" в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке "b". Радиусом R3 из точки "1" проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т.5) и получают сторону правильного пятиугольника. Расстояние "b-О" даёт сторону правильного десятиугольника.

Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)

Выполняется следующим образом. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки "1" окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей на которое мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через чётные (или нечётные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т.к. точки 1, 2, …. 9 делят окружность на 9-ть (N) равных частей.

Данный урок посвящён изучению окружности и круга. Также учитель научит отличать замкнутые и незамкнутые линии. Вы познакомитесь с основными свойствами окружности: центром, радиусом и диаметром. Выучите их определения. Научитесь определять радиус, если известен диаметр, и наоборот.

Если заполнить пространство внутри окружности, например начертить окружность с помощью циркуля на бумаге или картоне и вырезать, то получим круг (рис. 10).

Рис. 10. Круг

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Условие: Витя Верхоглядкин начертил в своей окружности (рис. 11) 11 диаметров. А когда пересчитал радиусы, получил 21. Правильно ли он сосчитал?

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Решение: радиусов должно быть в два раза больше, чем диаметров, поэтому:

Витя сосчитал неправильно.

Список литературы

1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 112 с.: ил. - (Школа России).
2. Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В. Математика, 3 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. - М.: Ювента.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Домашнее задание

1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012., ст. 94 № 1, ст. 95 № 3.

2. Разгадайте загадку.

Мы живём с братишкой дружно,

Нам так весело вдвоём,

Мы на лист поставим кружку (рис. 12),

Обведём карандашом.

Получилось то, что нужно -

Называется …

3. Необходимо определить диаметр окружности, если известно, что радиус равен 5 м.

4. * С помощью циркуля начертите две окружности с радиусами: а) 2 см и 5 см; б) 10 мм и 15 мм.

§ 1 Окружность. Основные понятия

В математике встречаются предложения, в которых разъясняется смысл того или иного названия или выражения. Такие предложения называют определениями.

Дадим определение понятию окружность. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка, назовем ее точка О, называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусомокружности. Таких отрезков можно провести много, например, ОА, ОВ, ОС. Все они будут иметь одну и ту же длину.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. MN - хорда окружности.

Хорда, проходящая через цент окружности, называется диаметром. АВ - диаметр окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, значит, длина диаметра в два раза больше радиуса. Центр окружности является серединой любого диаметра.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Эти части называются дугами окружности.

АNВ и АМВ - дуги окружности.

Часть плоскости, которая ограничена окружностью, называют кругом.

Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем. Окружность можно провести и на местности. Для этого достаточно воспользоваться веревкой. Один конец веревки закрепить на вбитый в землю колышек, а другим концом описать окружность.

§ 2 Построения циркулем и линейкой

В геометрии многие построения можно выполнить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.

С помощью только линейки можно провести произвольную прямую, а также произвольную прямую, проходящую через данную точку, или прямую, проходящую через две данные точки.

Циркуль позволяет провести окружность произвольного радиуса, также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Отдельно каждый из этих инструментов дает возможность сделать простейшие построения, а вот с помощью этих двух инструментов можно уже выполнить более сложные операции, например,

решить такие задачи на построение, как

Построить угол, равный данному,

Построить треугольник с данными сторонами,

Разделить отрезок пополам,

Через данную точку провести прямую перпендикулярную к данной прямой и т.д.

Рассмотрим задачу.

Задача: На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Даны луч ОС и отрезок АВ. Необходимо построить отрезок ОD, равный отрезку АВ.

С помощью циркуля построим окружность радиуса, равного длине отрезка АВ, с центром в точке О. Эта окружность пересечет данный луч ОС в некоторой точке D. Отрезок ОD - искомый отрезок.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004. - 288с. – (В помощь школьному учителю).
3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением . Мы уже встречались с определениями, например с определением угла, смежных углов, равнобедренного треугольника и т. д. Дадим определение ещё одной геометрической фигуры - окружности.

Определение

Данная точка называется центром окружности , а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности (рис. 77). Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.

Рис. 77

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром .

На рисунке 78 отрезки АВ и EF - хорды окружности, отрезок CD - диаметр окружности. Очевидно, диаметр окружности в два раза больше её радиуса. Центр окружности является серединой любого диаметра.

Рис. 78

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 79 ALB и АМВ - дуги, ограниченные точками А и В.

Рис. 79

Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем (рис. 80).

Рис. 80

Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться верёвкой (рис. 81).

Рис. 81

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (рис. 82).

Рис. 82

Построения циркулем и линейкой

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертёжным угольником.

Оказывается, что многие построения можно выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов.

Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку . Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение:

построить угол, равный данному;
через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;
разделить данный отрезок пополам и другие задачи.

Начнём с простой задачи.

Задача

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Решение

Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ (рис. 83, а). Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О (рис. 83, б). Эта окружность пересечёт луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD - искомый.

Рис. 83

Примеры задач на построение

Построение угла, равного данному

Задача

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение

Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 84. Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ.

Рис. 84

Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 85, а). Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начете данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ - искомый.

Рис. 85

Рассмотрим треугольники АВС и ODE. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а отрезки OD и ОЕ - радиусами окружности с центром О (см. рис. 85, б). Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построению ВС = DE.

Следовательно, Δ АВС = Δ ODE по трём сторонам. Поэтому ∠DOE = ∠BAC, т. е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.

То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться верёвкой.

Построение биссектрисы угла

Задача

Построить биссектрису данного угла.

Решение

Данный угол ВАС изображён на рисунке 86. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А. Она пересечёт стороны угла в точках В и С.

Рис. 86

Затем проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим её буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла ВАС.

Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трём сторонам. В самом деле, АЕ - общая сторона; АС и АВ равны как радиусы одной и той же окружности; СЕ = BE по построению.

Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что ∠CAE = ∠BAE, т. е. луч АЕ - биссектриса данного угла ВАС.

Замечание

Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на два равных угла? Ясно, что можно, - для этого нужно провести биссектрису этого угла.

Данный угол можно разделить также на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить ещё раз пополам.

А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла , в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в XIX веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Построение перпендикулярных прямых

Задача

Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Решение

Данная прямая а и данная точка М, принадлежащая этой прямой, изображены на рисунке 87.

Рис. 87

На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.

Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР (см. рис. 87), и докажем, что эта прямая - искомая, т. е. что она перпендикулярна к данной прямой а.

В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то PM ⊥ а.

Построение середины отрезка

Задача

Построить середину данного отрезка.

Решение

Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. Проведём прямую PQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам, поэтому ∠1 =∠2 (рис. 89).

Рис. 89

Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О - середина отрезка АВ.

Задачи

143. Какие из отрезков, изображённых на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности?

Рис. 90

144. Отрезки АВ и CD - диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

145. Отрезок МК - диаметр окружности с центром О, а МР и РК - равные хорды этой окружности. Найдите ∠POM.

146. Отрезки АВ и CD - диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.

147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ - прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

148. На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча В А отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.

149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы BM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

151. Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

153. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Решение

Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая - искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а.

Рис. 91

В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С - точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN ⊥ АВ, т. е. MN ⊥ а.

154. Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника. 155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30".

Ответы к задачам

152. Указание. Сначала построить биссектрису угла АОВ.