Биология
Геометрическая кристаллография. Все записи в категории 'Кристаллография'. Внутреннее строение кристаллов

Геометрическая кристаллография. Все записи в категории 'Кристаллография'. Внутреннее строение кристаллов

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

Кристаллография – наука, изучающая кристаллы, их свойства, внешнюю форму и причины их возникновения, связанная непосредственно с минералогией, математикой (декартова система координат), физикой и химией (вопрос возникновения и роста кристаллов).Первые работы были сделаны Платоном, Пифагором и т.д.

До начала XIX века кристаллография носила описательный характер. Но уже в начале XIX получили развитие математика, физика, поэтому свое развитие получила и кристаллография. Особенно в середине XX века с ростом новых технологий, кристаллография получила экспериментальный характер (выращивание и синтез кристаллов). На сегодняшний день можно выделить следующие разделы кристаллографии:

На сегодняшний день можно выделить следующие разделы кристаллографии:

1. Геометрическая кристаллография – изучает внешнюю форму кристаллов и закономерности их внутреннего строения.

2. Кристаллохимия – изучает связь между внутренним строением кристаллов и их химическим составом.

3. Физико-химическая кристаллография – изучает закономерности образования и роста кристаллов.

4. Физическая кристаллография – изучает физические свойства кристаллов (оптические, тепловые, электрические и т.д.), где некоторые направления выделились в отдельные науки (кристаллооптика).

Тела кристаллические и аморфные

Твердые тела делятся на:

1. Аморфные , где элементарные частицы расположены беспорядочно, незакономерно, что приводит к обладанию свойством изотропности (одинаковые свойства вещества в любых направлениях). Аморфные тела неустойчивые и со временем они переходят в кристаллические (раскристаллизация).

2. Кристаллические , характеризующиеся упорядоченным расположением элементарных частиц, которые создают кристаллическую структуру, представленную пространственной решеткой.

Кристаллическая (пространственная) решетка

Кристаллическая решетка – совокупность элементарных частиц, расположенных в соответствующих точках бесконечного множества параллелепипедов, которые нацело заполняют пространство, будучи равными, параллельно ориентированными и смежными по целым граням (рис. 1).

Элементы строения пространственной решетки:

1. Узлы – элементарные частицы, занимающее определенное положение в решетке.

2. Ряд – совокупность узлов, расположенных на одной прямой через определенный равный интервал, называющийся промежутком ряда.

3. Плоская сетка – совокупность узлов, расположенных в одной плоскости.

4. Элементарная ячейка – одиночный параллелепипед, повторяемость которого образует пространственную решетку.

Математик Огюст Бравэ доказал, что всего может быть только 14 принципиально разных решеток. Параметры элементарной ячейки обуславливают тип кристаллической решетки.

Кристалл – твердое тело, имеющее форму правильного многогранника, в котором элементарные частицы расположены закономерно в виде кристаллической решетки.

Элементы ограничения кристаллов:

· грани (гладкие плоскости);

· ребра (линии пересечения граней);

· вершина (точка пересечения ребер).

Связь внешней формы кристалла с внутренним строением

1. Плоские сетки соответствуют граням кристалла.

2. Ряды соответствуют ребрам.

3. Узлы соответствуют вершинам.

Но только те плоские сетки и ряды соответствуют граням и ребрам, которые имеют наибольшую ретикулярную плотность – количество узлов на единицу площади плоской сетки или единицу длины ряда.

Отсюда Эйлер вывел закон: «Сумма количества граней и вершин равна количеству ребер плюс 2».

Основные свойства кристаллов

Закономерное внутреннее строение кристаллов в виде пространственной решетки обусловливает их важнейшие свойства:

1. Однородность – одинаковые свойства кристалла в параллельных направлениях.

2. Анизотропность – различные свойства кристалла в непараллельных направлениях (например, если минерал дистен («стен» - сопротивление) царапать по удлинению, то его твердость равна 4,5, а если в поперечном направлении, то твердость равна 6-6,5).

3. Способность самоограняться – при благоприятных условиях роста кристалл приобретает форму правильного многогранника.

4. Симметрия .

Симметрия кристаллов

Симметрия – (от греч. «сим» – похожий, «метриос» – измерение, расстояние, величина) – закономерная повторяемость одинаковых граней, ребер, вершин кристалла относительно некоторых вспомогательных геометрических образов (прямой линии, плоскости, точки). Вспомогательные геометрические образы, с помощью которых обнаруживается симметрия кристалла, называются элементами симметрии.

К элементам симметрии кристалла относятся ось симметрии (L – от англ. line – линия), плоскость симметрии (P – от англ. play – плоскость), центр симметрии (С – от англ. centre – центр).

Ось симметрии – прямая линия, при повороте вокруг которой на 360° кристалл несколько раз совмещается со своим исходным положением.

Элементарный угол поворота a – может быть равен 60°, 90°, 120°, 180°.

Порядок оси симметрии – число совмещений кристалла со своим исходным положением при вращении на 360°.

В кристалле возможны оси симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Осей симметрии пятого и больше, чем шестого не бывает. Порядок осей симметрии обозначается L 6 , L 4 , L 3 , L 2 .

Возможное количество осей симметрии одного и того же порядка следующее:

L 2 – 0, 1, 2, 3, 4, 6;

L 4 – 0, 1, 3;

Плоскость симметрии – плоскость, делящая кристалл на две зеркально-равные части.

Центр симметрии – точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие противоположные одинаковые грани, ребра или вершины кристалла. Из данного определения следует правило: если в кристалле центр симметрии имеется, то каждая грань его должна иметь себе противоположную, равную, параллельную и обратно направленную грань.

Совокупность всех имеющихся элементов симметрии принято записывать в строчку, без каких-либо знаков препинания между ними, при этом вначале указываются оси симметрии, начиная с высшего порядка, затем плоскость симметрии, и на последнем месте, если есть, записывается центр симметрии.

Классификация кристаллов

Кристаллы по совокупности в них элементов симметрии объединяются в классы. Еще в 1830 г. ученый Ф. Гессель путем математических вычислений пришел к выводу о том, что всего возможно 32 различные комбинации элементов симметрии в кристаллах. Именно набор элементов симметрии и определяет класс.

Классы объединяются в сингонии. В одну сингонию сгруппированы классы, характеризующиеся одним или несколькими одинаковыми элементами симметрии. Сингоний известно 7.

По степени симметричности сингонии объединяются в более крупные подразделения – категории: высшая, средняя, низшая (табл.).

Формы кристаллов

1. Простые – кристаллы, у которых все грани имеют одинаковую форму и одинаковый размер. Среди простых форм различают:

· закрытые – своими гранями полностью замыкают пространство (правильные многогранники);

· открытые – полностью пространство не замыкают и для того, чтобы их закрыть участвуют другие простые формы (призмы и т.д.)

2. Комбинация простых форм – кристалл, на котором развиты грани, отличающиеся друг от друга по форме и размеру. Сколько на кристалле различных сортов грани, столько же простых форм в этой комбинации участвуют.

Номенклатура простых форм

В основе названия отражается число граней, форма граней, сечение формы. В названиях простых форм используются греческие термины:

· моно – одно-, единственный;

· ди, би – дву-, дважды;

· три – три-, трех-, трижды;

· тетра – четыре-, четырех-, четырежды;

· пента – пяти-, пятью;

· гекса – шести-, шестью;

· окта – восьми, восемью;

· додека – двенадцать-, двенадцати;

· эдр – грань;

· гонио – угол;

· син – сходно;

· пинакос – таблица, доска;

· клинэ – наклон;

· поли – много;

· скаленос – косой, неровный.

Например: пентагондодекаэдр (пять, угол, двенадцать – 12 пятиугольников), тетрагональная дипирамида (в основании четырехугольник, а пирамид две).

Системы кристаллографических осей

Кристаллографические оси – направления в кристалле параллельные его ребрам, которые принимаются за координатные оси.Ось х – III, ось у – II, ось z – I.

Направления кристаллографических осей совпадают с рядами пространственной решетки или параллельны им. Поэтому иногда вместо обозначений I, II, III оси используются обозначения единичных отрезков a, b, c.

Типы кристаллографических осей:

1. Прямоугольная трехосная система (рис. 2) . Возникает, когда направления сориентированы перпендикулярно друг к другу. Используется в кубической (a=b=c), тетрагональной (a=b≠c) и ромбической (a≠b≠c) сингониях.

2. Четырехосная система (рис. 3) . Вертикально сориентирована четвертая ось, а в перпендикулярной к ней плоскости проводятся три оси через 120°. Используется для кристаллов гексагональной и тригональной сингонии, a=b≠c

3. Наклонная система (рис. 4). a=γ=90°, b≠90°, a≠b≠c. Используется для установки кристаллов моноклинной сингонии.

4.
Косоугольная система (рис. 5). a≠γ≠b≠90°, a≠b≠c. Используется для кристаллов триклинной сингонии.

Закон целых чисел

Это один из самых важных законов кристаллографии, называемый также законом Гаюи, законом рациональности двойных отношений, законом рациональности отношений параметров. Закон гласит: «Двойные отношения параметров, отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел».

1. Выбираем три непараллельных ребра, пересекающихся в точке О. Эти ребра принимаем за кристаллографические оси (рис. 6) .

2. Выбираем две грани A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2 на кристалле, причем плоскость A 1 B 1 C 1 не параллельна плоскости A 2 B 2 C 2 , а точки лежат на кристаллографических осях.

3. Отрезки, отсекаемые гранями на кристаллографических осях называются параметрами грани. В нашем случае OA 1 , OA 2 , OB 1 , OB 2 , OC 1 , OC 2 .

, где p, q, r – рациональные и сравнительно небольшие числа.

Закон объясняется строением кристаллической решетки. Направления, выбранные в качестве осей, соответствуют рядам пространственной решетки.

Символы граней

Для получения символа грани необходимо установить кристалл в соответствующих кристаллографических осях, затем выбрать единичную грань – грань, параметры которой по каждой кристаллографической оси приняты за единицу измерения (иначе, за масштабный отрезок). В итоге, соотношение параметров будет характеризовать положение грани в кристаллографических осях.

Более удобно использовать не параметры, а индексы граней – величины, обратные параметрам: . Индексы записываются в фигурные (характеризуют простую форму в целом, например {hkl} или {hhl} ) или круглые скобки (относятся непосредственно к определенной грани, например (hhl ) или (hlh ) ), без знаков препинания. Если получается отрицательный индекс, то он может быть показан знаком вектора – {hkl}. Индексы также могут обозначаться числовыми значениями, например, {321}, {110} или {hk0}. «0» - означает, что грань параллельна оси.

Пути образования кристалло в

Кристаллы могут образовываться из всех агрегатных состояний вещества, как в природных, так и в лабораторных условиях.

Газообразное состояние – снежинки (кристаллы льда), иней, налет, самородная сера (при извержении вулканов на стенках кратеров оседают кристаллы серы); в промышленности – кристаллы йода, магний. Возгонка – процесс образования кристаллов из газообразного вещества.

Жидкое состояние – образование кристаллов из расплава и из раствора. Образование всех интрузивных пород происходит из расплавов (мантийные магматические расплавы), когда основным фактором является понижение температуры. Но наиболее распространенным является образование кристаллов из растворов. В природе эти процессы самые распространенные и интенсивные. Особенно образование кристаллов из растворов характерно для пересыхающих озер.

Твердое состояние – главным образом, процесс перехода аморфного вещества в кристаллическое (раскристаллизация), в природных условиях эти процессы активно идут при высоких температурах и давлениях.

Возникновение кристаллов

Растворы различаются по степени концентрации в них вещества:

· ненасыщенные (недосыщенные) – можно добавлять вещество, и оно продолжит растворяться;

· насыщенные – добавление вещества не приводит к его растворения, оно выпадает в осадок;

· перенасыщенные (пересыщенные) – образуется, если насыщенный раствор попадает в условия, где концентрация вещества существенно превышает предел растворимости; в первую очередь начинается испаряться растворитель.

Например, образование кристаллического зародыша NaCl:

1. Одномерный кристалл (из-за притяжения ионов образуется ряд), (рис. 7) ;

2. Двумерный кристалл (плоская сетка), (рис. 8) ;

3. Первичная кристаллическая решетка (кристаллический зародыш из около 8 элементарных ячеек), (рис. 9) .

У каждого кристалла своя цепочка образования (для кристалла соли – куб), но механизм будет всегда одинаков. В реальных условиях, как правило, центром кристаллизации служит или посторонняя примесь (песчинка), или мельчайшая частичка того вещества, из которого будет строится кристалл.

Рост кристаллов

На сегодняшний день существуют две основные теории, описывающие рост кристаллов. Первая из них именуется теорией Косселя-Странского(рис. 10) . Согласно этой теории, частицы присоединяются к кристаллу преимущественно так, чтобы выделялась наибольшая энергия. Это объяснимо тем, что любой процесс идет «легче», если энергия высвобождается.

А – высвобождается максимальное количество энергии (при попадании частицы в этот трехгранный угол).

Б – будет выделяться меньшая энергия (двугранный угол).

В – высвобождается минимум энергии, самый маловероятный случай.

Во время роста в первую очередь частицы будут попадать в положение А , затем в Б и, наконец, в В . На кристалле не начнется рост нового слоя, пока не завершено построение слоя до конца.

Эта теория вполне объясняет рост кристаллов с идеальными гладкими гранями с механизмом послойного нарастания граней.

Но в 30-х годах XX века было доказано, что грани кристалла всегда искажены или имеют какие-либо дефекты, поэтому в реальных условиях грани кристалла далеки от идеально гладких плоскостей.

Вторая теория предложена Г.Г. Леммлейном с учетом того, что грани кристаллов не идеальные развил теорию дисклокации (дислокационного роста) – смещения. За счет винтовой дисклокации на поверхности кристалла всегда имеется «ступенька», к которой легче всего присоединяются частицы растущего кристалла. Теория дислокации и, в частности, теория винтовой дислокации (рис. 11, 12) , всегда дает возможность для продолжения роста граней, ибо всегда есть место для благоприятного присоединения частицы к кристаллической решетке, дислоцированной. В результате подобного роста поверхность грани приобретает спиральной строение.

Обе теории, совершенного и несовершенного роста кристаллов, дополняют друг друга, каждая из них основана на одних и тех же законах и принципах и полностью позволяют характеризовать все вопросы роста кристаллов.

Скорость роста граней

Скорость нарастания грани – величина нормального к ее плоскости отрезка, на который данная грань передвигается в единицу времени (рис. 13) .

Скорость нарастания различных граней кристалла различна. Грани с большей скоростью нарастания постепенно уменьшаются в размерах, вытесняются разрастающимися гранями с малой скоростью нарастания и могут совсем исчезнуть с поверхности кристалла (рис. 14) . В первую очередь на кристалле развиваются грани, имеющую наибольшую ретикулярную плотность.

Скорость нарастания граней зависит от многих факторов:

внутренних и внешних. Из внутренних факторов наибольшее влияние на скорость нарастания граней оказывает их ретикулярная плотность, что выражается законом Бравэ: «Кристалл покрывается гранями с большей ретикулярной плотностью и наименьшей скоростью роста».

Факторы, влияющие на форму растущего кристалла

Факторы разделяются на внутренние (то, что непосредственно связано со свойствами ионов или атомов или кристаллической решетки) и внешние: давление, а также:

1. Концентрационные потоки. При росте кристалла в растворе около него присутствует область чуть более высокой температуры (частицы присоединяются так, чтобы высвобождалась как можно большая энергия) и с пониженной плотностью раствора (происходит питание растущего кристалла) (рис. 15). При растворении все происходит наоборот.

Потоки играют двоякую роль: постоянно движущиеся вверх потоки приносят новые порции вещества, но они же и искажают форму кристаллов. Подпитка происходит только снизу, меньше – с боков, и сверху ее почти нет. При выращивании кристаллов в лабораторных условиях воздействие концентрационных потоков пытаются исключить, для чего используют разные методики: метод динамического роста кристаллов, метод искусственного перемешивания раствора и др.

2. Концентрация и температура раствора . Всегда оказывают влияние на форму кристаллов.

Влияние концентрации раствора на форму кристаллов квасцов (концентрация повышается от 1 до 4):

1 – кристалл в форме октаэдра;

2,3 – комбинация нескольких простых форм;

4 – кристалл с преимущественным развитием грани октаэдра, форма приближается к шаровой.

Влияние температуры на эпсомит:

При повышении температуры кристаллы эпсомита приобретают более толсто-призматические очертания, при низкой температуре – тоненькая линзочка.

3. Примеси постороннего вещества . Например, октаэдр квасцов превращается в куб при росте в растворе с примесью буры.

4. Другие.

Закон постоянства гранных углов

Еще в середине XVII века, в 1669 г. датский ученый Стено изучил несколько кристаллов кварца и понял, что насколько бы сильно не был искажен кристалл, углы между гранями остаются неизменными. Сначала к закону отнеслись прохладно, но спустя 100 лет исследования Ломоносова и французского ученого Ромэ-Делиля, независимо друг от друга, подтвердили этот закон.

На сегодняшний день закон носит другое название – закон Стено-Ломоносова-Ромэ-Делиля). Закон постоянства гранных углов: «Во всех кристаллах одного и того же вещества углы между соответственными гранями и ребрами постоянны». Этот закон объясняется строением кристаллической решетки.

Для измерения углов между гранями используется прибор гониометр (похож на микс транспортира и линейки). Для более точных измерений используется оптический гониометр, изобретенный Е.С. Федоровым.

Зная углы между гранями кристалла вещества, можно определять состав вещества.

Сростки кристаллов

Среди сростков кристаллов выделяются две главные группы:

1. Незакономерные – сростки кристаллов, которые между собой в пространстве никак не взаимосвязаны и не сориентированы (друзы).

2. Закономерные:

· параллельные;

· двойники.

Параллельный сросток кристаллов представляет собой несколько кристаллов одного и того же вещества, которые могут быть различного размера, но сориентированными параллельно друг другу, кристаллическая решетка в этом сростке непосредственно связана в одно целое.

Скипетровидный сросток – более мелкие кристаллы кварца срастаются с более крупным кристаллом.

Двойники

Двойник – закономерный сросток двух кристаллов, в котором один кристалл является зеркальным отражением другого, либо одна половина двойника выводится из другой, путем разворота на 180°. С точки зрения минералогии в любом двойники всегда виден внутренний входящий угол (рис. 16).

Элементы двойника:

1. Двойниковая плоскость – плоскость, в которой отражаются две части двойника.

2. Двойниковая ось – ось, при развороте вокруг которой из одной половины двойника получается вторая.

3. Плоскость срастания – плоскость, по которой две части двойника примыкают друг к другу. В частных случаях двойниковая плоскость и плоскость срастания совпадают, но в большинстве случаев это не так.

Сочетание и характер всех трех элементов двойника определяют законы двойникования: «шпинелевый», «галльский» и т.д.

Двойники прорастания – один кристалл насквозь прорастает другой кристалл. Если участвуют несколько кристаллов соответственно выделяют тройники, четверники и т.д. (в зависимости от количества кристаллов).

Полисинтетические двойники – серия сдвойникованных кристаллов, расположенных так, что каждые два соседних расположены друг к другу в двойниковой ориентировке, а кристаллы, идущие через один, сориентированы параллельно друг другу (рис. 17).

Полисинтетическое двойникование на природных кристаллах часто проявлено в виде тонкой параллельной штриховки (двойниковых швов).

Формы природных кристаллов

Среди кристаллов принято различать:

· идеальные – те кристаллы, у которых все грани одной и той же простой формы одинаковы по размерам, очертаниям, расстоянию от центра кристалла;

· реальные – встречаются с теми или иными отклонениями от идеальных форм.

В природных (реальных) кристаллах неравномерное развитие граней одной и той же формы создает впечатление более низкой симметрии (рис. 18).

В реальных кристаллах грани далеки от математически правильных плоскостей, т.к. на гранях реальных кристаллах имеются различные усложнения в виде штриховки, узоров, ямок, наростов, т.е. скульптуры . Выделяют: паркетовидный узор, штриховка на грани, вицинали (представляют собой небольшие участки грани кристалла, незначительно смещенные от направления грани). В реальных кристаллах очень часто встречаются усложненные формы кристаллов.

При отклонении от условий нормального роста могут образоваться скелетные кристаллы – кристаллы, на которых преимущественно развиты ребра и вершины, а грани в развитии отстают (например, снежинки). Антискелетные кристаллы – преимущественно развиваются грани, а ребра и вершины отстают в развитии (кристалл приобретает округлую форму, очень часто в таком виде встречается алмаз).

Также бывают скрученные кристаллы, расщепленные, деформированные.

Внутреннее строение кристаллов

Внутренне строение кристаллов очень часто зональное. Каждое изменение химического состава раствора, где растет кристалл, вызывает свой слой. Зональное строение обусловлено пульсациями и изменениями химического состава, питающих растворов, т.е. в зависимости от чего питался кристалл в юности, будет меняться, например цвет зон.

В поперечном изломе видно секториальное строение, тесно связанное с зональностью и обусловлено изменениями состава среды.

Включения в кристаллах

Все включения делятся на гомогенные и гетерогенные. Они также делятся по времени образования на:

1. Остаточное (реликтовое) – твердая фаза, представляющая вещество, существовавшее еще до роста кристалла.

2. Сингенетичные – включения, возникшие с ростом кристаллов.

3. Эпигеничные – возникшие, после образования кристаллов.

Наибольший интерес для кристаллографии вызывают остаточные и сингенетичные включения.

Методы исследования включений в кристаллах

И.П. Ермаков и Ю.А. Долгов внесли большой вклад в изучение включений, и на сегодняшний день существуют два главных метода изучения включений в кристаллах:

1. Метод гомогенизации – группа методов, основанная на принципе превращения включений в однородное состояние; как правило, это достигается нагреванием. Например, пузырьки в кристалле представлены жидкостью, а при нагревании до определенной температуры становятся однородными, т.е. жидкость становится газом. Главным образом, этот метод работает на прозрачных кристаллах.

2. Метод декрипитации – путем изменения температуры и давления кристалл и его включения выводят из состояния равновесия и доводят включения до взрыва.

В результате получают данные о температуре и давлении образования кристалла с заключенными в нем газами, жидкостями или твердой фазы в виде включения.

Лекция 1.11 Основы кристаллографии и кристаллохимии

Введение

Кристаллохимия – наука, изучающая зависимость внутренней структуры и физических свойств кристаллов от химического состава. Кристаллохимия – наука о кристаллических структурах, базирующаяся главным образом на данных рентгеноструктурного анализа, а также нейтронографии и электронографии. Рентгеноструктурные исследования позволяют судить о мотиве расположения частиц в кристаллической структуре, с большой точностью измерять расстояния между атомами, ионами и молекулами. С помощью этих методов можно идентифицировать вещества, различать кристаллические и аморфные тела, определять размеры малых кристаллов, соединенных в агрегаты, ориентировать монокристаллы, исследовать деформации и напряжения кристаллов, изучать фазовые превращения, а также строение частично упорядоченных образований.

Физические свойства зависят не только от геометрии кристаллической структуры, но и от сил химического взаимодействия. Исследование природы связей в кристаллах развивались параллельно с изучением характера сил, действующих в газах и жидкостях между частицами (межмолекулярные силы) и в пределах молекул (внутримолекулярные силы). Исходя из кристаллохимических данных, можно рассчитать некоторые физические величины кристаллов (например, показатель преломления света, термическое расширение, сопротивление разрыву). Далеко не всегда экспериментальные данные находятся в согласии с теоретическими расчетами. Это связано с наличием дефектов в кристаллических структурах. Знание размеров частиц, из которых состоит кристаллическое тело, даже в некоторых случаях и без проведения эксперимента, при известном химическом составе позволяет предположить тип структуры.

Кристаллохимия – одна из тех пограничных наук, которые возникли в начале нашего века на пересечениях больших областей классического естествознания. Она связала между собой кристаллографию, науку по существу физическую, и химию. Как и другие пограничные науки (биохимия , геохимия , биофизика и т. п.), она обязана своим рождением той научной революции, которая последовала за открытиями строения атома, дифракции рентгеновских лучей кристаллами и созданием квантовой механики.

Кристаллохимия завершает исторический ряд естественнонаучных дисциплин: минералогия– кристаллография– химическая кристаллография – кристаллохимия.

Группы симметрии и структурные классы

Представления о симметрии очень важны как в связи с теоретическим, так и экспериментальным изучением строения атомов и молекул. Основные принципы симметрии применяются в квантовой механике, спектроскопии и для определения структуры при помощи дифракции нейтронов, электронов и рентгеновских лучей. Природа дает множество примеров симметрии, и это особенно очевидно, когда молекулы исследуются в равновесных конфигурациях. Для равновесной конфигурации атомы считаются фиксированными в их средних положениях. Когда существует симметрия, некоторые расчеты упрощаются, если ее принимать во внимание. Симметрией определяется также, может ли молекула быть оптически активной или иметь дипольный момент. Отдельные молекулы в отличие от кристаллических твердых тел не ограничены симметрией, которой они могут обладать.

Существует много способов описания симметрии системы. Химики обычно имеют дело с молекулами и при выяснении их симметрии прежде всего выбирают отправную точку в молекуле, затем рассматривают симметрию линий и плоскостей относительно этой точки (точечная симметрия). Точечную симметрию можно использовать и для описания симметрии кристаллов, но для них большое значение имеют также элементы симметрии бесконечных фигур (трансляционная симметрия). Точечная симметрия не должна нарушать требований трансляционной симметрии. Признание симметрии, присущей какому-либо объекту, есть следствие нашего повседневного опыта. Для описания симметрии молекул используются пять типов элементов симметрии: центр симметрии, ось собственного вращения, зеркальная плоскость, ось несобственного вращения и тождественный элемент. Каждый из этих элементов имеет связанную с ним операцию симметрии. Элементы имеют свои обозначения. Наряду с международной символикой в литературе по строению вещества, квантовой химии, спектроскопии широко используется символика Шенфлиса. В течение долгого времени для обозначения симметрии кристаллов использовалась формула симметрии (табл.1). После применения операции симметрии к молекуле ее положение может измениться. Но если это не так, то принято говорить, что молекула обладает операцией симметрии и соответствующим элементом симметрии. Набор элементов симметрии не может быть произвольным. Он подчиняется ряду теорем, знание которых существенно облегчает анализ симметрии фигуры.

Таблица 1

Пример плоскостей симметричности

Пример осей симметричности

https://pandia.ru/text/80/247/images/image005_8.jpg" width="321" height="197 id=">

Пространственная кристаллическая решетка

Таблица 2

Сингонии и типы решеток

Обозначения: Р – примитивная; А, В, С – базоцентрированные; I – объёмноцентрированная, F – гранецентрированная решётки; R – ромбоэдрическая решётка в гексагональной системе координат (дважды центрированная гексагональная). Четыре типа решёток Бравэ существуют только в ромбической сингонии, так как центрирование в других системах не всегда приводит к появлению нового типа решёток. Например, центрирование верхней и нижней граней тетрагональной Р-ячейки приводит к появлению новой Р - решётки с другой величиной отношения ребер а/с. если же в этой решетке занять центры всех граней, то получим объёмноцентрированную тетрагональную I-ячейку. В моноклинных решётках типа F или I можно несколько иным способом выбрать элементарную ячейку, что позволяет рассматривать их как решётки типа С. Центрирование элементарной ячейки в триклинных решётках не изменяет существа дела, так как тогда можно выбрать меньшую примитивную элементарную ячейку. Для описания решётки один из её узлов выбирается за начало координат. Все узлы решётки нумеруются по порядку вдоль координатных осей. Каждый узел характеризуется, следовательно, набором трех целых чисел ·mnp·, называемых индексами узла. Если заменить шесть скалярных параметров решётки тремя векторами: → → → c b a, то любую трансляцию можно записать с помощью вектора, проведённого из начала координат в соответствующий узел ·mnp· .

shortcodes">

Материалы
электронной техники
Лекция 2
к.т.н., доц. Марончук И.И.

Основы кристаллографии

ВВЕДЕНИЕ
Большинство современных конструкционных материалов, в том числе
и композиционных - это кристаллические вещества. Кристалл
представляет собой совокупность правильно расположенных атомов,
образующих закономерную структуру, возникшую самопроизвольно из
окружающей его неупорядоченной среды.
Причиной, вызывающей симметричное расположение атомов является
стремление кристалла к минимуму свободной энергии.
Кристаллизация (возникновение порядка из хаоса, то есть из раствора,
пара) происходит с такой же неизбежностью, как, например, процесс
падения тел. В свою очередь минимум свободной энергии достигается
при наименьшей доле поверхностных атомов в структуре, поэтому
внешним проявлением правильного внутреннего атомного строения
кристаллических тел является огранение кристаллов.
В 1669 г. датский ученый Н. Стенон обнаружил закон постоянства углов:
углы между соответствующими гранями кристалла постоянны и
характерны для данного вещества. Любое твердое тело состоит из
взаимодействующих частиц. Этими частицами, в зависимости от
природы вещества, могут быть отдельные атомы, группы атомов,
молекулы, ионы и т.п. Соответственно связь между ними бывает:
атомная (ковалентная), молекулярная (связь Ван – дер – Вальса), ионная
(полярная) и металлическая.

В современной кристаллографии можно выделить четыре
направления, которые в известной мере связаны одно с
другим:
- геометрическую кристаллографию, изучающую различные
формы кристаллов и законы их симметрии;
- структурную кристаллографию и кристаллохимию,
которые изучают пространственное расположение атомов в
кристаллах и зависимость его от химического состава и
условий образования кристаллов;
- кристаллофизику, изучающую влияние внутреннего
строения кристаллов на их физические свойства;
- физико-химическую кристаллографию, которая изучает
вопросы образования искусственных кристаллов.

АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТОК
Понятие о пространственной решетке и элементарной
ячейке
При изучении вопроса кристаллического строения тел
прежде всего необходимо иметь четкое представление о
терминах: «пространственная решетка» и «элементарная
ячейка». Эти понятия используются не только в
кристаллографии, но и в целом ряде смежных наук для
описания того, как расположены в пространстве
материальные частицы в кристаллических телах.
Как известно, в кристаллических телах, в отличие oт
аморфных, материальные частицы (атомы, молекулы,
ионы) располагаются в определенном порядке, на
определенном расстоянии друг от друга.

Пространственная решетка - это схема, которая показывает
расположение материальных частиц в пространстве.
Пространственная решетка (рис.) фактически состоит из
множества
одинаковых
параллелепипедов,
которые
целиком, без промежутков, заполняют пространство.
Материальные частицы обычно располагаются в узлах
решетки - точках пересечения ее ребер.
Пространственная решетка

Элементарная ячейка - это
наименьший
параллелепипед, с
помощью которого можно
построить всю
пространственную решетку
путем непрерывных
параллельных переносов
(трансляций) в трех
направлениях пространства.
Вид элементарной ячейки
представлен на рис.
Три вектора a, b, c являющиеся ребрами элементарной ячейки,
называют векторами трансляции. Их абсолютная величина (a,
b, c) - это периоды решетки, или осевые единицы. Вводят в
рассмотрение и углы между векторами трансляций - α (между
векторами b, c), β (между a, c) и γ (между a, b). Таким
образом, элементарную ячейку определяют шесть величин: три
значения периодов (а, в, c) и три значения углов между ними
(α, β, γ).

Правила выбора элементарной ячейки
При изучении представлений об элементарной ячейке следует
обратить внимание на то, что величину и направление
трансляций в пространственной решетке можно выбрать поразному, поэтому форма и размеры элементарной ячейки
будут различны.
На рис. рассмотрен двумерный случай. Показана плоская
сетка решетки и разные способы выбора плоской
элементарной ячейки.
Способы выбора
элементарной ячейки

В середине XIX в. французский кристаллограф О. Браве
предложил следующие условия выбора элементарной
ячейки:
1) симметрия элементарной ячейки должна соответствовать
симметрии пространственной решетки;
2) число равных ребер и равных углов между ребрами
должно быть максимальным;
3) при наличии прямых углов между ребрами их число
должно быть максимальным;
4) при соблюдении этих трех условий объем
элементарной ячейки должен быть минимальным.
На основании этих правил Браве доказал, что существует
только 14 типов элементарных ячеек, которые получили
название трансляционных, поскольку строятся они путем
трансляции - переноса. Эти решетки отличаются друг от
друга величиной и направлением трансляций, а отсюда
вытекает различие в форме элементарной ячейки и в числе
узлов с материальными частицами.

Примитивные и сложные элементарные ячейки
По числу узлов с материальными частицами элементарные
ячейки подразделяется на примитивные и сложные. В
примитивных ячейках Браве материальные частицы находятся
только в вершинах, в сложных - в вершинах и дополнительно
внутри или на поверхности ячейки.
К числу сложных ячеек относятся объемноцентрированная I ,
гранецентрированная F и базоцентрированная С. На рис.
показаны элементарные ячейки Браве.
Элементарные ячейки Браве: а – примитивная, б –
базоцентрированная, в – объемноцентрированная, г –
гранецентрированная

В объемноцентрированной ячейке имеется дополнительный узел в
центре ячейки, принадлежащий только данной ячейке, поэтому
здесь имеется два узла (1/8х8+1 = 2).
В гранецентрированной ячейке узлы с материальными частицами
находятся, кроме вершин ячейки, еще в центрах всех шести граней.
Такие узлы принадлежат одновременно двум ячейкам: данной и
другой, смежной с ней. На долю данной ячейки каждый из таких
узлов принадлежит 1/2 часть. Поэтому в гранецентрированной
ячейке будет четыре узла (1/8х8+1/2х6 = 4).
Аналогично в базоцентрированной ячейке находятся 2 узла
(1/8х8+1/2х2 = 2) с материальными частицами. Основные сведения
об элементарных ячейках Браве приведены ниже в табл. 1.1.
Примитивная ячейка Браве содержит трансляции a,b,c только
вдоль координатных осей. В объемноцентрированной ячейке
добавляется еще трансляция вдоль пространственной диагонали -
к узлу, расположенному в центре ячейки. В гранецентрированной,
кроме осевых трансляций a,b,c имеются дополнительная
трансляция вдоль диагоналей граней, а в базоцентрированной -
вдоль диагонали грани, перпендикулярной оси Z.

Таблица 1.1
Основные сведения о примитивных и сложных ячейках Браве
Базис
Тип решетки Браве
Число Основные
узлов трансляции
Примитивная Р
1
a,b,c
Объемноцентрированн 2
ая I
a,b,c,(a+b+c)/2
[]
Гранецентрированная
F
a,b,c,(a+b)/2,(a+c)/2,
(b+c)/2
[]
a,b,c,(a+b)/2
[]
4
Базоцентрированная С 2
Под базисом понимают совокупность координат
минимального числа узлов, выраженную в осевых
единицах, трансляцией которых можно получить всю
пространственную решетку. Базис записывается в сдвоенных
квадратных скобках. Координаты базиса для различных
типов ячеек Браве приведены в табл.1.1.

Элементарные ячейки Браве
В зависимости от формы все ячейки Браве распределяются между
семью кристаллическими системами (сингониями). Слово
«сингонИя» означает сходноугольность (от греч. σύν - «согласно,
вместе, рядом», и γωνία - «угол»). Каждой сингонии соответствуют
определенные элементы симметрии. В табл. указаны соотношения
между периодами решетки а, в, с и осевыми углами α, β, γ для
каждой сингонии
Сингонии
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тетрагональная
Гексагональная
Соотношения между
периодами решетки и углами
а ≠ в ≠ с, α ≠ β ≠ γ ≠ 90º
а ≠ в ≠ с, α = γ =90º ≠ β
а ≠ в ≠ с, α = β = γ =90º
а = в ≠ с, α = β = γ =90º
а = в ≠ с, α = β =90º, γ =120º
Ромбоэдрическая
Кубическая
а =в = с,
а = в = с,
α = β =γ ≠ 90º
α = β = γ = 90º

На рис. представлены все
четырнадцать типов
элементарных ячеек Браве,
распределенные по сингониям.
Гексагональная ячейка Браве
представляет собой
базоцентрированную
шестигранную призму. Однако
очень часто ее изображают
иначе - в виде четырехгранной
призмы с ромбом в основании,
которая представляет одну из
трех призм, составляющих
шестигранную (на рис. она
представлена сплошными
линиями). Такое изображение
проще и удобнее, хотя связано с
нарушением принципа
соответствия симметрии
(первый принцип выбора
элементарной ячейки по Браве).

Для ромбоэдрической сингонии
элементарной ячейкой,
удовлетворяющим условиям
Браве, является примитивный
ромбоэдр R, у которого а=в=с и
α=β=γ≠ 90º. Наряду с R- ячейкой
для описания ромбоэдрических
структур пользуются и
гексагональной ячейкой,
поскольку ромбоэдрическую
ячейку всегда можно свести к
гексагональной (рис.) и
представить ее как три
примитивные гексагональные
ячейки. В связи с этим в
литературе ромбоэдрическую
сингонию иногда отдельно не
Три примитивные
рассматривают, представляя, ее
гексагональные ячейки,
как разновидность
эквивалентные ромбоэдрической
гексагональной.

Принято сингонии с одинаковыми соотношениями между
осевыми единицами объединять в одну категории. Поэтому
триклинную, моноклинную и ромбическую сингонии
объединяют в низшую категорию (а≠в≠с), тетрагональную,
гексагональную (и производную от нее ромбоэдрическую) – в
среднюю (а=в≠с), к высшей категории (а=в=с) относится
кубическая сингония.
Понятие о координационном числе
В сложных ячейках материальные частицы уложены более
плотно, чем в примитивных, более полно заполняют объем
ячейки, больше связаны друг с другом. Для характеристики
этого вводят понятие о координационном числе.
Под координационным числом данного атома понимают число
ближайших соседних атомов. Если речь идет о
координационном числе иона, то подразумевается число
ближайших к нему ионов противоположного знака. Чем больше
координационное число, тем с большим числом атомов или
ионов связан данный, тем больше места занято частицами, тем
компактнее решетка.

Пространственные решетки металлов
Наиболее распространенные среди металлов пространственные
решетки относительно просты. Они большей частью совпадают
с трансляционными решетками Браве: кубической
объемноцентрированной и гранецентрированной. В узлах этих
решеток располагаются атомы металлов. В решетке
объемноцентрированного куба (ОЦК - решетки) каждый атом
окружен восемью ближайшими соседями, и координационное
число КЧ = 8. Решетку ОЦК имеют металлы: -Fe, Li, Na, K, V,
Cr, Ta, W, Mo, Nb и др.
В решетке гранецентрированного куба (ГЦК - решетки) КЧ = 12:
любой атом, расположенный в вершине ячейки имеет
двенадцать ближайших соседей, которыми является атомы,
находящиеся в центрах граней. Решетку ГЦК имеют металлы:
Al, Ni, Cu, Pd, Ag, Ir, Pt, Pb и др.
Наряду с этими двумя, среди металлов (Be, Mg, Sc, -Ti, -Co,
Zn, Y, Zr, Re, Os, Tl, Cd и др.) встречается еще гексагональная
компактная. Эта решетка не является трансляционной решеткой
Браве, так как простыми трансляциями ее нельзя описать.

На рис. представлена элементарная ячейка гексагональной
компактной решетки. Элементарная ячейка гексагональной
компактной решетки представляет собой шестигранную
призму, однако чаще всего ее изображают в виде
четырехгранной призмы, основанием которой является ромб
(a=b) c углом γ = 120°. Атомы (рис.б) расположены в вершинах
и в центре одной из двух трехгранных призм, образующих
элементарную ячейку. Ячейке принадлежат два атома: 1/8х8 + 1
=2, ее базис [].
Отношение высоты элементарной ячейки c к расстоянию a, т.е.
c/a, равно 1,633; сами же периоды c и a для разных веществ
различны.
Гексагональная
компактная решетка:
а – шестигранная
призма, б –
четырехгранная
призма.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ
Кристаллографические индексы плоскости
В кристаллографии часто приходится описывать взаимное
расположение отдельных плоскостей кристалла, его
направлений, для чего удобно пользоваться
кристаллографическими индексами. Кристаллографические
индексы дают представление о расположении плоскости
или направления относительно системы координат. При
этом не имеет значения, прямоугольная или косоугольная
система координат, одинаковые или разные масштабные
отрезки по координатным осям. Представим себе ряд
параллельных плоскостей, проходящих через одинаковые
узлы пространственной решетки. Эти плоскости
расположены на одинаковом расстоянии друг от друга и
составляют семейство параллельных плоскостей. Они
одинаково ориентированы в пространстве и потому
характеризуются одинаковыми индексами.

Выберем из этого семейства какую-либо плоскость и
введем в рассмотрение отрезки, которые плоскость
отсекает по координатным осям (координатные оси x,
y, z обычно совмещают с ребрами элементарной
ячейки, масштаб по каждой оси равняется
соответствующей осевой единице - периоду a, или b,
или c). Величины отрезков выражают в осевых
единицах.
Кристаллографические индексы плоскости (индексы
Миллера) - это три наименьших целых числа,
которые обратно пропорциональны числу осевых
единиц, отсекаемых плоскостью на координатных
осях.
Индексы плоскости обозначаются буквами h, k, l,
записываются подряд и заключаются в круглые
скобки-(hkl).

Индексами (hkl) характеризуются все плоскости семейства
параллельных плоскостей. Этот символ означает, что
семейство параллельных плоскостей рассекает осевую
единицу вдоль оси x на h частей, вдоль оси y на k
частей и вдоль оси z на l частей.
При этом плоскость ближайшая к началу координат,
отсекает на координатных осях отрезки 1/h (по оси x),
1/k (по оси y), 1/l (по оси z).
Порядок нахождения кристаллографических индексов
плоскости.
1.Находим отрезки, отсекаемые плоскостью на
координатных осях, измеряя их в осевых единицах.
2. Берем обратные значения этих величин.
3. Приводим отношение полученных чисел к отношению
трех наименьших целых чисел.
4. Полученные три числа заключаем в круглые скобки.

Пример. Найти индексы плоскости, которая отсекает на
координатных осях следующие отрезки: 1/2; 1/4; 1/4.
Поскольку длины отрезков выражены в осевых единицах,
имеем 1/h=1/2; 1/k=1/4; 1/l=1/4.
Находим обратные значения и берем их отношение
h: k: l = 2: 4: 4.
Сократив на два, приведем отношение полученных величин
к отношению трех целых наименьших чисел: h: k: l = 1: 2:
2. Индексы плоскости записываем в круглых скобках
подряд, без запятых - (122). Они читаются порознь -
"один, два, два".
Если плоскость пересекает кристаллографическую ось в
отрицательном направлении, над соответствующим
индексом сверху ставится знак "минус". Если плоскость
параллельна какой-либо координатной оси, то в символе
плоскости индекс, соответствующий этой оси, равен нулю.
Например, символ (hko) означает, что плоскость
пересекается с осью z в бесконечности и индекс плоскости
по этой оси будет 1/∞ = 0.

Плоскости, отсекающие на каждой оси по равному числу
осевых единиц, обозначаются как (111). В кубической
сингонии их называют плоскостями октаэдра, т. к. система
этих плоскостей, равноотстоящих от начала координат,
образует восьмигранник – октаэдр рис.
Октаэдр

Плоскости, отсекающие по двум осям равное число осевых
единиц и параллельные третьей оси (например, оси z)
обозначаются (110). В кубической сингонии подобные
плоскости называют плоскостями ромбического додекаэдра,
так
как
система
плоскостей
типа
(110)
образует
двенадцатигранник (додека – двенадцать), каждая грань
которого – ромб рис.
Ромбический
додекаэдр

Плоскости, пересекающие одну ось и параллельные двум
другим (например, осям y и z), обозначают - (100) и
называют в кубической сингонии плоскостями куба, то есть
система подобных плоскостей образует куб.
При решений различных задач, связанных с построением в
элементарной ячейке плоскостей, систему координат
целесообразно выбрать так, чтобы искомая плоскость
располагалась в заданной элементарной ячейке. Например,
при построении плоскости (211) в кубической ячейке начало
координат удобно перенести из узла О в узел О’ .
Плоскость куба (211)

Иногда индексы плоскости записывают в фигурных скобках
{hkl}.Эта запись означает символ совокупности идентичных
плоскостей. Такие плоскости проходят через одинаковые узлы
в пространственной решетке, симметрично расположены в
пространстве
и
характеризуются
одинаковым
межплоскостным расстоянием.
Плоскости октаэдра в кубической сингонии принадлежат к
одной совокупности {111}, они представляют грани октаэдра и
имеют следующие индексы: {111} →(111), (111), (111), (111),
(111), (111), (111), (111).
Символы всех плоскостей совокупности находят путем
перестановки местами и изменения знаков отдельных
индексов.
Для плоскостей ромбического додекаэдра обозначение
совокупности: {110} → (110), (110), (110),
(110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011).

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ УЗЛА
Кристаллографические индексы узла - это его
координаты, взятые в долях осевых единиц и записанные в
сдвоенных квадратных скобках. При этом координата,
соответствующая оси x, обозначается в общем виде буквой
u, для оси y – v, для оси z - w. Символ узла имеет вид
[]. Символы некоторых узлов в элементарной ячейке
показаны на рис.
Некоторые узлы в
элементарной ячейке
(Иногда узел обозначают
как [])

Кристаллографические индексы направления
В кристалле, где все параллельные направления
идентичны друг другу, направление, проходящее через
начало координат, характеризует все данное семейство
параллельных направлений.
Положение
в
пространстве
направления,
проходящего через начало координат, определяется
координатами любого узла, лежащего на этом
направлении.
Координаты
любого
узла,
принадлежащего
направлению, выраженные в долях осевых единиц и
приведенные к отношению трех целых наименьших
чисел,
и
есть
кристаллографические
индексы
направления. Они обозначаются целыми числам u, v, w
и записываются слитно в квадратных скобках .

Порядок нахождения индексов направления
1. Из семейства параллельных направлений выбрать
такое, которое проходит через начало координат, или
перенести данное направление параллельно самому
себе в начало координат, или перенести начало
координат в узел, лежащий на данном направлении.
2. Найти координаты любого узла, принадлежащего
данному направлению, выразив их в осевых единицах.
3. Взять отношение координат узла и привести его к
отношению трех целых наименьших чисел.
4. Полученные три числа заключить в квадратные
скобки.
Важнейшие направления в кубической решетке и их
индексы представлены на рис.

Некоторые направления в кубической решетке

ПОНЯТИЕ О КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ И ПОЛЯРНОМ
КОМПЛЕКСЕ
Метод кристаллографических проекций основан на
одной из характерных особенностей кристаллов - законе
постоянства углов: углы между определенными гранями и
ребрами кристалла всегда постоянны.
Так, когда кристалл растет, меняются размеры граней, их
форма, но углы остаются неизменными. Поэтому в
кристалле можно перенести все ребра и грани параллельно
самим себе в одну точку пространства; угловые
соотношения при этом сохраняется.
Такая
совокупность
плоскостей
и
направлений,
параллельных плоскостям и направлениям в кристалле и
проходящая через одну точку, получила название
кристаллического комплекса, а сама точка называется
центром
комплекса.
При
построении
кристаллографических проекций кристалл всегда заменяют
кристаллическим комплексом.

Чаще рассматривают не кристаллический комплекс, а
полярный (обратный).
Полярный комплекс, получают из кристаллического
(прямого) путем замены плоскостей нормалями к ним, а
направлений - перпендикулярными к ним плоскостями.
а
б
Куб (а), его кристаллический (б) и
полярный комплекс (в)
в

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ
(СИММЕТРИЯ КОНТИНУУМА)
ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИИ
Кристаллы существуют в природе в виде кристаллических
многогранников. Кристаллы разных веществ отличаются друг
от друга по своим формам. Каменная соль - это кубики;
горный хрусталь - шестигранные призмы, заостренные на
концах; алмаз - чаще всего правильные восьмигранники
(октаэдры); кристаллы граната - двенадцатигранники (рис.).
Такие кристаллы обладают симметрией.

Характерной
особенностью
кристаллов
является
анизотропия их свойств: в различных направлениях они
разные, но в параллельных направлениях одинаковы, а
также одинаковы и в симметричных направлениях.
Не всегда кристаллы имеют форму правильных
многогранников.
В реальных условиях роста, при
затруднении в свободном росте симметричные грани могут
развиваться неравномерно и правильная внешняя форма
может не получиться, однако правильное внутреннее
строение при этом полностью сохраняется, а также
сохраняется симметрия физических свойств.
Греческое слово "симметрия" означает соразмерность.
Симметричная фигура состоит из равных, одинаковых
частей. Под симметрией понимают свойство тел или
геометрических фигур совмещать отдельные части друг с
другом при некоторых симметрических преобразованиях.
Геометрические образы, с помощью которых задаются и
осуществляются симметрические преобразования, называют
элементами симметрии.

Рассматривая симметрию внешней огранки кристалла,
кристаллическую
среду
представляют
себе
как
непрерывную, сплошную, так называемый континуум (в
переводе с латинского на русский - означает непрерывный,
сплошной). Все точки такой среде совершенно одинаковы.
Элементы симметрии континуума описывают внешнюю
форму кристаллического многогранника, поэтому их еще
называют макроскопическими элементами симметрии.
Фактически
же
кристаллическая
среда
является
дискретной. Кристаллы состоят из отдельных частиц
(атомов, ионов, молекул), которые расположены в
пространстве
в
виде
бесконечно
простирающихся
пространственных решеток. Симметрия в расположении
этих частиц сложнее и богаче, чем симметрия внешних
форм кристаллических многогранников. Поэтому наряду с
континуумом
рассматривается
и
дисконтинуум
-
дискретная, реальная структура материальных частиц со
своими элементами симметрии, получившими название
микроскопических элементов симметрии.

Элементы симметрии
В
кристаллических
многогранниках
встречаются
простые
элементы
симметрии
(центр
симметрии,
плоскость симметрии, поворотная ось) и сложный элемент
симметрии (инверсионная ось).
Центр симметрии (или центр инверсии) - особая точка
внутри фигуры, при отражении в которой любая точка
фигуры имеет эквивалентную себе, то есть обе точки
(например, пара вершин) расположены на одной прямой,
проходящей через центр симметрии, и равноудалены от
него. При наличии центра симметрии каждая грань
пространственной
фигуры
имеет
параллельную
и
противоположно направленную грань, каждому ребру
соответствует равноудаленное, равное, параллельное, но
противоположно направленное ребро. Поэтому центр
симметрии представляет собой как бы зеркальную точку.

Плоскость симметрии - это такая плоскость, которая
делит фигуру на две части, расположенные друг
относительно друга как предмет и его зеркальное отражение,
то есть на две зеркально равные части Обозначения
плоскости симметрии – Р (старое) и m (международное).
Графически плоскость симметрии обозначается сплошной
линией. У фигуры может быть одна или несколько
плоскостей симметрии, и все они пересекаются друг с
другом. В кубе имеется девять плоскостей симметрии.

Поворотная ось - это такая прямая, при повороте вокруг
которой на некоторый определенный угол фигура
совмещается сама с собой. Величина угла поворота
определяет порядок поворотной оси n, который
показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой
при полном обороте вокруг этой оси (на 360°):
В изолированных геометрических фигурах возможны
оси симметрии любых порядков, но в кристаллических
многогранниках порядок оси ограничен, он может иметь
только следующие значения: n= 1, 2, 3, 4, 6. В
кристаллических
многогранниках
невозможны
оси
симметрии пятого и выше шестого порядков. Это вытекает
из принципа непрерывности кристаллической среды.
Обозначения осей симметрии: старые - Ln (L1, L2, L3, L4, L6)
и
международные
арабскими
цифрами,
соответствующими порядку поворотной оси (1, 2, 3, 4, 6).

Графически
поворотные
многоугольниками:
оси
изображаются

Понятие о классе симметрии
Каждый кристаллический многогранник обладает набором
элементов симметрии. Сочетаясь друг с другом, элементы
симметрии кристалла обязательно пересекаются, и при этом
возможно появление новых элементов симметрии.
В кристаллографии доказываются следующие теоремы
сложения элементов симметрии:
1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии есть ось
симметрии, для которой угол поворота вдвое больше угла
между плоскостями.
2. Через точку пересечения двух осей симметрии проходит
третья ось симметрии.
3. В
точке
пересечения
плоскости
симметрии
с
перпендикулярной к ней осью симметрии четного порядка
возникает центр симметрии.
4. Число осей второго порядка, перпендикулярных главной
оси симметрии высшего порядка (третьего, четвертого,
шестого), равно порядку главной оси.

5. Число плоскостей симметрии, пересекающихся по
главной оси высшего порядка, равно порядку этой оси.
Число сочетаний элементов симметрии друг с другом
в кристаллах строго ограничено. Все возможные
сочетания элементов симметрии в кристаллах выводятся
строго математически, принимая во внимание теоремы
сложения элементов симметрии.
Полный набор элементов симметрии, присущих
данному кристаллу, называется его классом симметрии.
Строгий математический вывод показывает, что все
возможные
для
кристаллических
многогранников
сочетания
элементов
симметрии
исчерпываются
тридцатью двумя классами симметрии.

Связь между пространственной решеткой и элементами
симметрии
Наличие тех или иных элементов симметрии определяет
геометрию
пространственной
решетки,
накладывая
определенные
условия
на
взаимное
расположение
координатных осей и равенство осевых единиц.
Существуют общие правила выбора координатных осей,
учитывающие набор элементов симметрии кристалла.
1. Координатные оси совмещают с особыми или единичными
направлениями,
неповторяющимися
в
кристалле
поворотными или инверсионными осями, для которых
порядок оси больше единицы, и нормалями к плоскости
симметрии.
2. Если в кристалле только одно особое направление, с ним
совмещают одну из координатных осей, обычно ось Z. Две
другие оси располагают в плоскости, перпендикулярной
особому направлению параллельно ребрам кристалла.
3. При отсутствии особых направлений координатные оси
выбирают параллельно трем не лежащим в одной плоскости
ребрам кристалла.

Исходя из этих правил, можно получить все семь
кристаллических систем, или сингоний. Они отличаются
друг от друга соотношением масштабных единиц а, b, c и
осевыми углами, . Три возможности: а b c, а=b c, а=b=c
позволяют
распределить
все
кристаллографические
координатные системы (сингонии) по трем категориям низшей, средней и высшей.
Каждая категория характеризуется наличием определенных
элементов симметрии. Так, у кристаллов низшей категории
нет осей высшего порядка, то есть осей 3, 4 и 6, а могут быть
оси второго порядка, плоскости и центр симметрии.
У кристаллов средней категории имеется ось высшего
порядка, а также могут быть оси второго порядка, плоскости
симметрии, центр симметрии.
Самые симметричные кристаллы относятся к высшей
категории. У них имеется несколько осей высшего порядка
(третьего и четвертого), могут быть оси второго порядка,
плоскости и центр симметрии. Однако отсутствуют оси
шестого порядка.

Понятие о симметрии дисконтинуума и пространственной
группе
Наличие
32
классов
симметрии
кристаллических
многогранников показывает, что все многообразие внешних
форм кристалла подчиняется законам симметрии.
Симметрия внутренней структуру кристаллов, расположения
частиц (атомов, ионов, молекул) внутри кристаллов должна
быть сложнее, поскольку внешняя форма кристаллов
ограничена, а кристаллическая решетка простирается
бесконечно во все стороны пространства.
Законы расположения частиц в кристаллах были
установлены великим русским кристаллографом Е. С.
Федоровым в 1891 г. Им было найдено 230 способов
расположения частиц в пространственной решетке - 230
пространственных групп симметрии.

Элементы симметрии пространственных решеток
Помимо описанных выше элементов симметрии (центр
симметрии,
плоскость
симметрии,
поворотные
и
инверсионные оси), в дискретной среде возможны и другие
элементы
симметрии,
связанные
с
бесконечностью
пространственной решетки и периодической повторяемостью
в расположении частиц.
Рассмотрим новые виды симметрии, присущие только
дисконтинууму. Их три: трансляция, плоскость скользящего
отражения и винтовая ось.
Трансляция - это перенос всех частиц по параллельным
направлениям в одну и ту же сторону на одинаковую
величину.
Трансляция является простым элементом симметрии,
присущим каждой пространственной решетке.

Комбинация трансляции с плоскостью симметрии
приводит к появлению плоскости скользящего отражения,
сочетание трансляции с поворотной осью создает
винтовую ось.
Плоскость скользящего отражения, или плоскость
скольжения - это такая плоскость, при отражении в
которой как в зеркале с последующей трансляцией вдоль
направления, лежащего в данной плоскости, на величину,
равную половине периода идентичности для данного
направления, совмещаются все точки тела. Под периодом
идентичности, как и ранее, будем понимать расстояние
между точками вдоль какого-то направления (например,
периоды а, b, с в элементарной ячейке - это периоды
идентичности вдоль координатных осей X, Y, Z).

Винтовая ось - это прямая, поворот вокруг которой на
некоторый
угол,
соответствующий
порядку
оси,
с
последующей трансляцией вдоль оси на величину, кратную
периоду идентичности t, совмещает точки тела.
Обозначение винтовой оси в общем виде nS ,где n
характеризует порядок поворотной оси (n=1, 2, 3, 4, 6), а
St/n- величину трансляции вдоль оси. При этом S S=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Итак, для винтовой оси второго порядка
трансляция составляет t/2, для винтовой оси третьего
порядка наименьший перенос t/3.
Обозначение винтовой оси второго порядка будет 21.
Совмещение частиц произойдет после поворота вокруг оси
на 180° с последующей трансляцией вдоль направления,
параллельного оси, на t/2.
Обозначение винтовой оси третьего порядка будет 31.
Однако возможны оси с переносом, кратным наименьшему.
Поэтому возможна винтовая ось 32 с трансляцией 2t/3.

Оси 31 и 32 означают поворот вокруг оси на 120° по
часовой стрелке с последующим переносом. Эти винтовые
оси называются правыми. Если же поворот производить
против часовой стрелки, то центровые оси симметрии
называются левыми. При этом действие оси 31 правой
тождественно действию оси 32 левой и 32 правой - 31
левой.
Так же могут рассматриваться винтовые оси симметрии
четвертого и шестого порядков: оси 41 и 43 оси 61 и 65, 62
и 64. могут быть правам и левыми. Действие осей 21, 42 и
63 не зависит от выбора направления вращения вокруг оси.
Поэтому
они
являются
нейтральными.
Условные
обозначения винтовых осей симметрии:

Обозначение пространственной группы симметрии
Символ пространственной группы содержит полную
информацию о симметрии кристаллической структуры. На
первом месте в символе пространственной группы ставится
буква, характеризующая тип решетки Браве: Р примитивная,
С
базоцентрированная,
I
обьемноцентрированная, F - гранецентрированная. В
ромбоэдрической сингонии на первом месте ставят букву R.
Далее следуют одно, два или три числа или буквы,
указывающие
элементы
симметрии
в
главных
направлениях, аналогично тому, как это делается при
составлении обозначения класса симметрии.
Если в структуре в каком-нибудь из главных направлений
одновременно располагаются и плоскости симметрии и
оси симметрии, предпочтение отдается плоскостям
симметрии, и в символ пространственной группы
записываются плоскости симметрии.

При наличии нескольких осей предпочтение отдается
простым осям - поворотным и инверсионным, поскольку их
симметрия является более высокой, чем симметрия
винтовых осей.
Имея символ пространственной группы, легко можно
определить тип решетки Браве, сингонию ячейки, элементы
симметрии в главных направлениях. Так, пространственная
группа P42/mnm (Федоровские группы дитетрагональнодипирамидального
вида
симметрии,
135
группа)
характеризует примитивную ячейку Браве в тетрагональной
сингонии (винтовая ось четвертого порядка 42 определяет
тетрагональную сингонию).
В главных направлениях расположены следующие
элементы симметрии. С направлением - оси Z
совпадает винтовая ось 42 ,которая перпендикулярна
симметрии m. В направлениях и (оси Х и Y)
расположена плоскость скользящего отражения типа n, в
направлении проходит плоскость симметрии m.

Дефекты в строении кристаллических тел
Дефекты тел делят на динамические
(временные) и статические (постоянные).
1. Динамические дефекты возникают при
механических, тепловых, электромагнитных
воздействиях на кристалл.
К ним относятся фононы – временные искажения
регулярности решетки, вызванные тепловым
движением атомов.
2. Статические дефекты
Различают точечные и протяженные несовершенства
структуры тел.

Точечные дефекты: незанятые узлы решетки
(вакансии); смещения атома из узла в междоузлие;
внедрения в решетку чужеродного атома или иона.
Протяженные дефекты: дислокации (краевая и
винтовая), поры, трещины, границы зерен,
микровключения другой фазы. Часть дефектов показана
на рисунке.

Основные свойства
материалов

К основным свойствам относятся: механические, тепловые,
электрические, магнитные и технологические, а также их
сопротивление коррозии.
Механические свойства материалов характеризуют возможность их
использования в изделиях, эксплуатируемых при воздействии
механи-ческих нагрузок. Основными показателями таких свойств
служат параметры прочности и твердость. Они зависят не только от
природы мате-риалов, но и от формы, размеров и состояния
поверхности образцов, а также режимов испытаний, прежде всего,
от скорости нагружения, температуры, воздействия сред и других
факторов.
Прочность – свойство материалов сопротивляться разрушению, а
также необратимому изменению формы образца под действием
внешних нагрузок.
Предел прочности – напряжение, соответствующее максимальному
(в момент разрушения образца) значению нагрузки. Отношение
наибольшей силы, действующей на образец, к исходной площади
его поперечного сечения называют разрушающим напряжением и
обозначают σв.

Деформирование – изменение относительного расположения частиц в
материале. Наиболее простые его виды – растяжение, сжатие, изгиб,
кручение, сдвиг. Деформация – изменение формы и размеров образца в
результате деформирования.
Параметры деформирования – относительное удлинение ε = (l– l0)/l0 (где
l0 и l – длина образца исходная и после деформирования), угол сдвига –
изменение прямого угла между лучами, исходящими из одной точки в
образце, при его деформировании. Деформацию называют упругой, если
она исчезает после снятия нагрузки, или пластической, если она не
исчезает (необратима). Пластическими свойствами материалов при
малых деформациях часто пренебрегают.
Предел упругости – напряжение, при котором остаточные деформации (т.
е. деформации, обнаруживаемые при разгрузке образца) достигают
значения, установленного техническими условиями. Обычно допуск на
остаточную деформацию составляет 10–3 ÷10–2 %. Предел упругости σу
ограничивает область упругих деформаций материала.
Понятие о модуле как о характеристике упругости материалов возникло
при рассмотрении идеально упругих тел, деформация которых линейно
зависит от напряжения. При простом растяжении (сжатии)
σ = Еε
где Е – модуль Юнга, или модуль продольной упругости, который
характеризует сопротивление материалов упругой деформации (растяжению, сжатию); ε − относительная деформация.

При сдвиге в материале по направлению сдвига и по нормали к нему
действуют только касательные напряжения
где G – модуль сдвига, характеризующий упругость материала при
изменении формы образца, объем которого остается постоянным; γ − угол
сдвига.
При всестороннем сжатии в материале по всем направлениям действует
нормальное напряжение
где К − модуль объемной упругости, который характеризует
сопротивление материала изменению объема образца, не
сопровождающемуся изменением его формы; ∆ – относительное
объемное сжатие.
Постоянной величиной, характеризующей упругость материалов при
одноосном растяжении, является коэффициент Пуассона:
где ε′ – относительное поперечное сжатие; ε – относительное
продольное удлинение образца.

Твердость является механической характеристикой материалов,
комплексно отражающей их прочность, пластичность, а также
свойства поверхностного слоя образцов. Она выражается
сопротивлением материала местному пластическому
деформированию, возникающему при внедрении в образец более
твердого тела – индентора. Вдавливание индентора в образец с
последующим измерением размеров отпечатка является основным
технологическим приемом при оценке твердости материалов. В
зависимости от особенностей приложения нагрузки, конструкции
инденторов и определения чисел твердости различают методы
Бринелля, Роквелла, Виккерса, Шора. При измерении
микротвердости по ГОСТ 9450–76 на поверхности образца
остаются отпечатки незначительной глубины, поэтому такой
метод используют, когда образцы выполнены в виде фольги,
пленок, покрытий малой толщины. Метод определения
пластической твердости заключается во вдавливании в образец
сферического наконечника путем последовательного приложения
различных нагрузок.

Коррозия – физико-химический процесс изменения свойств, повреждения
структуры и разрушения материалов вследствие перехода их компонентов в
химические соединения с компонентами окружающей среды. Под
коррозионным повреждением понимают любой дефект структуры
материала, возникший в результате коррозии. Если механические
воздействия ускоряют коррозию материалов, а коррозия облегчает их
механическое разрушение, имеет место коррозионно-механическое
повреждение материалов. Потери материалов из-за коррозии и затраты на
защиту от нее машин и оборудования непрерывно увеличиваются
вследствие активизации производственной деятельности человека и
загрязнения окружающей среды отходами производства.
Наиболее часто сопротивление материалов коррозии характеризуют с
помощью параметра коррозионной стойкости – величины, обратной
технической скорости коррозии материала в данной коррозионной системе.
Условность этой характеристики заключается в том, что она относится не к
материалу, а к коррозионной системе. Коррозионную стойкость материала
нельзя изменить, не изменив других параметров коррозионной системы.
Противокоррозионная защита – это модифицирование коррозионной
системы, ведущее к снижению скорости коррозии материала.

Температурные характеристики.
Жаростойкость – свойство материалов сохранять или незначительно
изменять механические параметры при высоких температурах. Свойство
металлов противостоять коррозионному воздействию газов при высоких
температурах называют жароупорностью. В качестве характеристики
жаростойкости легкоплавких материалов используют температуру
размягчения.
Жаропрочность – свойство материалов длительное время сопротивляться
деформированию и разрушению при высоких температурах. Это
важнейшая характеристика материалов, эксплуатируемых при
температурах Т > 0,3 Тпл. Такие условия имеют место в двигателях
внутреннего сгорания, паросиловых установках, газовых турбинах,
металлургических печах и др.
При низких температурах (в технике – от 0 до –269 °С) увеличивается
статическая и циклическая прочность материалов, снижаются их
пластичность и вязкость, повышается склонность к хрупкому разрушению.
Хладноломкость – возрастание хрупкости материалов при понижении
температуры. Склонность материала к хрупкому разрушению определяют
по результатам ударных испытаний образцов с надрезом при понижении
температуры.

Тепловое расширение материалов регистрируют по изменению размеров
и формы образцов при изменении температуры. У газов оно обусловлено
увеличением кинетической энергии частиц при нагревании, у жидкостей
и твердых материалов связано с несимметричностью тепловых
колебаний атомов, благодаря чему межатомные расстояния с ростом
температуры увеличиваются.
Количественно тепловое расширение материалов характеризуют
температурным коэффициентом объемного расширения:
а твердых материалов – и температурным коэффициентом линейного
расширения (ТКЛР):
– изменения линейного размера, объема образцов и
температуры (соответственно).
Индекс ξ служит для обозначения условий теплового расширения (обычно –
при постоянном давлении).
Экспериментально αV и αl определяют методами дилатометрии, изучающей
зависимость изменения размеров тел при воздействии внешних факторов.
Специальные измерительные приборы – дилатометры – различаются
устройством датчиков и чувствительностью систем регистрации размеров
образцов.

Теплоемкость – отношение количества теплоты, полученной телом при
бесконечно малом изменении его состояния в каком-либо процессе, к
вызванному последним приращению температуры:
По признакам термодинамического процесса, в котором определяют
теплоемкость материала, различают теплоемкость при постоянном объеме
и при постоянном давлении. В процессе нагревания при постоянном
давлении (изобарный процесс) часть теплоты расходуется на расширение
образца, а часть – на увеличение внутренней энергии материала. Теплота,
сообщенная тому же образцу при постоянном объеме (изохорный процесс),
расходуется только на увеличение внутренней энергии материала.
Удельная теплоемкость, Дж/(кг·К)], – отношение теплоемкости к массе
тела. Различают удельную теплоемкость при постоянном давлении (ср) и
при постоянном объеме (сv). Отношение теплоемкости к количеству
вещества называют молярной теплоемкостью (сm), Дж/(моль⋅К). Для всех
веществ ср > сv, для разреженных (близких к идеальным) газов сmp – сmv =
R (где R = 8,314 Дж/(моль⋅К) – универсальная газовая постоянная).

Теплопроводность – перенос энергии от более нагретых участков тела к
менее нагретым в результате теплового движения и взаимодействия
микрочастиц. Эта величина характеризует самопроизвольное
выравнивание температуры твердых тел.
Для изотропных материалов справедлив закон Фурье, согласно которому
вектор плотности теплового потока q пропорционален и противоположен
по направлению градиенту температуры Т:
где λ – коэффициент теплопроводности [Вт/(м·К)], зависящий от
агрегатного состояния, атомно-молекулярного строения, структуры,
температуры и других параметров материала.
Коэффициент температуропроводности (м2/с) является мерой
теплоизоляционных свойств материала:
где ρ – плотность; ср – удельная теплоемкость материала при
постоянном давлении.

Технологические свойства материалов характеризуют податливость
материалов технологическим воздействиям при переработке в изделия. Знание
этих свойств позволяет обоснованно и рационально проектировать и
осуществлять технологические процессы изготовления изделий. Основными
технологическими характеристиками материалов являются обрабатываемость
резанием и давлением, литейные параметры, свариваемость, склонность к
деформации и короблению при тепловой обработке и др.
Обрабатываемость резанием характеризуют следующими показателями:
качеством обработки материалов − шероховатостью обработанной поверхности
и точностью размеров образца, стойкостью инструмента, сопротивлением
резанию − скоростью и силой резания, видом стружко-образования. Значения
показателей определяют при обтачивании образцов и сравнивают с
параметрами материала, принятого за эталон.
Обрабатываемость давлением определяют в процессе технологических
испытаний материалов на пластическую деформацию. Методы оценки
обрабатываемости давлением зависят от вида материалов и технологии их
переработки. Например, технологические испытания металлов на изгиб
проводят, изгибая образцы до заданного угла. Считают, что образец выдержал
испытания, если в нем не появилось излома, расслоений, надрывов, трещин.
Листы и ленты испытывают на выдавливание с помощью специального
пресса. В образце формируют сферическую лунку, прекращая вытяжку в момент
достижения текучести материала. Результат определяют по наибольшей
глубине лунки в неразрушенных образцах.

Обрабатываемость давлением порошковых материалов характеризуют их
текучестью, уплотняемостью и формуемостью. Метод определения
текучести основан на регистрации времени истечения навески порошка в
процессе его самопроизвольного просыпания через калиброванное
отверстие воронки. От этого параметра зависит скорость заполнения
порошковыми материалами форм для обработки давлением.
Уплотняемость порошка характеризуют зависимостью объема навески
порошка от давления − диаграммой прессования. Формуемость − свойство
порошкового материала сохранять форму, полученную в процессе
прессования.
Литейные характеристики материалов − совокупность технологических
показателей, характеризующих формирование отливок путем заливки
расплавленных материалов в литейную форму. Жидкотекучесть −
свойство расплавленного материала заполнять литейную форму, зависит
от вязкости расплава, температур расплава и литейной формы, степени
смачивания расплавом стенок формы и т. д. Ее оценивают по длине
заполнения расплавом прямолинейного или спирального канала в
специальной литейной форме. Усадка литейная − уменьшение объема
расплава при переходе из жидкого состояния в твердое. Практически
усадку определяют как отношение соответствующих линейных размеров
формы и отливки в виде безразмерного коэффициента усадки,
индивидуального для каждого материала.

Свариваемость − свойство материала образовывать
сварное соединение, работоспособность которого
соответствует качеству основного материала,
подвергнутого сварке. О свариваемости судят по
результатам испытания сварных образцов и
характеристикам основного материала в зоне сварного
шва. Установлены правила определения следующих
показателей свариваемости металлов: механических
свойств сварных соединений, допускаемых режимов
дуговой сварки и наплавки, качества сварных
соединений и сварных швов, длительной прочности
сварных соединений.

Рис. 10 Кристаллы полевого шпата

Закон постоянства углов
В природных условиях кристаллы не всегда развиваются в благоприятных условиях и имеют такие идеальные формы, как показано на приводимых рисунках.
Очень часто кристаллы имеют неполностью развившиеся формы, с недоразвитыми элементами ограничения (гранями, ребрами, углами). Нередко в кристаллах одного и того же минерала величина и форма граней могут значительно меняться (рис. 9-11). Часто в почвах и горных породах встречаются не целые кристаллы, а лишь их обломки. Однако, как показали измерения, углы между соответствующими гранями (и ребрами) кристаллов различных форм одного и того же минерала всегда остаются постоянными .

В этом заключается один из основных законов кристаллографии- закон постоянства углов.
Чем же объясняется такое постоянство углов. Это явление связано с тем, что все кристаллы одного и того же имеют одинаковую структуру, т. е. тождественны по своему внутреннему строению. Закон справедлив для одинаковых физико-химических условий, в которых находятся измеряемые кристаллы, т. е. при одинаковых температурах, давлении и др. Резкое изменение углов в кристаллах может наступать при полиморфном превращении (см. гл. III).

Рис. 11. Три кристалла кварца с различным развитием соответствующих граней

Закон постоянства углов впервые упоминается рядом ученых: И. Кеплером, Э. Бартолином, X. Гюйгенсом, А. Левенгуком. Этот закон был выражен в общей форме в 1669 г. датским ученым Н. Стенопом. В 1749 г. впервые связал закон постоянства углов с внутренним строением селитры. И, наконец, в 1772 г. французским минералогом Ромэ де Лилем этот закон был сформулирован для всех кристаллов.

На рис. 10 показаны два кристалла полевого шпата различной формы. Углы между соответствующими гранями а и б двух кристаллов равны между собой (они обозначены буквой греческого алфавита а). На рис. 11 угол между гранями т и r разных по внешней форме кристаллов кварца равен 38° 13′. Из сказанного ясно, насколько велико значение измерения двугранных углов кристаллов для точной диагностики минерала.

Рис. 12. 13. Измерение гранного угла кристалла с помощью прикладного гониометра.
Принципиальная схема отражательного гониометра

Измерение гранных углов кристаллов. Гониометры

Для измерения двугранных углов кристаллов пользуются специальными приборами, называемыми гониометрами (греч. «гонос» - угол). Наиболее простым гониометром, употребляемым для приблизительных измерений, является так называемый прикладной гониометр, или гониометр Каранжо (рис. 12). Для более точных измерений используют отражательный гониометр (рис.13).

Измерение углов при помощи отражательного гониометра производится следующим образом: луч света, отражаясь от грани кристалла, улавливается глазом наблюдателя; поворачивая кристалл, фиксируют отражение луча света от второй грани на шкале круга гониометра, отсчитывают угол между двумя отблесками, а следовательно, и между двумя гранями кристалла.
Измерение двугранного угла будет верным, если грани кристалла, от которых происходит отражение луча света, параллельны оси вращения гониометра. Чтобы это условие всегда соблюдалось, измерение производят на двукружном или теодолитном гониометре, имеющем два круга вращения: кристалл может поворачиваться одновременно вокруг двух осей - горизонтальной и вертикальной.

Рис. 14. Теодолитный гониометр Е. С. Федоров

Теодолитный гониометр изобретен в конце XIX в. русским кристаллографом Федоровым и независимо от него немецким ученым В. Гольдшмидтом. Общий вид двухружного гониометра показан на рис. 14.

Кристаллохимический анализ Е. С. Федорова

Метод гониометрического определения кристаллического и в известной степени его внутреннего строения по внешним формам кристаллов позволили Федорову ввести в практику диагностики минералов кристаллохими ч е с к и й анализ.
Открытие закона постоянства углов позволило измерением гранных углов кристаллов и сравнением данных измерения с имеющимися табличными величинами устанавливать принадлежность исследуемого кристалла к определенному веществу. Федоров провел большую работу по систематизации огромного литературного материала по измерению кристаллов. Использовав его, а также собственные измерения кристаллов, Федоров написал монографию «Царство кристаллов» (1920).

Рис. 15. Схема соотношения углов в кристалле при его измерении

Ученики и последователи Федорова - советский кристаллограф А. К. Болдырев, английский ученый Т. Баркер (1881-1931) значительно упростили методы определения кристаллов. В настоящее «время кристаллохимический анализ сводится к измерению на гониометре необходимых углов и к определению вещества по справочным таблицам.
При гониометрическом измерении кристаллов непосредственному определению подлежит внутренний угол между гранями (рис. 15, ∠β). Однако в сводных таблицах с измеренными углами различных веществ всегда приводится угол, составленный нормалями к соответствующим граням (рис. 15, ∠α). Поэтому после измерения следует произвести несложные вычисления по формуле α= 180°-β (α=α1, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и по справочнику определить название минерала.

Симметрия в кристаллах

О существовании симметрии в природе мы узнаем с раннего детства. Крылья бабочки и стрекозы, лепестки и листья различных цветов и растений, снежинки и убеждают нас в том, что в природе существует симметрия.
Симметричными называются тела, состоящие из одинаковых, симметричных частей, которые могут совмещаться. Так, если бабочка сложит крылья, они у нее полностью совместятся. Плоскость, которая разделит бабочку на две части, будет плоскостью симметрии. Если на место этой плоскости поставить зеркало, в нем мы увидим симметричное отражение другого крыла бабочки. Так и плоскость симметрии обладает свойством зеркальности - по обе стороны этой плоскости мы видим симметричные, зеркально-равные половинки тела.

Рис. 16. Плоскость симметрии (Р) в кристалле каменной соли

В результате изучения кристаллических форм минералов выяснено, что и в неживой природе, в мире кристаллов, существует симметрия. В отличие от симметрии в живой природе она называется кристаллической симметрией.
Кристаллической симметрией называется правильная повторяемость элементов ограничения (ребер, граней, углов) и других свойств кристаллов по определенным направлениям.
Наиболее отчетливо симметрия кристаллов обнаруживается в их геометрической форме. Закономерное повторение геометрических форм можно заметить, если: 1) рассечь кристалл плоскостью; 2) вращать его вокруг определенной оси; 3) сопоставить расположение элементов ограничения кристалла относительно точки, лежащей внутри его.

Плоскость симметрии кристаллов

Рассечем кристалл каменной соли на две половины (рис. 16). Проведенная плоскость разделила кристалл на симметричные части. Такая плоскость называется плоскостью симметрии.

Рис. 17 Плоскости симметрии в кубе

Плоскостью симметрии кристаллического многогранника называется плоскость, по обе стороны которой располагаются одинаковые элементы ограничения и повторяются одинаковые свойства кристалла.
Плоскость симметрии обладает свойством зеркальности: каждая из частей кристалла, рассеченного плоскостью симметрии, совмещается с другой, т. е. является как бы ее зеркальным изображением. В различных кристаллах можно провести разное количество плоскостей симметрии. Например, в кубе имеется девять плоскостей симметрии (рис. 17), в гексагональной или шестигранной призме - семь плоскостей симметрии - три плоскости пройдут через противоположные ребра (рис. 18, плоскости а), три плоскости через середины противоположных граней (параллельных продольной оси многогранника -на рис. 18, плоскости b) и одна плоскость -перпендикулярно ей (рис 18 плос

Плоскость симметрии обозначается заглавной буквой латинского алфавита Р, а коэффициент, стоящий перед ней, показывает количество плоскостей симметрии в многограннике. Таким образом, для куба можно записать 9Р, т. е. девять плоскостей симметрии, а для гексагональной призмы - 7 Р.

Рис. 18. Плоскости симметрии в гексагональной призме (слева) и схема расположения осей симметрии (в плане,
справа)

Ось симметрии

В кристаллических многогранниках можно найти оси, при вращении вокруг которых кристалл будет совмещаться со своим первоначальным положением при повороте на определенный угол. Такие оси называются осями симметрии.
Ось симметрии кристаллического многогранника - это линия, при вращении вокруг которой правильно повторяются одинаковые элементы ограничения и другие свойства кристалла.
Оси симметрии обозначаются заглавной латинской буквой L. При вращении кристалла вокруг оси симметрии элементы ограничения и другие свойства кристалла будут повторяться определенное количество раз.

Если при повороте кристалла на 360° многогранник совмещается со своим исходным положением дважды, имеют дело с осью симметрии второго порядка, при четырех- и шестикратном совмещениях - соответственно с осями четвертого и шестого порядков. Оси симметрии обозначаются: L 2 - ось симметрии второго порядка; L 3 - ось симметрии третьего порядка; L 4 - ось симметрии четвертого порядка; L 6 - ось симметрии шестого порядка.

Порядком оси называется количество совмещений кристалла с первоначальным положением при повороте на 360°.

В связи с однородностью кристаллического строения и благодаря закономерностям в распределении частиц внутри кристаллов, в кристаллографии доказывается возможность существования только вышеперечисленных

осей симметрии. Ось симметрии первого порядка в расчет не принимается, так как она совпадает с любым направлением каждой фигуры. В кристаллическом многограннике может быть несколько осей симметрии различных порядков. Коэффициент, стоящий перед символом оси симметрии, показывает количество осей симметрии того или иного порядка. Так, b кубе три оси симметрии четвертого порядка 3L4 (через середины противоположных граней); четыре оси третьего порядка - 4L3 (проводятся через противоположные вершины трехгранных углов) и шесть осей второго порядка 6L2 (через середины противоположных ребер) (рис 19).

В гексагональной призме можно провести одну ось шестого порядка и 6 осей второго порядка (рис. 18 и 20). В кристаллах наряду с обычными осями симметрии, охарактеризованными ранее, выделяют так называемые инверсионные оси.
Инверсионной осью кристалла называется линия, при вращении вокруг которой на некоторый определенный угол и последующим отражением в центральной точке многогранника (как в центре симметрии) совмещаются одинаковые элементы ограничения .

Рис. 20 Оси симметрии шестого и второго порядков (L 6 6L 2) и плоскости симметрия (7Р) в гексагональной призме

Инверсионная ось обозначается символом На моделях кристаллов, где обычно приходится определять инверсионные оси, центр симметрии отсутствует. Доказана возможность существования инверсионных осей следующих порядков: первого L i1 , второго L i2 , третьего
L i3 , четвертого L i4 , шестого L i6 . Практически приходится иметь дело лишь с инверсионными осями четвертого и шестого порядков (рис.21).
Иногда инверсионные оси обозначаются цифрой, стоящей справа внизу от символа оси. Так, инверсионная ось второго порядка обозначается символом третьего - L 3 , четвертого L 4 шестого L 6 .
Инверсионная ось представляет собой как бы совокупность простой оси симметрии и центра инверсии (симметрии). На приводимой схеме (рис. 21) показаны две инверсионные оси Li и L i4 . Разберем оба случая нахождения данных осей в моделях. В тригональной призме (рис. 21,I) прямая LL - ось третьего порядка L 3 . В же время она одновременно является инверсионной осью шестого порядка. Так, при повороте на 60° вокруг оси любых частей многогранника и последующего отражения их в центральной точке фигура совмещается сама с собой. Иными словами, поворот ребра АВ этой призмы на 60° вокруг LL приводит его в положение А 1 В 1 , отражение ребра A 1 B 1 через центр совмещает его с DF.
В тетрагональном тетраэдре (рис. 21,II) все грани состоят из четырех совершенно одинаковых равнобедренных треугольников. Ось LL - ось второго порядка L 2 При повороте вокруг нее на 180° многогранник совмещается с первоначальным положением, а грань АВС переходит на место АВD. В же время ось L2 является и инверсионной осью четвёртого порядка. Если повернуть грань АВС на 90° вокруг оси LL, то она займёт положение А 1 В 1 С 1 . При отражении А 1 В 1 С 1 в центральной точке фигуры грань совместится с положением BCD (точка А1 совпадает с С, В 1 — с D и С 1 — с В). Проделав такую же операцию со всеми частями тетраэдра, заметим, что он совмещается сам с собой. При повороте тетраэдра на 360° получим четыре таких совмещения. Следовательно, LL - инверсионная ось четвертого порядка.

Центр симметрии

В кристаллических многогранниках, кроме плоскостей и осей симметрии, может быть также и центр симметрии (инверсии).
Центром симметрии (инверсии) кристаллического многогранника называется точка, лежащая внутри кристал-ла, в диаметрально противоположных направлениях от которой располагаются одинаковые элементы ограничения и другие свойства многогранника.
Центр симметрии обозначается буквой С латинского алфавита. При наличии центра симметрии в кристалле каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная (обратно параллельная) первой. В кристалла» не может быть более одного центра симметрии. В кристаллах любая линия, проходящая через центр симметрии, делится пополам.
Центр симметрии легко найти в кубе, октаэдре в гексагональной призме, так как он находится в этих много-гранниках в точке пересечения осей и плоскостей симметрии.
Разобранные элементы, встречаемые в кристаллических многогранниках, плоскости, оси, центр симметрии — называются элементами симметрии.

Таблица 1 32 вида симметрии кристаллов Виды симметрии
	примитивный	центральный	планальный	аксиальный	планаксиальный	инверсионно-примитивный	инверсионно-планальный
Триклинная
Моноклинная			р		L 2 PC
Ромбическая			L 2 2P	3L 2	3L 2 3PC
Тригональная		L 3 C	L 3 3P	L 3 3L 2	L 3 3L 2 3PC
Тетрагональная		L 4 PC	L 4 4P	L 4 4P 2	L 4 4L 2 5PC	19** L i4 =L 2	L i4 (=L2)2L 2 x2P
Гексагональная	L 6

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ Кристаллография – наука о кристаллах, их внешней форме, внутреннем строении, физических свойствах, о процессах их образования в земной коре, космосе и закономерностях развития Земли в целом. У любого материального объекта существуют различные симметрийные уровни структурной организации. Минерал, как природный объект, не исключение, а наоборот, он является одним из главных материальных объектов земной коры, обладающий всеми свойствами кристаллического вещества, на примере которого были изучены и выведены все основные законы симметрии кристалловмногогранников. Кристаллами называются твёрдые тела с упорядоченным внутренним строением, обладающие трёхмерно-периодической пространственной атомной структурой и имеющие вследствие этого, при определённых условиях образования, форму многогранников.

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ Дисциплина фундаментального характера, обязательная для студентов всех естественных специальностей (физиков, химиков, геологов). 1. 2. 3. Основная литература Егоров-Тисменко Е. М. Кристаллография и кристаллохимия. М. : Изд-во МГУ, 2006. 460 с. М. П. Шаскольская. Кристаллография. М. : Высшая школа, 1976. 391 с. Г. М. Попов, И. И. Шафрановский. Кристаллография. М. : Высшая школа, 1972. 346 с.

Кристаллография как наука Кристаллография – наука о кристаллах и кристаллическом состоянии материи вообще. Слово «кристалл» греческого происхождения и означает «лед» , «горный хрусталь» . Кристаллография изучает свойства кристаллов, их строение, рост и растворение, применение, искусственное получение и т. д. Кристаллами называют твердые тела, в которых материальные частицы расположены закономерно в виде узлов пространственной решетки

Связь кристаллографии с другими науками Кристаллография Геометрия Живопись Архитектура Физика Минералогия Петрография Металлография Механика Электроакустика Радиотехника Химия Геохимия Биология

Значение кристаллографии Теоретическое значение – познание наиболее общих закономерностей строения материи, в частности земной коры Практическое значение – промышленное выращивание кристаллов (монокристалльная промышленность)

Понятие о структуре кристаллов Под структурой кристаллов понимается закономерное расположение материальных частиц (атомов, молекул, ионов) внутри кристаллохимического вещества. Для описания порядка расположения частиц в пространстве их начали отождествлять с точками. Из такого подхода постепенно сформировалось представление о пространственной или кристаллической решетке кристаллов минералов. Ломоносов, Гаюи, Браве, Федоров заложили основы геометрической теории строения кристаллов. Пространственная решетка – это бесконечное трёхмерное периодическое образование, элементами которого являются узлы, ряды, плоские сетки, элементарные ячейки. Главная особенность кристаллохимических структур – закономерная повторяемость в пространстве узлов, рядов и плоских сеток.

Узлы пространственной решетки называется точки, в которых располагаются материальные частицы кристаллического вешества – атомы, ионы, молекулы, радикалы. Ряды пространственной решетки – совокупность узлов лежащих вдоль прямой и периодически повторяющиеся через равные промежутки Плоская сетка пространственной решетки – совокупность узлов, расположенных в одной плоскости и находящиеся в вершинах равных параллелограммов, ориентированных параллельно и сложные по целым сторонам. Элементарная ячейка пространственной решетки – называется минимальный по объему параллелипипед образованный системой 3 -х взаимопересекающихся плоских сеток.

14 типов решеток Бравэ В 1855 г. О. Бравэ вывел 14 пространственных решеток, рознящихся по формам элементарных ячеек и симметрии. Они представляют из себя закономерное повторение узлов пространственной решетки. Эти 14 решеток группируются по сингониям Любая пространственная решетка может быть представлена в виде параллелипипедов повторяемости, которые перемещаясь в пространстве в направлении его ребер и на их величину формируют бесконечную пространственную решетку. Параллелипипеды повторяемости (элементарные ячейки решеток Бравэ) выбирая по следующим условиям: 1. сингония выбранного параллелипипеда 2. число равных ребер и углов между ребрами параллелипипеда должны быть максимальными 3. при наличии прямых углов между ребрами параллелипипеда их число должно быть наибольшим 4. при соблюдении первых 3 -х условий объем параллелипипеда должны быть наименьшим. При выборе элементарной ячейки пользуются уже известными правилами установки кристаллов; Ребра ячейки – это кратчайшее расстояние вдоль координатных осей между углами решетки. Для характеристики внешней формы элементарной ячейки используются величины ребер ячейки а, в, с и углы между этими

Кубическая – форма элементарной ячейки соответствует кубу. Гексагональная – гексагональная призма с пинакоидом. Тригональная – ромбоэдр. Тетрагональная – тетрагональная призма с пинакоидом. Ромбическая – кирпичик. Моноклинальная – параллелепипед с одним косым углом и 2 -мя другими прямыми. Триклинная – косоугольный параллелепипед с неравными ребрами. В соответствии с расположенными дополнительных узлов решетки в различных частях ячеек, все решетки подразделяются на: Примитивную (Р); Базоцентрированную (С); Объемноцентрированную (У); Гранецентрированную (F);

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ Элементы ограничения многогранников Многогранником называется объемное геологическое тело, отделенное от окружающего пространства элементами ограничения. Элементами ограничения называют геометрические образы, отделяющие многогранник от окружающего пространства. К элементам ограничения многогранника относятся грани, ребра, вершины, двугранные и многогранные углы. Грани – это плоские поверхности, ограничивающие многогранник от внешней среды. Рёбра – это прямые линии, по которым пересекаются грани. Вершины – это точки, в которых пресекаются ребра. Двугранные углы – это углы между двумя соседними гранями. Иначе, это углы при ребрах. Многогранные углы – это углы между несколькими гранями, сходящимися в одной вершине. Иначе, это углы при вершинах.

Среди многогранных углов различают правильные и неправильные. Если при соединении концов ребер, исходящих из вершины многогранного угла, получается правильная геометрическая фигура (правильный треугольник, прямоугольник, ромб, квадрат, правильный шестиугольник и их производные), то образуется правильный многогранный угол. Если при этой же операции получается неправильная геометрическая фигура (неправильный многоугольник), то такой многогранный угол называется неправильным Различают следующие правильные многогранные углы. 1. Тригональный – при соединении концов ребер, исходящих из его вершины, образуется правильный треугольник (тригон): 2. Ромбический 1 -го рода – соединение концов ребер, исходящих из его вершины, дает фигуру в форме ромба; 3. Ромбический 2 -го рода – фигура, получаемая при соединении концов ребер, исходящих из его вершины, – прямоугольник: 4. Тетрагональный – при соединении концов ребер, исходящих из его вершины, образуется квадрат (тетрагон):

5. Гексагональный – соединение концов ребер, исходящих из его вершины, дает правильный шестиугольник (гексагон): Данные пять правильных многогранных углов называются основными. Кроме того, из тригонального, тетрагонального и гексагонального углов путем их удвоения образуются следующие три производных правильных многогранных угла. 1. Дитригональный – образуется путем удвоения граней, составляющих тригональный угол (дитригон): 2. Дитетрагоналный – образуется при удвоении числа граней тетрагонального угла (дитетрагон): 3. Дигексагональный – образуется путем удвоения числа граней, ограничивающих гексагональный угол (дигексагон):

Во всех производных правильных многогранных углах двугранные углы равны через один, а все стороны фигуры, образованной при соединении концов ребер, исходящих из вершины, равны. Таким образом, существует всего 8 правильных многогранных углов. Все остальные многогранные углы являются неправильными. Их возможно бесконечное количество. Между элементами ограничения многогранников существует математическая зависимость, характеризуемая формулой Эйлера. Декарта: Г (грани) + В (вершины) = Р (ребра) + 2. Например, в кубе 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер. Отсюда: 6+8=12+2. 2. Элементы симметрии многогранников Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы (точка, линия, плоскость и их сочетания), с помощью которых мысленно можно совместить в пространстве равные грани кристалла (многогранника). При этом под симметрией кристалла понимается закономерное повторение в пространстве равных его граней, а также вершин и ребер. Различают три основных элемента симметрии кристаллов – центр симметрии, плоскость симметрии и оси симметрии.

Центром симметрии называется воображаемая точка внутри кристалла, равноудаленная от его элементов ограничения (т. е. противоположных вершин, середин ребер и граней). Центр симметрии является точкой пересечения диагоналей правильной фигуры (куба, параллелепипеда). Центр симметрии обозначается буквой С, а по международной системе Германа-Могена – I. Центр симметрии в кристалле может быть только один. Однако имеются кристаллы, в которых центр симметрии вообще отсутствует. При решении вопроса о том, имеется ли центр симметрии в Вашем кристалле, необходимо руководствоваться следующим правилом: «При наличии центра симметрии в кристалле каждой его грани соответствует равная и противоположная ей грань» . На практических занятиях с лабораторными моделями наличие или отсутствие центра симметрии в кристалле устанавливается следующим образом. Кладем кристалл какой-либо его гранью на плоскость стола. Проверяем, присутствует ли сверху равная и параллельная ей грань. Повторяем ту же операцию для каждой грани кристалла. Если каждой грани кристалла отвечает сверху равная и параллельная ей грань, то центр симметрии в кристалле присутствует. Если хотя бы для одной грани кристалла не найдется сверху равной и параллельной ей грани, то – центра симметрии в кристалле нет

Плоскостью симметрии (обозначается буквой Р, по международной символике – m) называется воображаемая плоскость, проходящая через геометрический центр кристалла и разделяющая его на две зеркально равные половины. Кристаллы, обладающие плоскостью симметрии, обладают двумя свойствами. Во-первых, две его половины, разделенные плоскостью симметрии, равны по объему; во-вторых, они равны, как отражения в зеркале. Для проверки зеркального равенства половин кристалла необходимо из каждой его вершины провести воображаемые перпендикуляр к плоскости и продолжить его на то же расстояние от плоскости. Если каждой вершине соответствует с противоположной стороны кристалла зеркально отраженная ей вершина, то плоскость симметрии в кристалле присутствует. При определении плоскостей симметрии на лабораторных моделях кристалл ставится в фиксированное положение и затем мысленно рассекается на равные половины. Проверяется зеркальное равенство полученных половин. Считаем, сколько раз мы можем мысленно рассечь кристалл на две зеркально равные части. Помните, что кристалл при этом должен быть неподвижен! Число плоскостей симметрии в кристаллах варьирует от 0 до 9. Например, в прямоугольном параллелепипеде находим три плоскости симметрии, то есть 3 Р.

Осью симметрии называется воображаемая линия, проходящая через геометрический центр кристалла, при повороте вокруг которой кристалл несколько раз повторяет свой внешний вид в пространстве, то есть самосовмещается. Это означает, что после поворота на некоторый угол на место одних граней кристалла становятся другие, равные им грани. Основной характеристикой оси симметрии является наименьший угол поворота, при котором кристалл первый раз «повторяется» в пространстве. Этот угол называется элементарным углом поворота оси и обозначается α. Например: Элементарный угол поворота любой оси обязательно содержится целое число раз в 360°, то есть (целое число), где n – порядок оси. Таким образом, порядком оси называется целое число, показывающее, сколько раз элементарный угол поворота данной оси содержится в 360°. Иначе, порядок оси – это число «повторений» кристалла в пространстве при полном его повороте вокруг данной оси. Оси симметрии обозначаются буквой L. Порядок оси обозначается маленькой цифрой справа внизу: например, L 2. В кристаллах возможны следующие оси симметрии и соответствующие им элементарные углы поворота.

n α Обозначение Отечественное L 1 Международное 1 1 360° 2 180° L 2 2 3 120° L 3 3 4 90° L 4 4 6 60° L 6 6

Осей симметрии и первого порядка в любом кристалле бесконечное количество. Поэтому на практике они не определяются. Осей симметрии 5 -го и любого порядка выше 6 -го в кристаллах вообще не существует. Эта особенность кристаллов практикуется в качестве закона симметрии кристаллов. Закон симметрии кристаллов объясняется специфичностью их внутреннего строения, а именно – наличием пространственной решетки, которая не допускает возможность осей 5 -го, 7 -го, 8 -го и так далее порядков. В кристалле может быть несколько осей одного и того же порядка. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствуют три оси второго порядка, то есть 3 L 2. В кубе присутствуют 3 оси четвертого порядка, 4 оси третьего порядка и 6 осей второго порядка. Оси симметрии наивысшего порядка в кристалле называют главными. Для нахождения осей симметрии на моделях во время лабораторных занятий действуют в следующем порядке. Кристалл берется кончиками пальцев одной руки за его противоположные точки (вершины, середины ребер или граней). Воображаемая ось ставится перед собой вертикально. Запоминаем какой-либо характерный внешний вид кристалла. Затем кристалл вращаем другой рукой вокруг воображаемой оси до тех пор, пока его первоначальный внешний вид не «повторится» в пространстве. Считаем, сколько раз кристалл «повторяется» в пространстве при полном повороте вокруг данной оси. Это и будет ее порядок. Аналогичным образом проверяем все другие теоретически возможные направления прохождения оси симметрии в кристалле.

Сочетание всех элементов симметрии кристалла, записанное условными обозначениями, называется его формулой симметрии. В формуле симметрии сначала перечисляются оси симметрии, затем плоскости симметрии и последним показывается наличие центра симметрии. Между обозначениями не ставится точек или запятых. Например, формула симметрии прямоугольного параллелепипеда: 3 L 33 PC; куба – 3 L 44 L 36 L 29 PC.

3. Виды симметрии кристаллов Видами симметрии называются возможные в кристаллах сочетания элементов симметрии. Каждому виду симметрии соответствует определенная формула симметрии. Всего для кристаллов теоретически доказано наличие 32 видов симметрии. Таким образом, всего существует 32 формулы симметрии кристаллов. Все виды симметрии объединяются в 7 ступеней симметрии с учетом наличия характерных элементов симметрии. Примитивная – объединяются виды симметрии, представленные только одиночными осями симметрии разного порядка, например: L 3, L 4, L 6. Центральная – помимо одиночных осей симметрии, присутствует центр симметрии; кроме того, в присутствии четных осей симметрии появляется еще плоскость симметрии, например: L 3 С, L 4 PC, L 6 PC. Планальная (план – плоскость, греч.) – присутствуют одиночная ось и плоскости симметрии: L 22 P, L 44 P. Аксиальная (аксис – ось, греч.) – присутствуют только оси симметрии: 3 L 2, L 33 L 2, L 66 L 2. Планаксиальная – присутствуют оси, плоскости и центр симметрии: 3 L 23 PC, L 44 L 25 PC. Инверсионно-примитивная – наличие единственной инверсионной оси симметрии: Li 4, Li 6. Инверсионно-планальная – наличие, помимо инверсионной оси, простых осей и плоскостей симметрии: Li 44 L 22 P, Li 63 L 23 P. В каждую ступень симметрии объединяется разное количество видов симметрии: от 2 до 7.

Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одноименной 4. Сингонии главной осью симметрии и одинаковым общим уровнем симметрии. Син – сходный, гониа – угол, дословно: сингония – сходноугольность (греч.). Переход от одной сингонии к другой сопровождается повышением степени симметрии кристаллов. Всего выделяют 7 сингоний. В порядке последовательного повышения степени симметрии кристаллов они располагаются следующим образом. Триклинная сингония (клин – угол, наклон, по-гречески) получила название с учетом той особенности кристаллов, что между всеми гранями углы всегда косые. Кроме С, других элементов симметрии нет. Моноклинная (монос – один, по-гречески) – в одном направлении между гранями кристаллов угол всегда косой. В кристаллах могут присутствовать L 2, P и С. Ни один из элементов симметрии не повторяется хотя бы дважды. Ромбическая – получила название по характерному поперечному сечению кристаллов (вспомните углы ромбические 1 -го и 2 -го рода). Тригональная – названа по характерному поперечному сечению (треугольник) и многогранным углам (тригональный, дитригональный). Обязательно присутствует одна L 3. Тетрагональная – характерны поперечное сечение в форме квадрата и многогранные углы – тетрагональный и дитетрагональный. Обязательно присутствует L 4 или Li 4. Гексагональная – сечение в форме правильного шестиугольника, многогранные углы – гексагональный и дигексагональный. обязательно присутствие одной L 6 или Li 6. Кубическая – типична кубическая форма кристаллов. Характерно сочетание элементов симметрии 4 L 3.

Сингонии объединяются в 3 категории: низшую, среднюю и высшую. В низшую категорию объединяются триклинная, моноклинная и ромбическая сингонии. В среднюю категорию входят тригональная, тетрагональная и гексагональная сингонии. Характерна одна главная ось симметрии. К высшей категории относится одна кубическая сингония. В отличие от предыдущих категорий, для нее характерно несколько главных осей симметрии.

5. Понятие о простой форме, комбинации и габитусе На практических занятиях с лабораторными моделями в качестве простой формы рассматривается совокупность равных граней кристалла. Если все грани кристалла одинаковы, то он в целом является простой формой. Наоборот, если все грани кристалла не равны по форме и геометрическим очертаниям, то каждая из его граней является отдельной простой формой. Таким образом, в кристалле будет столько простых форм, сколько у него геометрических типов граней, учитывая также их размеры. Например, в прямоугольном параллелепипеде 3 типа граней. Типы граней в прямоугольном параллелепипеде Следовательно, он состоит из 3 простых форм. Каждая из них в свою очередь, состоит из 2 равных параллельных граней. Названия простым формам даются в зависимости от числа граней и их взаимного расположения. Существует всего 47 простых форм, каждая из которых

Для определения простых форм на практических занятиях необходимо равные между собой грани мысленно продолжить до их взаимного пересечения. Полученная при этом воображаемая фигура и будет искомой простой формой. Среди простых форм различают два вида: открытые и закрытые. Грани открытой простой формы не замыкают пространство со всех сторон. Наоборот, грани закрытой простой формы при их взаимном продолжении в пространстве со всех сторон закроют какую-то его часть. Сочетания простых форм, образующих кристаллы, называются сложными формами, или комбинациями. В комбинации будет столько простых форм, сколько в ней типов граней. Одна открытая простая форма никогда не сможет образовать кристалл, она может встречаться только в комбинации с другими простыми формами. Комбинаций в природе бесконечное количество. Под габитусом кристалла понимается преобладающая по площади граней простая форма. Название габитуса совпадает с названием простой формы, но дается как определение (например, простая форма – куб, габитус – кубический). Если ни одна из простых по площади граней не преобладает (или трудно это оценить), габитус называется смешанным, или комбинированным.

6. Порядок разбора моделей кристаллов При изучении моделей кристаллов на практических занятиях дается характеристика следующих данных: 1) формула симметрии кристалла; 2) сингония; 3) вид симметрии; 4) простые формы; 5) габитус.