Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: вывести формулу для вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла; сформировать навык вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла; повторить известные и сообщить новые сведения из истории интегрального исчисления; подготовка к экзамену; продолжить работу по развитию внимания, речи, логического мышления, аккуратности в записи; совершенствовать графическую культуру; продолжить работу по развитию творческих способностей учащихся; повысить интерес к изучению математики;

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация по теме, разработанная в среде Power Point.

Ход урока

I. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

II. Проверка домашнего задания.

Проверка дополнительного домашнего задания (учитель показывает решение на заранее подготовленном рисунке, решение с обратной стороны доски):

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0

III. Актуализация опорных знаний.

1. Устная работа (Слайды 3-4)

1. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:
2. Вычислите интегралы:

2. Немного истории. (Слайды 5-9)

Фрагмент компьютерного проекта учащихся на тему «Из истории интегрального исчисления».

1 учащийся

Интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным, а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integero , переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать.

Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция» , которое ввел Жозеф Луи Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный».

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления.

Труды Архимеда, впервые созданные в 1544 году, явились одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления.

2 учащийся

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Более близко и точно к понятию интеграл подошел Исаак Ньютон . Он первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления и назвал его "Методом флюксий..." (1670-1671 гг., опубл. 1736 г.). Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат . fluo – теку). Скорости изменения флюент Ньютон – флюксиями , а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – "моментами " (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла).

Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный – Готфрид Вильгельм Лейбниц .

Размышляя над философ­скими и математическими вопросами, Лейб­ниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Знак интеграла (∫), был впервые использован Лейбницем в конце XVII века. Этот символ образовался из буквы S - сокращения слова лат. summa (сумма).

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

,
где F`(x)=f(x) .

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

Формулу, которую открыли независимо друг от друга Ньютон и Лейбниц назвали формула Ньютона – Лейбница .

Таким образом, понятие интеграл было связано с именами знаменитых ученых: Ньютон, Лейбниц, Бернулли, положивших основу современного математического анализа.

IV. Объяснение нового материала.

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида.

Пусть фигура P ограничена прямыми х = a , x = b и графиками функций y = f (x ) и y = g (x ), причем на отрезке [a ;b ] выполняется неравенство g (x )f (x ).

Для вычисления площади фигуры будем рассуждать следующим образом. Выполним параллельный перенос фигуры P на m единиц вверх так, чтобы фигура P оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс.

Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций y = f (x )+m и

y = g (x )+m , причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [a ;b ].

Полученную фигуру обозначим ABCD . Ее площадь можно найти как разность площадей фигур:

S ABCD = S aDCb – S aABb = =
=

Таким образом, площадь фигуры S, ограниченной прямыми х = a , x = b и графиками функций y = f (x ) и y = g (x ), непрерывных на отрезке [a ;b ] и таких, что для всех х из отрезка [a ;b ] выполняется неравенство g (x )f (x ), вычисляется по формуле

Пример. (Слайд 11) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , y = 5 – x , x = 1, x = 2.

Подберите из данных формул для вычисления площади фигуры ту, которая подходит к одному из шести чертежей. (Слайд 14)

Задание 3. (Слайд 15) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 0,5х 2 + 2, касательной к этому графику в точке с абсциссой х = -2 и прямой х = 0.

1. Составим уравнение касательной к графику функции y = 0,5х 2 + 2 в точке с абсциссой х = -2:

y = f (x 0 ) + f "(x 0 )(x – x 0 )
f (-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
f "(x ) = (0,5х 2 + 2)"= x
f "(-2) = -2
y = 4 – 2(x + 2)
y = -2x

2. Построим графики функций.

3. Найдем площадь фигуры АВС .

VI. Подведение итогов.

• формула для вычисления площадей плоских фигур;
• запись формул площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла;
• повторение уравнения касательной к графику функции и решения уравнения с модулем;
• выставление оценок учащимся.

VII. Домашнее задание.

1. п. 4 стр. 228-230;
2. №1025(в, г), №1037(в, г), №1038(в, г)

учебник: А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10–11»

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла . Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не.

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений . Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.

Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция - это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f (x ), осью OX и линиями x = a ; x = b .

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений мы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ . То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Рассмотрим определенный интеграл

Подынтегральная функция

задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

, , , .

Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX ):

Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке [-2; 1] график функции y = x 2 + 2 расположен над осью OX , поэтому:

Ответ: .

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница

,

обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений . После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью OX ?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e - x , x = 1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX , то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

.

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x – x 2 , y = -x .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2x – x 2 и прямой y = -x . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».

А теперь рабочая формула:

Если на отрезке [a ; b ] некоторая непрерывная функция f (x ) больше либо равна некоторой непрерывной функции g (x ), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2x – x 2 необходимо вычесть –x .

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой y = 2x – x 2 сверху и прямой y = -x снизу.

На отрезке 2x – x 2 ≥ -x . По соответствующей формуле:

Ответ: .

На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы

.

Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g (x ) расположен ниже оси OX , то

.

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.

Пример 7

Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x +1;

2) На отрезке над осью OX расположен график гиперболы y = (2/x ).

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Представим уравнения в «школьном» виде

и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?

Может быть, a =(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a =(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения графиков

Для этого решаем уравнение:

.

Следовательно, a =(-1/3).

Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке

, ,

по соответствующей формуле:

Ответ:

В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.

Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций . В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:

– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке график функции y = sin 3 x расположен над осью OX , поэтому:

(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций . Отщипываем один синус.

(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде

(3) Проведем замену переменной t = cos x , тогда: расположен над осью , поэтому:

.

.

Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества

.

Урок по математике для первого курса учреждений среднего профессионального образования

Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.

Преподаватель математики С.Б. Баранова

Образовательные задачи:

обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по данной теме;

создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

Развивающие задачи:

способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные задачи:

содействовать воспитанию интереса к математике;

воспитание активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока – комбинированный урок с элементами проблемного обучения.

Методы и приёмы обучения – проблемный, наглядный, самостоятельная работа студентов, самопроверка.

Оборудование – приложение к уроку, таблицы.

План урока

Организационный момент. Подготовка студентов к работе на занятии.

Подготовка студентов к активной деятельности (проверка вычислительных навыков и таблиц интегралов по группам).

Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Работа с новым материалом.

Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

Домашнее задание.

Применение знаний.

Подведение итогов.

Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент.

Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.

На предыдущих занятиях мы научились “брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”

2. Подготовка студентов к активной деятельности.

Но сначала нам необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов. Перед вами задание, результатом выполнения которого будет высказывание французского математика С.Д. Пуассона (Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием).

Задание выполняется парами ().

3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Переходим к теме нашего занятия “Вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”. Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются?

Равные фигуры имеют равные площади.

Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей.

Также нам нужно повторить правило интеграла суммы и формулу Ньютона-Лейбница.

4. Работа с новым интегралом

1. Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.

Работа по таблице “Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей” ().

2. Давай проверим себя.

Работа с заданием () с последующей проверкой (таблица №3).

3. Но умения правильно выбирать формулы для площади недостаточно. На следующей таблице () в каждом из заданий есть “внешняя” причина, не позволяющая вычислить площадь фигуры. Найдём их.

а) не указаны формулы для графиков функций.

б) нет пределов интегрирования.

в) не указаны названия графиков и нет одного предела.

г) не указана формула одного из графиков.

4. С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач на тему урока.

Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.

Найти пределы интегрирования.

Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

Вычислить полученный интеграл.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

1. С учетом алгоритма выполним задание №2 из последней таблицы.

Рисунок 1

Решение:

Для точки А:

– не удовлетворяет условию задания

Для точки В:

– не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: (кв. ед).

2. Но при выполнении этого задания алгоритм применялся не полностью. Для его отработки выполним следующее задание

Задание. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Рисунок 2

Решение:

– парабола, вершина (m,n).

(0;2) – вершина

Найдём пределы интегрирования.

Ответ: (кв.ед).

6. Домашнее задание.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (задание разобрать).

7. Применение знаний.

Самостоятельная работа (Приложение №5))

8. Подведение итогов.

научились составлять формулы для нахождения площадей плоских фигур;

находить пределы интегрирования;

вычислять площади фигур.

9. Рефлексия.

Студентам раздаются листочки. Они должны оценить свою работу, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

Оценить степень сложности урока.

Вам было на уроке:

легко;

обычно;

трудно.

усвоил полностью, могу применить;

усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

усвоил частично;

не усвоил.

Просмотрев ответы, сделать вывод о подготовленности студентов к практической работе.

Используемая литература:

Валуцэ И.И., Дилигулин Г.Д. Математика для техникумов.

Крамер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Высшая математика для экономистов.

Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика, ч.1.

Званич Л.И., Рязановский А.Р. М., Новая школа.

Газета “Математика”. Издательский дом “Первое сентября”.

Приложение № 1

Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.

9

Жизнь

Тремя

Двумя

Вещами

Занятием

Математикой

Арифметикой

Преподаванием

Её

Украшается

Забыванием

Приложение № 2

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ

______________________________________

_

__________________________________ ______

________________________________ ______

___________________________________

Фигура симметричная относительно оси ординат или начала координат.

Приложение № 3

Используя определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунке.

_________________________________________

__________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

____________________________________________

Приложение № 4

Найти «внешнюю» причину, не позволяющую вычислить площадь фигуры.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

_____________________________

Приложение № 5

Самостоятельная работа

Вариант 1

Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их

1. Нарисуйте фигуры, пл ощади которых равны следующим интегралам:

Самостоятельная работа

Вариант 2

1. Установите, верны ли следующие утверждения:

1. Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их

1. 1. Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: .

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что на отрезке . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности . Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции . Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла , там она на каждом шагу!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла! Фактически это одно и тоже!

Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.

Пример 9

Решение: Изобразим область на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.

Таким образом:

Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ:

Вот такая вот глупая и наивная задача.

Любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в заключение курса молодого ботана рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы с бзиком, которые лежат на боку. Улыбаться не нужно, похожие вещи в кратных интегралах встречаются частенько.

Как проще всего сделать чертёж?

Представим параболу в виде двух функций:
– верхняя ветвь и – нижняя ветвь.

Аналогично, представим параболу в виде верхней и нижней ветвей.

Далее рулит поточечное построение графиков, в результате чего получается вот такая причудливая фигура:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: . Интегралы, конечно, не сверхсложного уровня, но… существует старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:

Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без всяких там листьев, желудей веток и корней.

Согласно второму способу, обход области будет следующим:

Таким образом:

Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Хотя кто прочитал второй параграф урока Как вычислить объем тела вращения , тот уже не испытывает ни малейшей неловкости с интегрированием по «игрек».

Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Данный приём подробно закомментирован на уроке Эффективные методы вычисления определённого интеграла .

Что добавить…. Всё!

Ответ:

Для проверки своей технике интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.

Пример 12

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.

Мастер класс подошел к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень – Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений . Постараюсь во второй статье так не маньячить =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Изобразим область на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:
Перейдём к обратным функциям:


Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение: Перейдём к прямым функциям:


Выполним чертёж:

Изменим порядок обхода области:

Ответ:

Инструкция

При построении графиков двух заданных функций в области их пересечения образуется замкнутая фигура, ограниченная этими кривыми и двумя прямыми линиями х=а и х=b, где а и b – концы рассматриваемого интервала. Эту фигуру визуально отображают штрихом. Ее площадь можно вычислить, проинтегрировав разность функций.

Функция, расположенная выше на графике, является большей величиной, следовательно, в формуле ее выражение будет стоять первым: S = ∫f1 – ∫f2, где f1 > f2 на промежутке [а, b]. Впрочем, приняв во внимание, что количественная любого геометрического объекта является величиной положительной, можно вычислить площадь фигуры, графиками функций, по модулю:
S = |∫f1 – ∫f2|.

Такой вариант тем более удобен, если нет возможности или времени на построение графика. При вычислении пользуются правилом Ньютона-Лейбница, которое предполагает подстановку в конечный результат предельных значений интервала. Тогда площадь фигуры равна разности двух значений первообразной, найденной на этапе интегрирования, из большего F(b) и меньшего F(а).

Иногда замкнутая фигура на заданном интервале образуется путем полного пересечения , т.е. концы интервала являются точками, принадлежащими обеим кривым. Например: найдите точки пересечения линий у = х/2 + 5 и у = 3 х – х²/4 + 3 и вычислите площадь.

Решение.
Чтобы найти точки пересечения, составьте уравнение:
х/2 + 5 = 3 х – х²/4 + 3 → х² – 10 х + 8 = 0
D = 100 - 64 = 36 → х1,2 = (10 ± 6)/2.

Итак, вы нашли концы интервала интегрирования :
S = |∫ (3 х – х²/4 + 3 – х/2 - 5)dх| = |(5 х²/4 – х³/12 - 2 х)| ≈ 59.

Рассмотрите другой пример: у1 = √(4 х + 5); у2 = х и дано уравнение прямой х = 3.
В этой задаче дан только один конец интервала х=3. Это значит, что второе значение требуется найти из графика. Постройте линии, заданные функциями у1 и у2. Очевидно, что значение х=3 является верхним ограничением, следовательно, нужно определить нижний предел. Для этого приравняйте выражения:
√(4 х + 5) = х ²
4 х + 5 = х² → х² – 4 х – 5 = 0

Найдите корни уравнения:
D = 16 + 20 = 36 → х1 = 5; х2 = -1.
Посмотрите на график, нижним значением интервала является -1. Поскольку у1 расположено выше у2, то:
S = ∫(√(4 х + 5) - х)dх на промежутке [-1; 3].
S = (1/3 √((4 х + 5)³) – х²/2) = 19.

Источники:

• найти площадь фигуры ограниченную графиком функции

Совет 2: Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Инструкция

Вычислите точки пересечения этих линий. Для этого вам их функции, где y будет выражен через х1 и х2. Составьте систему уравнений и решите ее. Найденные вами x1 и х2 являются абсциссами необходимых вам точек. Подставьте их в исходные для каждого х и найдите значения ординат. Теперь у вас есть точки пересечения линий.

Постройте пересекающиеся линии в соответствии с их функциями. Если фигура получается незамкнутая, то в большинстве случаев она ограничена еще и осью абсцисс или ординат либо же сразу обеими координатными осями (зависит от получившейся фигуры).

Заштрихуйте получившуюся фигуру. Это стандартный прием для оформления подобного рода задач. Штриховку производите из левого верхнего угла в правый нижний линями, расположенными на равном расстоянии. Это выглядит крайне сложно на первый взгляд, но если задуматься, то всегда одни и те же и, запомнив их , можно в дальнейшем избавиться от проблем, связанных с вычислением площади.

Выполняйте вычисление площади фигуры в зависимости от ее . Если форма простая (такая как квадрат, треугольник, ромб и другие), то воспользуйтесь базовыми формулами из курса геометрии. Будьте внимательны при подсчетах, поскольку неверные вычисления не дадут нужного результата, и вся работа может оказаться напрасной.

Выполняйте сложные вычисления по формуле, если фигура не является стандартной. Для составления формулы вычислите интеграл из разности формул функций. Для нахождения интеграла можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или основной теоремой анализа. Она состоит в следующем: если функция f непрерывна на отрезке от a до b и ɸ является ее производной на этом отрезке, то справедливо следующее равенство: интеграл от a до b от f(x)dx = F(b) - F(a).

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла, которое заключается в аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функций.

Инструкция

Тогда площадь фигуры можно выразить формулой, интегрирующей разность функций на интервале . Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.

Пример1.
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями y = -1/3·x – ½, x = 1, x = 4 и параболой y = -x² + 6·x – 5.

Решение.
Постройте графики всех линий. Вы можете увидеть, что линия параболы находится выше прямой y = -1/3·x – ½. Следовательно, под знаком интеграла в данном случае должна стоять разность между уравнением параболы и заданной прямой. Интервал интегрирования, соответственно, находится между точками x = 1 и x = 4:
S = ∫(-x² + 6·x – 5 – (-1/3·x – 1/2))dx = (-x² +19/3·x – 9/2)dx на отрезке .

Найдите первообразную для полученного подынтегрального выражения:
F(-x² + 19/3x – 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² – 9/2x.

Подставьте значения концов отрезка:
S = (-1/3·4³ + 19/6·4² – 9/2·4) – (-1/3·1³ + 19/6·1² – 9/2·1) = 13.

Пример2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x + 2), y = x и прямой x = 7.

Решение.
Эта задача является более сложной по сравнению с предыдущей, поскольку в ней нет второй прямой, параллельной оси абсцисс. Это значит, что второе граничное значение интеграла неопределенно. Следовательно, его нужно найти из графика. Постройте заданные линии.

Вы увидите, то прямая линия y = x проходит диагонально относительно координатных осей. А график функции корня – это положительная половина параболы. Очевидно, что линии на графике пересекаются, поэтому точка пересечения и будет нижним пределом интегрирования.

Найдите точку пересечения, решив уравнение:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 → x² – x – 2 = 0.

Определите корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.

Очевидно, что значение -1 не подходит, поскольку абсцисса токи пересечения – положительная величина. Следовательно, второй предел интегрирования x = 2. Функция y = x на графике выше функции y = √(x + 2), поэтому в интеграле она будет первой.
Проинтегрируйте получившееся выражение на интервале и найдите площадь фигуры:
S = ∫(x - √(x + 2))dx = (x²/2 – 2/3·(x + 2)^(3/2)).

Подставьте интервальные значения:
S = (7²/2 – 2/3·9^(3/2)) – (2²/2 – 2/3·4^(3/2)) = 59/6.

Источники:

• найти площадь ограниченную линиями

Совет 4: Как вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

Еще из школьного курса известно, что для нахождения площадей фигур на координатной плоскости необходимо знание такого понятия, как интеграл. Для его применения в целях определения площадей криволинейных трапеций - именно так и называются эти фигуры - достаточно знать определенные алгоритмы.