Решение заданий В8 ЕГЭ по математике. Решение заданий В8 Решение заданий в8

Умения по КТ Определять значение функции по значению аргумента при
различных способах задания функции; описывать по графику
поведение и свойства функций, находить по графику функции
наибольшие и наименьшие значения; строить графики
изученных функций
Вычислять производные и первообразные элементарных
функций
Исследовать в простейших случаях функции на монотонность,
находить наибольшие и наименьшие значения функций
Содержание задания В8 по КЭС
Исследование функций
4.2.1 Применение производной к исследованию функций и
построению графиков
4.2.2 Примеры использования производной для нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том числе социальноэкономических, задачах

Памятка ученику

Задание B8 на вычисление производной. Для
решения задания ученик должен уметь
вычислять значение функции по известному
аргументу при различных способах задания
функции и находить производные и
первообразные элементарных функций.

Таблица
производных
f ‘ (x)
формулы
С"
0
(x)"
1
(xa)"
sin"x
ax a 1
при a≠1
cos x
сos"x
sin x
tg"x
1
cos 2 x
1
sin 2 x
ctg"x
(ex)"
ex
(ax)"
a x ln a
ln"x
1
x
loga"x
1
x ln a
(f+g)"
f " g"
(f∙g)"
f " g fg "
(cf)"
cf "
f `
g
(f " g fg ")
g2
(f(kx+b)) "
kf " (kx b)
(f(g(x))) "
f " (g(x)) g" (x)

Прототип задания B8 (№27485)

Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2+6x-8
. Найдите абсциссу точки касания.
k=7 , значит f "(x0)=7
находим производную функции y=x2+6x-8,
получаем:
f "(x)=2x+6; f "(x0)= 2x0+6
f "(x0)=7
2x0+6=7
2x0=1
x0=0,5
Решение
Ответ:x0=0,5

Задание B8 (№ 6009)
Прямая y=6x+8 параллельна касательной к графику функции y=x2-3x+5 . Найдите абсциссу точки
касания.
Задание B8 (№ 6011)
Прямая y=7x+11 параллельна касательной к графику функции y=x2+8x+6 . Найдите абсциссу точки
касания.
Задание B8 (№ 6013)
Прямая y=4x+8 параллельна касательной к графику функции y=x2-5x+7. Найдите абсциссу точки касания.
Задание B8 (№ 6015)
Прямая y=3x+6 параллельна касательной к графику функции y=x2-5x+8. Найдите абсциссу точки
касания.
Задание B8 (№ 6017)
Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x2+5x+7. Найдите абсциссу точки
касания.
Задание B8 (№ 6019)
Прямая y=-5x+4 параллельна касательной к графику функции y=x2+3x+6 . Найдите абсциссу точки
касания.
Проверка
ОТВЕТЫ: № 6009: 4,5
№ 6011: -0,5
№ 6013: 4,5
№ 6015: 4
№ 6017: 1,5
№ 6019: -4

Прототип задания B8(№ 27487)

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6;8). Определите
функции положительна.
f(x) возрастает на [-3;0] и на .
Значит, производная функции положительна на
этих отрезках, количество целых точек - 4
Ответ: 4
Решение

Задания для самостоятельного решения

Задание B8 (№ 6399)

определенной на интервале (-9;8). Определите
количество целых точек, в которых производная
функции f(x)положительна.
Задание B8 (№ 6869)
На рисунке изображен график функции y=f(x),
определенной на интервале (-5;6). Определите
количество целых точек, в которых производная
функции положительна.
ОТВЕТЫ: № 6399: 7
№ 6869: 5
Проверка

Прототип задания B8 (№ 27488)
На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (-5;5) Определите количество
целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.
f(x) убывает на [-4;1] и на .
Значит производная функции отрицательна
на этих отрезках. Количество целых точек 4
Решение
ОТВЕТ:4

Задания для самостоятельного решения

Задание B8 (№ 6871)
На рисунке изображен график функции y=f(x),
определенной на интервале (-1;12). Определите
количество целых точек, в которых производная
функции отрицательна.
Задание B8 (№ 6873)
На рисунке изображен график функции y=f(x),
определенной на интервале (-7;7). Определите
количество целых точек, в которых производная
функции отрицательна.
ОТВЕТЫ: № 6771: 3
№ 6873: 3
Проверка

Прототип задания B8 (№ 27489)

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек,
в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.
К=0
Ответ: 4 точки
Решение

Задания для самостоятельного решения

Задание B8 (№ 6401)
На рисунке изображен график функции y=f(x),
определенной на интервале(-9;8). Найдите
количество точек, в которых касательная к графику
функции параллельна прямой y=10
Задание B8 (№ 6421)
На рисунке изображен график функции y=f(x),
определенной на интервале(-5;5)Найдите
количество точек, в которых касательная к
графику функции параллельна прямой y=6
ОТВЕТЫ: № 6401: 6
№ 6421: 4
Проверка

Прототип задания B8 (№ 27490)

На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-2;12).
Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Функция имеет 7 точек экстремума; 1, 2, 4, 7, 9, 10,
11.
Найдём их сумму 1+2+4+7+9+10+11=44
Решение
ОТВЕТ:44

Задания для самостоятельного решения

Задание B8 (№ 7329)


точек экстремума функцииf(x).
Проверка
Задание B8 (№ 7331)
На рисунке изображен график функцииy=f(x),
определенной на интервале(-7;5). Найдите сумму
точек экстремума функции f(x).
ОТВЕТЫ: № 7329: 0
№ 7331: -10

Прототип задания B8 (№27491)

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8;3). В какой точке
отрезка [-3;2] f(x) принимает наибольшее значение.
На отрезке [-3;2] f(x) принимает наибольшее
значение, равное 0 при x= -3.
ОТВЕТ: -3
Решение

Задания для самостоятельного решения

Задание B8 (№ 6413)

функции f(x), определенной на интервале (-6;6). В
какой точке [-5;-1] отрезка f(x)принимает
наибольшее значение.
Задание B8 (№ 6415)
На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (-6:6). В
какой точке отрезка f(x) принимает
наибольшее значение.
ОТВЕТЫ: №6413: -5
№6415: 3
Проверка

Прототип задания B8 (№27492)

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке
отрезка [-7;-3] f(x) принимает наименьшее значение.
На отрезке [-7;-3] f(x) принимает
наименьшее значение, равное 0 при x= -7.
ОТВЕТ: -7
Решение

Задания для самостоятельного решения

Задание B8 (№ 6403)

f(x) , определенной на интервале (-9;8) . В какой
точке отрезка [-8;-4] f(x) принимает наименьшее
значение.
Задание B8 (№ 6405)
На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (-9;8). В
какой точке отрезка f(x) принимает
наименьшее значение.
ОТВЕТЫ: №6403: -4
№6405: 3
Проверка

Прототип задания B8 (№ 27503)

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите

α
f(x0)= k= tgA
Рассмотри прямоугольный треугольник. В
нем tgα= 2/1 = 2
f(x0)=2
Решение
ОТВЕТ:2

Задания для самостоятельного решения

Задание B8 (№ 9051)
На рисунке изображён график функции y=f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите
значение производной функции f(x) в точке x0.
Задание B8 (№ 9055)
На рисунке изображён график функции и
касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите
значение производной функции в точке.
ОТВЕТЫ: №9051: -0,25
№9055: 0,5
Проверка

Прототип задания B8 (№27494)

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7;14). Найдите
количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-6;9]
На отрезке [-6;9] функция f(x) 5 раз меняет
характер монотонности, с возрастания на
убывание, а значит, имеет 5 точек максимума.
Решение
ОТВЕТ:4

Задания для самостоятельного решения

Задание B8 (№ 7807)
На рисунке изображен график производной функции
f(x), определенной на интервале (-4;16). Найдите
количество точек максимума функции f(x) на
отрезке.
Задание B8 (№ 7817)
На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (13;8). Найдите количество точек максимума
функции f(x) на отрезке[-8;6].
ОТВЕТЫ: №6413: 4
№6415: 4
Проверка

Список рекомендуемой литературы
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика / авт.сост. И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. –
М.:АСТ:Астрель, 2010. – 93, (3)с. – (Федеральный институт педагогических измерений)
Математика: тематическое планирование уроков подготовки к экзамену / Белошистая.В.
А. –М: Издательство «Экзамен», 2007. – 478 (2) с. (Серия «ЕГЭ 2007. Поурочное
планирование»)
Математика: самостоятельная подготовка к ЕГЭ / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. – 3-е изд.,
перераб. И дополн. - М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 381, (3) с. (Серия «ЕГЭ.
Интенсив»)
Математика. Решение задач группы В / Ю.А.Глазков, И.А.Варшавский, М.Я. Гаиашвилли.
– М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 382 (2) с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)
Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами
для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов /сост
Г.И.Ковалева, Т.И.Бузулина, О.Л.Безрукова, Ю.А. Розка. _ Волгоград: Учитель, 20089, 494 с.
Шабунин М.И. и др. Алгебра и начала анализа: Дидактические материалы для 10-11 кл. –
3-е изд. – М.: Мнемозина, 2000. – 251 с.: ил.

Адреса сайтов в сети Интернет
www.fipi.ru – Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ). Особенно обратите
внимание на раздел «Открытый сегмент ФБТЗ» – это система для подготовки к ЕГЭ - в режиме online. Вы можете отвечать на вопросы банка заданий ЕГЭ по различным предметам, а так же по
выбранной теме.
http://mathege.ru -Открытый банк задач ЕГЭ по математике. Главная задача открытого банка
заданий ЕГЭ по математике - дать представление о том, какие задания будут в вариантах
Единого государственного экзамена по математике в 2010 году, и помочь выпускникам
сориентироваться при подготовке к экзамену. Здесь же можно найти все пробные ЕГЭ по
математике, которые уже прошли.
http://egetrener.ru/ - математика: видеоуроки, решение задач ЕГЭ.
http://ege-trener.ru/ - очень увлекательная и эффективная подготовка к ЕГЭ по математике.
Зарегистрируйтесь и попытайтесь попасть в 30-ку лучших!
uztest.ru - бесплатные материалы для подготовки к ЕГЭ (и не только к ЕГЭ) по математике:
интерактивные тематические тренажеры, возможность записи на бесплатные on-line курсы по
подготовке к ЕГЭ.
www.ege.edu.ru – официальный информационный портал единого государственного экзамена.
On-line видеолекции "Консультации по ЕГЭ" по всем предметам.
Ролики категории ЕГЭ. Лекции по математике
http://www.alexlarin.narod.ru/ege.html - материалы для подготовки к ЕГЭ по математике (сайт
Ларина Александра Александровича).
http://www.diary.ru/~eek/ - сообщество, оказывающее помощь в решении задач по математике,
здесь же можно скачать много полезных книг по математике, в том числе для подготовки к ЕГЭ.
http://4ege.ru/ - ЕГЭ портал, всё последнее к ЕГЭ. Вся информация о егэ. ЕГЭ 2010.

Индивидуальные занятия по SKYPE по эффективной онлайн подготовке к ЕГЭ по математике.

Задания типа В8 — это задачи на приложение производных функций. Цели в заданиях:

• найти производную в определенной точке
• определить экстремумы функции, точки maximum и minimum
• промежутки возрастания и убывания

Рассмотрим несколько примеров. Задание в8 .1: на рисунке изображен график функции y=f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции y=f (x) в точке х0.

Немного теории. Если касательная возрастающая, то производная будет положительной, а если касательная убывающая, то производная отрицательная. Производная функции y’= tgА, где А -угол наклона касательной к оси Х

Решение : в нашем примере касательная -возрастающая, значит производная будет положительной. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС и найдем из него tg А= ВС/АВ, где ВС-катет-расстояние между характерными точками по оси у, АВ- катет- расстояние между точками по оси х. Характерные точки на графике выделены жирными точками и обозначены буквами А и С. Характерные точки должны быть явными и целыми. Из графика видно, что АВ= 5+3=8, а вс=3-1=2,

tgα= ВС/АВ=2/8=1/4=0,25 , отсюда производная у’=0,25

Ответ : 0,25

Задание В8 .2 На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (-9;4). Найдите сумму абсцисс точек экстремума функций f(x)

Решение : Для начала определимся, что такое точки экстремума? Это такие точки, в которых производная меняет свой знак на противоположный, проще говоря все »горки» и «впадины» . В нашем примере имеем 4 «горки» и 4 «впадины».Снесем все «ландшафтные» точки на ось Х и найдем значение абсцисс,теперь сложим все значение этих точек по оси Х

получим -8-7-5-3-2+0+1+3=-21

Ответ : -21

посмотреть видеоурок решения этого задания

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке функция имеет две точки максимума x = 4 и x = 4. Ответ: 2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке .

Решение. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (9; 6) длиной 3 и интервалу (2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке . Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке функция имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (7; 5), (2; 5). Наибольший из них интервал (2; 5), длина которого 3.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке . Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке функция имеет одну точку минимума x = 4. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке . Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках 13, 11, 9, 7. На отрезке функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна = 44. Ответ: 44.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3. Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. По свойствам касательной, формула касательной к функции f(x) в точке x 0 равна y=f (x 0) x+b, b=const По рисунку видно, что касательная к функции f(x) в точке x 0 проходит через точки (-3;2), (5,4). Следовательно, можно составить систему уравнений

Источники

Цели:

• Обучающие : повторить основные формулы и правила дифференцирования, геометрический смысл производной; сформировать умение комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия; проверить знания, умения, навыки учащихся по данной теме при подготовке к ЕГЭ.
• Развивающие : содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение; формированию умений самооценки.
• Воспитательные : содействовать стремлению к непрерывному совершенствованию своих знаний

Оборудование:

• Мультимедийный проектор.

Тип урока: систематизация и обобщения.
Объем знаний: два урока (90 мин.)
Ожидаемый результат: обучающие используют полученные знания в практическом применении, развивая при этом коммуникативные, творческие и поисковые навыки, умение анализировать полученное задание.

Структура урока:

1. Орг. Момент, актуализация знаний, необходимых для решения практических заданий из материалов ЕГЭ.
2. Практическая часть (проверка знаний учащихся).
3. Рефлексия, творческое домашнее задание

Ход консультации

I. Организационный момент.

Сообщение темы урока, цели урока, мотивация учебной деятельности (через создания проблемной теоретической базы знаний).

II. Актуализация субъективного опыта учащихся, их знаний.

Повторить правила и определения.

1) если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

2) если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

• Критические точки – это внутренние точки области определения функции в которых производная не существует или равна нулю.
• Достаточный признак возрастания, убывания функции .
• Если f "(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).
• Если f "(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а;в] , если дан график производной функции:

Если производная на отрезке положительна,то а-наименьшее значение,в-наибольшее значение.

Если производная на отрезке отрицательна, то а-наибольшее, в- наименьшее значение.

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой x0 можно провести касательную, непараллельную оси у, то f "(x0) выражает угловой коэффициент касательной: κ = f "(x0). Поскольку κ = tgα, то верно равенство f "(x0) = tgα

Рассмотрим три случая:

1. Касательная, проведенная к графику функции, образовала с осью ОХ острый угол, т.е. α < 90º. Производная положительная.
2. Касательная образовала с осью ОХ тупой угол, т.е. α > 90º. Производная отрицательная.
3. Касательная параллельна оси ОХ. Производная равна нулю.

Задание 1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 = -1

Решение:а) Касательная, проведенная к графику функции, образовала с осью ОХ тупой угол. По формуле приведения найдем тангенс этого угла tg(180º - α) = - tgα. Значит f "(х) = - tgα. Из изученного ранее знаем, что тангенс равен отношению катета противолежащего к прилежащему.

Для этого строим прямоугольный треугольник так, чтобы вершины треугольника находились в вершинах клеток. Считаем клетки противолежащего катета и прилежащего. Делим противолежащий катет на прилежащий.(Слайд 44)

б) Касательная, проведенная к графику функции, образовала с осью ОХ острый угол.

f "(x)= tgα.Ответ будет положительным.(Слайд 30)

Задание 2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 13). Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: f "(х) < 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

Практическая часть.
35 мин. Подготовленные слайды требуют теоретических знаний по теме урока. Цель составленных слайдов состоит в том, чтобы учащиеся смогли совершенствовать и практически применять знания.
С помощью слайдов проводится:
- фронтальный опрос (учитываются индивидуальные особенности учащихся);
- выясняется информационная формулировка главных понятий, свойств, определений;
- алгоритм решения заданий. Учащиеся должны дать ответы по слайдам.

IV. Индивидуальная работа. Решение задач по слайдам.

V. Подведение итогов урока, рефлексия.