Понятие средней линии треугольника

Введем понятие средней линии треугольника.

Определение 1

Это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (Рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия треугольника

Теорема о средней линии треугольника

Теорема 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. $MN$ - средняя линия (как на рисунке 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$, то треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Значит

Также, отсюда следует, что $\angle A=\angle BMN$, значит $MN||AC$.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о средней линии треугольника

Следствие 1: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 3).

Рисунок 3. Иллюстрация следствия 1

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Следствие 2: Три средние линии треугольника делят его на 4 треугольника, подобных исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со средними линиями $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация следствия 2

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C$. Так как $A_1B_1$ - средняя линия, то

Угол $C$ - общий угол этих треугольников. Следовательно, треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Аналогично доказывается, что треугольники $A_1C_1B$ и $ABC$, и треугольники $C_1B_1A$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Так как $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ -- средние линии треугольника, то

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников, треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Теорема доказана.

Примеры задачи на понятие средней линии треугольника

Пример 1

Дан треугольник со сторонами $16$ см, $10$ см и $14$ см. Найти периметр треугольника , вершины которого лежат в серединах сторон данного треугольника.

Решение.

Так как вершины искомого треугольника лежат в серединах сторон данного треугольника, то его стороны -- средние линии исходного треугольника. По следствию 2, получим, что стороны искомого треугольника равны $8$ см, $5$ см и $7$ см.

Ответ: $20$ см.

Пример 2

Дан треугольник $ABC$. Точки $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно (Рис. 5).

Рисунок 5.

Периметр треугольника $BMN=14$ см. Найти периметр треугольника $ABC$.

Решение.

Так как $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$, то $MN$ -- средняя линия. Значит

По теореме 1, $AC=2MN$. Получаем:

Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.

– это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 - AD и BC ), две другие – боковыми (на рисунке AB и CD ).

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 - KL ).

Свойства средней линии трапеции

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Доказать , что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

Дана трапеция ABCD со средней линией KL . Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L . На рисунке 2 это прямая BQ . А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ .

Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD :

1. По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD . Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.
2. ∠ BLC = ∠ QLD , так как эти углы вертикальные.
3. ∠ BCL = ∠ LDQ , так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD .

Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC = ∠ LQD , BC=DQ и самое главное - BL=LQ => KL , являющаяся средней линией трапеции ABCD , также является и средней линией треугольника ABQ . Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем.

научная работа

1. Свойства средних линий

1. Свойства треугольника:

· при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

· средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;

· средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти его площади.

2. Свойства четырёхугольника:

· если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.

· длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.

· середины сторон произвольного четырёхугольника -- вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;

· Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.

3. Свойства трапеции:

· средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;

· середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Биномиальные коэффициенты

Числа Cnk обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства в конечном счёте выражают различные соотношения между подмножествами данного множества X. Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1)...

Биномиальные коэффициенты

1. Сумма коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n. Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: (1 + 1)n = 2n. 2.Коэффициенты членов...

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств...

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Пусть S - коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими. Элементы и из S называются взаимно простыми, если НОД(,)=1...

Так как предметом нашего изучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средние определяются в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий, состоит в следующем . Определение...

Обобщение классических средних величин

Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев - простейших средних...

Основные понятия математической статистики

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. Средние...

Простейшие способы обработки опытных данных

Применение вышеназванных способов для описания реальных процессов. При этом нельзя сделать однозначный вывод о том, какой способ наиболее точно описывает тот или иной процесс. Например...

Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства...

Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита

Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ...

Случайные вектора

Ковариация случайных величин и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением: . (57.1) Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких, при которых, то есть при, или, . И наоборот, при, или...

Статистические расчеты содержания влаги

Численное интегрирование разными методами

Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка. Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах...

Численные методы

1 Чтобы уменьшить погрешность методов левых и правых прямоугольников был предложен метод средних, т.е. метод в котором высота прямоугольника вычисляется в середине отрезка h (Рис. 7). Обращаясь к рисунку легко увидеть...

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных.

Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.

Начнем с производной арксинуса.

. Тогда по формуле производной обратной функции получаем

Осталось провести преобразования.

Так как областью значений арксинуса является интервал , то (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому , а не рассматриваем.

Следовательно, . Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1) .

Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:

Найдем производную арктангенса.

Для обратной функцией является .

Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.

Пусть arctgx = z , тогда

Следовательно,

Схожим образом находится производная арккотангенса:

Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=f\left(x \right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $f\left({{x}_{1}} \right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $f\left({{x}_{2}} \right)$.

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$\alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $\alpha $,
3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $\alpha $.

Что мы можем сказать об $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

Точно также и $BC$:

Другими словами, мы можем записать следующее:

\[\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{f\left({{x}_{2}} \right)-f\left({{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\]

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $f\left({{x}_{2}} \right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $\alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

\[{f}"\left({{x}_{1}} \right)=\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\]

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке.

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $\beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $\beta $.

\[{f}"\left({{x}_{2}} \right)=tg\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\]

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.

Производная степенной функции

К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.

Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}"=n\cdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:

\[\begin{align}& y={{x}^{2}} \\& {y}"=2\cdot {{x}^{2-1}}=2x \\\end{align}\]

А вот другой вариант:

\[\begin{align}& y={{x}^{1}} \\& {y}"={{\left(x \right)}^{\prime }}=1\cdot {{x}^{0}}=1\cdot 1=1 \\& {{\left(x \right)}^{\prime }}=1 \\\end{align}\]

Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:

Итак, мы получаем:

\[{{\left({{x}^{6}} \right)}^{\prime }}=6\cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}\]

Теперь решим второе выражение:

\[\begin{align}& f\left(x \right)={{x}^{100}} \\& {{\left({{x}^{100}} \right)}^{\prime }}=100\cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} \\\end{align}\]

Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.

Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:

\[{{\left(f+g \right)}^{\prime }}={f}"+{g}"\]

Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:

\[{{\left(f-g \right)}^{\prime }}={f}"-{g}"\]

\[{{\left({{x}^{2}}+x \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left(x \right)}^{\prime }}=2x+1\]

Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:

\[{{\left(c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}"\]

\[{{\left(3{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}\]

Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:

\[{{\left(c \right)}^{\prime }}=0\]

Пример решения:

\[{{\left(1001 \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{1}{1000} \right)}^{\prime }}=0\]

Еще раз ключевые моменты:

1. Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: ${{\left(f+g \right)}^{\prime }}={f}"+{g}"$;
2. По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: ${{\left(f-g \right)}^{\prime }}={f}"-{g}"$;
3. Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: ${{\left(c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}"$;
4. Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: ${{\left(c \right)}^{\prime }}=0$.

Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:

Записываем:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{5}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{7}"= \\& =5{{x}^{4}}-3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x \\\end{align}\]

В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.

Переходим ко второй функции:

Записываем решение:

\[\begin{align}& {{\left(3{{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{\prime }}={{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{{\left(2x \right)}^{\prime }}+{2}"= \\& =3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-2{x}"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end{align}\]

Вот мы и нашли ответ.

Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:

\[\begin{align}& {{\left(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-5 \right)}^{\prime }}={{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left(\frac{1}{2}x \right)}^{\prime }}-{5}"= \\& =2{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+\frac{1}{2}\cdot {x}"=2\cdot 3{{x}^{2}}-3\cdot 2x+\frac{1}{2}\cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+\frac{1}{2} \\\end{align}\]

Ответ мы нашли.

Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:

Итак, считаем:

\[\begin{align}& {{\left(6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 \right)}^{\prime }}={{\left(6{{x}^{7}} \right)}^{\prime }}-{{\left(14{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}+{{\left(4x \right)}^{\prime }}+{5}"= \\& =6\cdot 7\cdot {{x}^{6}}-14\cdot 3{{x}^{2}}+4\cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 \\\end{align}\]

Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:

\[{y}"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.

Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:

А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:

\[\begin{align}& \sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot {{x}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\\end{align}\]

Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:

Записываем решение:

\[\begin{align}& \left(\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x} \right)={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot {{x}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}{{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]

Возвращаемся к нашему примеру и записываем:

\[{y}"=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}}\]

Вот такое сложное решение.

Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.

Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}}\cdot {{x}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left({{x}^{3+\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{11}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{\frac{8}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2\frac{2}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}} \\& {{\left({{x}^{7}}\cdot \sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{7}}\cdot {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{7\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=7\frac{1}{3}\cdot {{x}^{6\frac{1}{3}}}=\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt{x} \\\end{align}\]

Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:

\[{y}"=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}}+\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt{x}\]

Мы нашли ответ.

Производная дроби через степенную функцию

Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

С другой стороны мы знаем, что выражение вида $\frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,

\[\left(\frac{1}{{{x}^{n}}} \right)"={{\left({{x}^{-n}} \right)}^{\prime }}=-n\cdot {{x}^{-n-1}}=-\frac{n}{{{x}^{n+1}}}\]

\[{{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=\left({{x}^{-1}} \right)=-1\cdot {{x}^{-2}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\]

Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

Итак, первая функция:

\[{{\left(\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{-2}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot {{x}^{-3}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}}\]

Первый пример решен, переходим ко второму:

\[\begin{align}& {{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}}-\frac{2}{3{{x}^{3}}}+\frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}-{{\left(\frac{2}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+{{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }} \\& {{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}{{\left(\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}\cdot {{\left({{x}^{-4}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}\cdot \left(-4 \right)\cdot {{x}^{-5}}=\frac{-7}{{{x}^{5}}} \\& {{\left(\frac{2}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot {{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot {{\left({{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot \left(-3 \right)\cdot {{x}^{-4}}=\frac{-2}{{{x}^{4}}} \\& {{\left(\frac{5}{2}{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=\frac{5}{2}\cdot 2x=5x \\& {{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=2\cdot 3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}} \\& {{\left(3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 4{{x}^{3}}=12{{x}^{3}} \\\end{align}\]...

Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

\[{y}"=-\frac{7}{{{x}^{5}}}+\frac{2}{{{x}^{4}}}+5x+6{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\]

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $f\left(x \right)=...$, во втором: $y=...$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $f\left(x \right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $f\left(x \right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.

Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{3}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+\left(\sqrt{x} \right) \\& {{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}} \\& {{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=-3\cdot {{x}^{-4}}=-\frac{3}{{{x}^{4}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{{{x}^{\frac{2}{3}}}}=\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}} \\\end{align}\]

Производная функции равна:

\[{y}"=3{{x}^{2}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}}\]

Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:

Во втором примере действуем аналогично:

\[{{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}}+\sqrt{x}+\frac{4}{x\sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\frac{4}{x\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}\]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

\[\begin{align}& {{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot {{\left({{x}^{-4}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot {{x}^{-5}}=\frac{8}{{{x}^{5}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot {{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}} \\& {{\left(\frac{4}{x\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{4}{x\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{4}{{{x}^{1\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}=4\cdot {{\left({{x}^{-1\frac{3}{4}}} \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \left(-1\frac{3}{4} \right)\cdot {{x}^{-2\frac{3}{4}}}=4\cdot \left(-\frac{7}{4} \right)\cdot \frac{1}{{{x}^{2\frac{3}{4}}}}=\frac{-7}{{{x}^{2}}\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]

Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:

\[{y}"=\frac{8}{{{x}^{5}}}+\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}}-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}}\]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные.