Что называют вектором как изображают вектор. Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами. Понятие вектора в классической геометрии

Вектор - это математический объект, который характеризуется направлением и величиной. В геометрии вектором называется отрезок прямой на плоскости или в пространстве, который имеет свое определенное направление и длину.

Обозначение вектора

Для обозначения вектора используется либо одна строчная буква либо две прописных, которые соответствуют началу и концу вектора, при этом над буквами изображается горизонтальная черточка. Первая буква обозначает начало вектора, вторая - конец (смотрите рисунок 1). На графическом отображении вектора изображается стрелка, указывающая его направление.

Что такое координаты вектора на плоскости и в пространстве?

Координаты вектора - это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат. Звучит сложно, однако на деле довольно просто. Разберем на примере.

Допустим, нам требуется найти координаты вектора а. Поместим его в трехмерную систему координат (см. рисунок 2) и выполним проекции вектора на каждую ось. Вектор а в данном случае запишется так: a= a x i+ a y j+ a z k, где i, j, k - базисные векторы, a x , a y , a z - коэффициенты, которые и определяют координаты вектора а. Само выражение будет называться линейной комбинацией. На плоскости (в прямоугольной системе координат) линейная комбинация будет состоять из двух базисов и коэффициентов.

Отношения векторов

В теории векторов существует такой термин, как отношение векторов. Данное понятие определяет расположение векторов относительно друг друга на плоскости и в пространстве. Наиболее известные частные случаи отношений векторов:

• коллинеарность;
• сонаправленность;
• компланарность;
• равность.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или параллельны друг другу, для сонаправленных векторов характерно одинаковое направление, для компланарных - расположение в одной плоскости или в параллельных плоскостях, равные вектора имеют одинаковое направление и длину.

Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат - его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Системно-векторная психология – новейшее направление в психологии, образовавшееся двенадцать лет назад. Основоположником является психоаналитик Юрий Бурлан , который в настоящее время систематически проводит свои семинары, курсы, тренинги. Интересно, что проходят они, в том числе, и в онлайн-режиме в Интернете, собирая тысячи зрителей и слушателей.

Сам Ю. Бурлан говорит, что его основная задача – сделать человека счастливым, сделать так, чтобы после его тренинга клиенты выходили с главным навыком – умением радоваться жизни и улыбаться, все остальное, по словам психолога, наладится само собой.

Так как основной акцент в этом направлении сделан на бессознательном , а в основу типологии личности положены эрогенные зоны человека, его можно обозначить как ветвь психоанализа . Хотя иногда системно-векторную психологию определяют не просто как отдельное направление в психологии, а как новую широкую область знай, комплексную науку о человеке.

Системно-векторная психология и системный психоанализ – это обширная система психологических знаний о человеке, направление в прикладной психологии.

Ю. Бурлан затрагивает и социологию, и педагогику и даже политику, объясняя свою теорию, он комплексно подходит к пониманию феномена личности, функционирующей в обществе.

Видовая роль и вектор

В системно-векторной психологии человек рассматривается как целостная сложная система в общественной системе, причем система эта не только физическая и психическая, но и социальная. Особую роль в формировании личности Бурлан отводит обществу и инстинкту продолжения рода .

Человек, по словам Ю. Бурлана, это сгусток живого существа, желающего получать удовольствие, наслаждаться. Это желание и стремление к наслаждению в теле выражается через эрогенные зоны.

Общество подталкивает к развитию не только конкретного человека, но и человечество как вид. Когда в далекие времена люди стали собираться вместе и жить группами, чтобы выжить, у человека появились особые свойства и желания. Сегодня мы говорим, что они базировались на двух основных бессознательных потребностях , изначально же, по всей видимости, это были не потребности, а групповые задачи первобытных людей. А потребности-задачи эти:

• сохранение жизни,
• продолжение рода.

Так как развитие человека это движение в определенном направлении, у него должен быть вектор, ориентир. Вектором становится главное желание личности. Желание порождает мысль, мысль формирует намерение, а намерение подталкивает к действию, которое оформляет роль человека в обществе, видовую роль .

В первобытной стае у каждого человека была своя определенная видовая роль, обязанность, работа, которую он выполнял ради общего блага.

Человек не может жить в одиночку, он давно объединился и продолжает существовать в единой системе отношений между людьми под названием общество. Природа от рождения наделяет человека всем необходимым (интеллектом, способностями, чувствами, темпераментом и так далее), для того, чтобы он смог стать счастливым, исполнил все свои желания и осуществил видовую роль.

Вместе с развитием общества развивался и человек. Чем общество сложнее, тем более многогранным становится психическое устройство личности. Уже
сменилось так много поколений людей, что и желания, и потребности, и поведение, и человеческие взаимоотношения усложнились настолько, что за ними трудно разглядеть те первые, первобытные, но уже сознательные действия в общине, видовую роль.

А между тем эта роль на бессознательном уровне по-прежнему продолжает определять особенности личности и ее социальную направленность.

Современный человек, не осознавая свою роль в обществе (по большому счету свое предназначение), движется в неправильном направлении или вовсе в обратную сторону от счастья.

Роль определяется желанием наслаждаться жизнью. В зависимости от того, какая эрогенная зона является преимущественной для выражения этого желания, выделяется восемь типов личности .

Типы направленности личности

От вектора зависит тип мышления, ценности, приоритеты человека, его сексуальность, психическое состояние, физическое здоровье и степень удовлетворенности жизнью.

Данные от природы векторальные качества нельзя изменить, но нужно развивать их и реализовывать свой внутренний потенциал. Врожденные свойства и качества развиваются, начиная от рождения человека до его полного полового созревания.

Краткое описание восьми векторов , определяющих внутренний мир человека на бессознательном уровне:

1. Кожный. Видовая роль в первобытном обществе – охотник и охранник территории, функции: запретительная, ограничительная.

Подходящие профессии: спортсмен, инженер, изобретатель, военный, бизнесмен.

Личностные качества: ответственность, рациональность, дисциплинированность, активность, конкурентоспособность, пунктуальность, амбициозность, экономность. Преобладает логическое мышление, не боятся перемен, стремятся к лидерству, успеху, богатству, социальному статусу, хотят добиться высот в карьере. Хорошо ориентируются во времени и пространстве.

К этому типу относятся примерно 24% населения.

1. Анальный . Видовая роль – хранитель пещеры, очага, «тыловик»; функции: передача накопленного опыта следующим поколениям.

Подходящие профессии: учитель, врач, домохозяйка/семьянин.

Личностные качества: упрямые и принципиальные, но легкоранимые, волевые, старательные, исполнительные, надежные, честные, верные, нерешительные, злопамятные, консервативные. Это интеллектуалы, склонные к перфекционизму, все стремятся сделать идеально, поэтому могут быть высокими профессионалами в любой области. Преобладает аналитическое мышление. У таких людей отличная память.

К этому типу относятся примерно 20% населения.

1. Мышечный. Видовая роль – воин и охотник, функция: защитная.

Подходящие профессии: рабочий на заводе, строитель, сельхозрабочий и иной представитель рабочего класса, а также военный.

Личностные качества: трудолюбие, исполнительность, неприхотливость, выносливость, простота (основные потребности базовые: еда, сон, секс), миролюбие. Мышление ригидное, наглядно-действенное, ум активизируется только в процессе работы мышц.

К этому типу относятся примерно 38% населения.

1. Уретральный. Видовая роль – вождь, функции: ответственность за выживание, управление, расширение стаи и ареала ее обитания.

Подходящие профессии: все, связанные с руководством и управлением людьми, вплоть до президента страны.

Личностные качества: врожденный альтруизм, оптимизм, активность, инициативность, бесстрашие, справедливые, милосердие, хитрость, непредсказуемость. Мышление тактическое и креативное.

Подходящие профессии: психолог, врач, учитель, воспитатель, дизайнер, кинорежиссер и иные деятели искусства и культуры.

Личностные качества: доброта, отзывчивость, понимание, сопереживание, влюбчивость, скромность, совестливость, внушаемость, мечтательность, кокетство, эмоциональность. Такие люди фантазеры, мыслят образами.

К этому типу относятся примерно 5% населения.

1. Звуковой . Видовая роль – ночной охранник стаи, функции: охрана в ночи, обратная связь с первопричиной.

Подходящие профессии: философ, композитор, программист, переводчик, писатель, поэт.

Личностные качества: идеалисты (и желания, в основном, у них нематериальные), рассудительные, сосредоточенные, погруженные в себя, эгоцентричные, безэмоциональные, отчужденные. Мышление абстрактное.

К этому типу относятся примерно 5% населения.

1. Оральный. Видовая роль – загонщик добычи, глашатай, шут; функции: предупреждение об опасности, призыв к объединению.

Подходящие профессии: повар, певец, комментатор, оратор.

Личностные качества: жизнерадостность, общительность, смешливость, обаяние, чувство юмора. Такие люди склонны лгать и насмехаться. Мыслят когда говорят, то есть их мышление вербальное.

К этому типу относятся примерно 5% населения.

1. Обонятельный. Видовая роль – разведчик, советник вождя, колдун, «серый кардинал»; функции: стратегическая разведка.

Подходящие профессии: разведчик, политик, финансист.

Личностные качества: меланхоличны, спокойны, интуитивны, беспристрастны, бывают аморальны и коварны. Мыслят такие личности интуитивно, на бессознательном уровне.

К этому типу относятся примерно 1% населения.

Почему нужно знать свой вектор?

В первобытной стае у каждого человека был один, конкретный вектор, так как и общество это было примитивным. Сегодня тип направленности личности обычно складывается из нескольких векторов , в среднем из 3-4 -х. Люди, у которых направленность складывается из семи или даже всех восьми векторов, как правило, бывают выдающимися или гениальными.

Наличие сразу нескольких векторов означает, что у современного человека есть больше возможностей для самореализации и шансов на счастье. Но так уж устроен мир и человек, что зачастую то, что должно быть источником наслаждения, превращается в повод для страданий. От незнания и нежелания многих людей понять себя, система под названием «человек» дает «сбои».

Хотя автор концепции подчеркивает, что чистые типы встречаются очень и очень редко, определив свой доминирующий векторальный тип, можно многое о себе узнать, осознать проблемы и найти пути их решения. Вектор личности всегда направлен на самореализацию и достижение благополучия.

Приятный бонус: если научиться различать типы личностей по вектору, процесс понимания и общения с окружающими людьми облегчится и улучшиться.

Описание восьми векторов – это основы основ системно-векторной психологии и в то же время базовая идея . Если «копнуть» это направление глубже, можно обнаружить что Ю. Бурлан затрагивает и объясняет многие явления внутреннего мира человека и внешние, общества.

Системный психоанализ становится модным в России и на всем постсоветском пространстве. Он уже эффективно применяется не только в психологии, но и в медицине и педагогике. Людей привлекает к этому направлению то особое, системное мышление и мировоззрение, на которое «переключает» человека Ю. Бурлан. Его подход необычен и неоднозначен, но, тем не менее, популярен.

Такое понятие, как вектор, рассматривается практически во всех естественных науках, причем он может иметь совершенно разное значение, поэтому дать однозначное определение вектора для всех областей невозможно. Но попробуем разобраться. Итак, вектор - что такое?

Понятие вектора в классической геометрии

Вектор в геометрии - отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая - концом. То есть, говоря проще, вектором называется направленный отрезок.

Соответственно, обозначается вектор (что такое - рассмотрели выше), как и отрезок, то есть двумя заглавными буквами латинского алфавита с добавлением сверху черты или стрелки, направленной вправо. Также его можно подписать строчной (маленькой) буквой латинского алфавита с чертой или стрелкой. Стрелка всегда направлена вправо и не меняется в зависимости от расположения вектора.

Таким образом, вектор имеет направление и длину.

В обозначении вектора содержится и его направление. Выражается это так, как на рисунке ниже.

Изменение направления меняет значение вектора на противоположное.

Длиной вектора называется длина отрезка, от которого он образован. Обозначается он как модуль от вектора. Это показано на рисунке ниже.

Соответственно, нулевым является вектор, длина которого равна нулю. Из этого следует, что нулевой вектор представляет собой точку, при чем в ней совпадают точки начала и конца.

Длина вектора - величина всегда не отрицательная. Иначе говоря, если есть отрезок, то он в обязательном порядке обладает некоторой длиной или же является точкой, тогда его длина равна нулю.

Само понятие точки является базовым и определения не имеет.

Сложение векторов

Существуют специальные формулы и правила для векторов, с помощью которых можно выполнить сложение.

Правило треугольника. Для сложения векторов по этому правилу достаточно совместить конец первого вектора и начала второго, используя при этом параллельный перенос, и соединить их. Полученный третий вектор и будет равен сложению двух других.

Правило параллелограмма. Для сложения по этому правилу необходимо провести оба вектора из одной точки, а затем провести из конца каждого из них другой вектор. То есть, из первого вектора будет проведен второй, а из второго - первый. В результате получится новая точка пересечения и образуется параллелограмм. Если совместить точку пересечения начал и концов векторов, то полученный вектор и будет результатом сложения.

Похожим образом возможно выполнять и вычитание.

Разность векторов

Аналогично сложению векторов возможно выполнить и их вычитание. Оно базируется на принципе, указанном на рисунке ниже.

То есть вычитаемый вектор достаточно представить в виде вектора, ему противоположного, и произвести расчет по принципам сложения.

Также абсолютно любой ненулевой вектор возможно умножить на какое-либо число k, это изменит его длину в k раз.

Помимо этих, существуют и другие формулы векторов (например, для выражения длины вектора через его координаты).

Расположение векторов

Наверняка многие сталкивались с таким понятием, как коллинеарный вектор. Что такое коллинеарность?

Коллинеарность векторов - эквивалент параллельности прямых. Если два вектора лежат на прямых, которые параллельны друг другу, или же на одной прямой, то такие векторы называются коллинеарными.

Направление. Относительно друг друга коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными, это определяется направлением векторов. Соответственно, если вектор сонаправлен с другим, то вектор, ему противоположный, противоположно направлен.

На первом рисунке показаны два противоположно направленных вектора и третий, который не коллинеарен им.

После введения вышеуказанных свойств возможно дать определение и равным векторам - это векторы, которые направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину отрезков, от которых они образованы.

Во многих науках применяется еще и понятие радиус-вектора. Подобный вектор описывает положение одной точки плоскости относительно другой фиксированной точки (зачастую это начало координат).

Векторы в физике

Предположим, при решении задачи возникло условие: тело движется со скоростью 3 м/с. Это означает, что тело движется с конкретным направлением по одной прямой, поэтому данная переменная будет величиной векторной. Для решения важно знать и значение, и направление, так как в зависимости от рассмотрения скорость может равняться и 3 м/c, и -3 м/с.

В общем случае вектор в физике используется для указания направления силы, действующей на тело, и для определения равнодействующей.

При указании этих сил на рисунке их обозначают стрелками с подписью вектора над ним. Классически длина стрелки так же важна, с помощью нее указывают, какая сила действует сильнее, однако это свойство побочное, опираться на него не стоит.

Вектор в линейной алгебре и математическом анализе

Элементы линейных пространств также называются векторами, однако в данном случае они представляют собой упорядоченную систему чисел, описывающих некоторые из элементов. Поэтому направление в данном случае уже не имеет никакой важности. Определение вектора в классической геометрии и в математическом анализе сильно различаются.

Проецирование векторов

Спроецированный вектор - что такое?

Довольно часто для правильного и удобного расчета необходимо разложить вектор, находящийся в двухмерном или трехмерном пространстве, по осям координат. Данная операция необходима, например, в механике при подсчете сил, действующих на тело. Вектор в физике используется достаточно часто.

Для выполнения проекции достаточно опустить перпендикуляры из начала и конца вектора на каждую из координатных осей, полученные на них отрезки и будут называться проекцией вектора на ось.

Для подсчета длины проекции достаточно умножить его изначальную длину на определенную тригонометрическую функцию, которая получается при решении мини-задачи. По сути, есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза является исходным вектором, один из катетов - проекцией, а другой катет - опущенным перпендикуляром.

Содержание статьи

ВЕКТОР. В физике и математике вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они «скалярами».

Векторная запись используется при работе с величинами, которые невозможно задать полностью с помощью обычных чисел. Например, мы хотим описать положение предмета относительно некоторой точки. Мы можем сказать, сколько километров от точки до предмета, но не можем полностью определить его местоположение, пока не узнаем направление, в котором он находится. Таким образом, местонахождение предмета характеризуется численным значением (расстоянием в километрах) и направлением.

Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины, как на рис. 1. Например, для того чтобы представить графически силу в пять килограммов, надо нарисовать отрезок прямой длиной в пять единиц в направлении действия силы. Стрелка указывает, что сила действует от A к B ; если бы сила действовала от B к A , то мы бы записали или . Для удобства векторы обычно обозначаются полужирными прописными буквами (A , B , C и так далее); векторы A и –A имеют равные численные значения, но противоположны по направлению. Численное значение вектора А называется модулем или длиной и обозначается A или |A |. Это величина, конечно, скаляр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается O .

Два вектора называются равными (или свободными ), если их модули и направления совпадают. В механике и физике этим определением, однако, надо пользоваться с осторожностью, так как две равных силы, приложенные к различным точкам тела в общем случае будут приводить к различным результатам. В связи с этим векторы подразделяются на «связанные» или «скользящие», следующим образом:

Связанные векторы имеют фиксированные точки приложения. Например, радиус-вектор указывает положение точки относительно некоторого фиксированного начала координат. Связанные векторы считаются равными, если у них совпадают не только модули и направления, но они имеют и общую точку приложения.

Скользящими векторами называются равные между собой векторы, расположенные на одной прямой.

Сложение векторов.

Идея сложения векторов возникла из того, что мы можем найти единственный вектор, который оказывает то же воздействие, что и два других вектора вместе. Если для того, чтобы попасть в некоторую точку, нам надо пройти сначала A километров в одном направлении и затем B километров в другом направлении, то мы могли бы достичь нашей конечной точки пройдя C километров в третьем направлении (рис. 2). В этом смысле можно сказать, что

A + B = C .

Вектор C называется «результирующим вектором» A и B , он задается построением, показанным на рисунке; на векторах A и B как на сторонах построен параллелограмм, а C – диагональ, соединяющая начало А и конец В . Из рис. 2 видно, что сложение векторов «коммутативно», т.е.

A + B = B + A .

Аналогичным образом можно сложить несколько векторов, последовательно соединяя их «непрерывной цепочкой», как показано на рис. 3 для трех векторов D , E и F . Из рис. 3 также видно, что

(D + E ) + F = D + (E + F ),

т.е. сложение векторов ассоциативно. Суммировать можно любое число векторов, причем векторы необязательно должны лежать в одной плоскости. Вычитание векторов представляется как сложение с отрицательным вектором. Например,

A – B = A + (–B ),

где, как определялось ранее, –B – вектор, равный В по модулю, но противоположный по направлению.

Это правило сложения может теперь использоваться как реальный критерий проверки, является ли некоторая величина вектором или нет. Перемещения обычно подчиняются условиям этого правила; то же можно сказать и о скоростях; силы складываются таким же образом, как можно было видеть из «треугольника сил». Однако, некоторые величины, обладающие как численными значениями так и направлениями, не подчиняются этому правилу, поэтому не могут рассматриваться как векторы. Примером являются конечные вращения.

Умножение вектора на скаляр.

Произведение m A или A m , где m (m № 0) – скаляр, а A – ненулевой вектор, определяется как другой вектор, который в m раз длиннее A и имеет тоже направление что и A , если число m положительно, и противоположное, если m отрицательно, как показано на рис. 4, где m равно 2 и –1/2 соответственно. Кроме того, 1A = A , т.е. при умножении на 1 вектор не изменяется. Величина –1A – вектор, равный A по длине, но противоположный по направлению, обычно записывается как –A . Если А – нулевой вектор и(или) m = 0, то m A – нулевой вектор. Умножение дистрибутивно, т.е.

Мы можем складывать любое число векторов, причем порядок слагаемых не влияет на результат. Верно и обратное: любой вектор раскладывается на две или более «компоненты», т.е. на два вектора или более, которые, будучи сложенными, в качестве результирующего дадут исходный вектор. Например, на рис. 2, A и B – компоненты C .

Многие математические действия с векторами упрощаются, если разложить вектор на три компоненты по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Выберем правую систему декартовых координат с осями Ox , Oy и Oz как показано на рис. 5. Под правой системой координат мы подразумеваем, что оси x , y и z располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. Из одной правой системы координат всегда можно получить другую правую систему координат соответствующим вращением. На рис. 5, показано разложение вектор A на три компоненты и . Они в сумме составляют вектор A , так как

Можно было бы также сначала сложить и получить , а затем к прибавить .

Проекции вектора А на три координатные оси, обозначенные A x , A y и A z называются «скалярными компонентами» вектора A :

где a , b и g – углы между A и тремя координатными осями. Теперь введем три вектора единичной длины i , j и k (орты), имеющие то же самое направление, что и соответствующие оси x , y и z . Тогда, если A x умножить на i , то полученное произведение – это вектор, равный , и

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие скалярные компоненты. Таким образом, A = B тогда и только тогда, когда A x = B x , A y = B y , A z = B z .

Два вектора можно сложить, складывая их компоненты:

Кроме того, по теореме Пифагора:

Линейные функции.

Выражение a A + b B , где a и b – скаляры, называется линейной функцией векторов A и B . Это вектор, находящийся в той же плоскости, что A и B ; если A и B не параллельны, то при изменении a и b вектор a A + b B будет перемещаться по всей плоскости (рис. 6). Если A , B и C не все лежат в одной плоскости, то вектор a A + b B + c C (a , b и c изменяются) перемещается по всему пространству. Предположим, что A , B и C – единичные векторы i , j и k . Вектор a i лежит на оси x ; вектор a i + b j может перемещаться по всей плоскости xy ; вектор a i + b j + c k может перемещаться по всему пространству.

Можно было бы выбрать четыре взаимно перпендикулярных вектора i , j , k и l и определить четырехмерный вектор как величину

A = A x i + A y j + A z k + A w l

а можно было бы продолжать до пяти, шести или любого числа измерений. Хотя визуально такой вектор представить невозможно, никаких математических трудностей здесь не возникает. Такая запись часто бывает полезна; например, состояние движущейся частицы описывается шестимерным вектором P (x , y , z , p x , p y , p z ), компоненты которого – ее положение в пространстве (x , y , z ) и импульс (p x , p y , p z ). Такое пространство называется «фазовым пространством»; если мы рассматриваем две частицы, то фазовое пространство 12-мерное, если три, то 18-ти и так далее. Число размерностей можно неограниченно увеличивать; при этом величины, с которыми мы будем иметь дело, ведут себя во многом также, как те, которые мы рассмотрим в оставшейся части этой статьи, а именно, трехмерные векторы.

Умножение двух векторов.

Правило сложения векторов было получено путем изучения поведения величин, представленных векторами. Нет никаких видимых причин, по которым два вектора нельзя было бы каким-либо образом перемножить, однако это умножение будет иметь смысл только в том случае, если можно показать его математическую состоятельность; кроме того, желательно, чтобы произведение имело определенный физический смысл.

Существуют два способа умножения векторов, которые соответствуют этим условиям. Результатом одного из них является скаляр, такое произведение называется «скалярным произведением» или «внутренним произведением» двух векторов и записывается A Ч B или (A , B ). Результатом другого умножения является вектор, называемый «векторным произведением» или «внешним произведением» и записывается A ґ B или [A , B ]. Скалярные произведения имеют физический смысл для одного-, двух- или трех измерений, тогда как векторные произведения определены только для трех измерений.

Скалярные произведения.

Если под действием некоторой силы F точка, к которой она приложена, перемещается на расстояние r , то выполненная работа равна произведению r и компоненты F в направлении r . Эта компонента равна F cos б F , r с , где б F , r с – угол между F и r , т.е.

Произведенная работа = Fr cos б F , r с .

Это – пример физического обоснования скалярного произведения, определенного для любых двух векторов A , B посредством формулы

AЧ B = AB cos б A , B с .

Так как все величины правой части уравнения – скаляры, то

A Ч B = B Ч A ;

следовательно, скалярное умножение коммутативно.

Скалярное умножение также обладает свойством дистрибутивности:

A Ч (B + С ) = A Ч B + A Ч С .

Если векторы A и B перпендикулярны, то cos б A , B с равен нулю, и, поэтому, A Ч B = 0, даже если ни A ,ни B не равны нулю. Именно поэтому мы не можем делить на вектор. Допустим, что мы разделили обе части уравнения A Ч B = A Ч C на A . Это дало бы B = C , и, если бы можно было бы выполнить деление, то это равенство стало бы единственным возможным результатом. Однако, если мы перепишем уравнение A Ч B = A Ч C в виде A Ч (B – C ) = 0 и вспомним, что (B – C ) – вектор, то ясно, что (B – C ) необязательно равен нулю и, следовательно, B не должен быть равным C . Эти противоречивые результаты показывают, что векторное деление невозможно.

Скалярное произведение дает еще один способ записи численного значения (модуля) вектора:

A Ч A = AA Ч cos 0° = A 2 ;

Скалярное произведение можно записать и другим способом. Для этого вспомним, что:

A = A x i + A y j + A z k .

Поскольку последнее уравнение содержит x , y и z в качестве нижних индексов, уравнение, казалось бы, зависит от выбранной конкретной системы координат. Однако это не так, что видно из определения, которое не зависит от выбранных координатных осей.

Векторные произведения.

Векторным или внешним произведением векторов называется вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла, перпендикулярный исходным векторам и составляющий вместе с ними правую тройку. Это произведение легче всего ввести, рассматривая соотношение между скоростью и угловой скоростью. Первая – вектор; мы теперь покажем, что последнюю также можно интерпретировать как вектор.

Угловая скорость вращающегося тела определяется следующим образом: выберем любую точку на теле и проведем перпендикуляр из этой точки до оси вращения. Тогда угловая скорость тела – это число радиан, на которые эта линия повернулась за единицу времени.

Если угловая скорость – вектор, она должна иметь численное значение и направление. Численное значение выражается в радианах в секунду, направление можно выбрать вдоль оси вращения, можно его определить, направив вектор в том направлении, в котором двигался бы правосторонний винт при вращении вместе с телом.

Рассмотрим вращение тела вокруг фиксированной оси. Если установить эту ось внутри кольца, которое в свою очередь закреплено на оси, вставленной внутрь другого кольца, мы можем придать вращение телу внутри первого кольца с угловой скоростью w 1 и затем заставить внутреннее кольцо (и тело) вращаться с угловой скоростью w 2.Рисунок 7 поясняет суть дела; круговые стрелки показывают направления вращения. Данное тело – это твердая сфера с центром О и радиусом r .

Придадим этому телу движение, которое является суммой двух различных угловых скоростей. Это движение довольно трудно представить наглядно, но достаточно очевидно, что тело больше не вращается относительно фиксированной оси. Однако все-таки можно сказать, что оно вращается. Чтобы показать это, выберем некоторую точку P на поверхности тела, которая в рассматриваемый нами момент времени находится на большом круге, соединяющем точки, в которых две оси пересекают поверхность сферы. Опустим перпендикуляры из P на оси. Эти перпендикуляры станут радиусами PJ и PK окружностей PQRS и PTUW соответственно. Проведем прямую POP ў , проходящую через центр сферы. Теперь точка P , в рассматриваемый момент времени одновременно перемещается по окружностям, которые соприкасаются в точке P . За малый интервал времени D t , P перемещается на расстояние

Это расстояние равно нулю, если

В этом случае точка P находится в состоянии мгновенного покоя, и точно также все точки на прямой POP ў . Остальная часть сферы будет в движении (окружности, по которым перемещаются другие точки, не касаются, а пересекаются). POP ў является, таким образом, мгновенной осью вращения сферы, подобно тому, как колесо, катящееся по дороге в каждый момент времени, вращается относительно своей нижней точки.

Чему равна угловая скорость сферы? Выберем для простоты точку A , в которой ось w 1 пересекает поверхность. В момент времени, который мы рассматриваем, она перемещается за время D t на расстояние

по кругу радиуса r sin w 1. По определению, угловая скорость

Из этой формулы и соотношения (1) мы получим

Другими словами, если записать численное значение и выбрать направление угловой скорости так, как это описано выше, то эти величины складываются как векторы и могут быть рассмотрены как таковые.

Теперь можно ввести векторное произведение; рассмотрим тело, вращающееся с угловой скоростью w . Выберем любую точку P на теле и любое начало координат О , которое находится на оси вращения. Пусть r – вектор, направленный от О к P . Точка P движется по окружности со скоростью

V = w r sin (w , r ).

Вектор скорости V является касательным к окружности и указывает в направлении, показанном на рис. 8.

Это уравнение дает зависимость скорости V точки от комбинации двух векторов w и r . Используем это соотношение, чтобы определить новый вид произведения, и запишем:

V = w ґ r .

Так как результатом такого умножения является вектор, это произведение названо векторным. Для любых двух векторов A и B , если

A ґ B = C ,

C = AB sin б A , B с ,

и направление вектора C таково, что он перпендикулярен плоскости, проходящей через А и B и указывает в направлении, совпадающем с направлением движения правовращающегося винта, если он параллелен C и вращается от A к B . Другими словами, мы можем сказать, что A , B и C , расположенные в таком порядке, образуют правый набор координатных осей. Векторное произведение антикоммутативно; вектор B ґ A имеет тот же модуль, что и A ґ B , но направлен в противоположную сторону:

A ґ B = –B ґ A .

Это произведение дистрибутивно, но не ассоциативно; можно доказать, что

Посмотрим, как записывается векторное произведение в терминах компонент и единичных векторов. Прежде всего, для любого вектора A ,

A ґ A = AA sin 0 = 0.

Следовательно, в случае единичных векторов,

i ґ i = j ґ j = k ґ k =0

i ґ j = k , j ґ k = i , k ґ i = j .

Это равенство также можно записать в виде определителя:

Если A ґ B = 0 , то либо A или B равно 0 , либо A и B коллинеарны. Таким образом, как и в случае скалярного произведения, деление на вектор невозможно. Величина A ґ B равна площади параллелограмма со сторонами A и B . Это легко видеть, так как B sin б A , B с – его высота и A – основание.

Существует много других физических величин, которые являются векторными произведениями. Одно из наиболее важных векторных произведений появляется в теории электромагнетизма и называется вектором Пойтинга P . Этот вектор задается следующим образом:

P = E ґ H ,

где E и H – векторы электрического и магнитного полей соответственно. Вектор P можно рассматривать как заданный поток энергии в ваттах на квадратный метр в любой точке. Приведем еще несколько примеров: момент силы F (крутящий момент) относительно начала координат, действующей на точку, радиус-вектор которой r , определяется как r ґ F ; частица, находящаяся в точке r , массой m и скоростью V , имеет угловой момент m r ґ V относительно начала координат; сила, действующая на частицу, несущую электрический заряд q через магнитное поле B со скоростью V , есть q V ґ B .

Тройные произведения.

Из трех векторов мы можем сформировать следующие тройные произведения: вектор (A Ч B ) ґ C ; вектор (A ґ B) ґ C ; скаляр (A ґ B )Ч C .

Первый тип – произведение вектора C и скаляра A Ч B ; о таких произведениях мы уже говорили. Второй тип называется двойным векторным произведением; вектор A ґ B перпендикулярен к плоскости, где лежат A и B , и поэтому (A ґ B )ґ C – вектор, лежащий в плоскости A и B и перпендикулярный C . Следовательно, в общем случае, (A ґ B )ґ C № A ґ (B ґ C ). Записав A , B и C через их координаты (компоненты) по осям x , y и z и умножив, можно показать, что A ґ (B ґ C ) = B ґ (A Ч C ) – Cґ (A Ч B ). Третий тип произведения, который возникает при расчетах решетки в физике твердого тела, численно равен объему параллелепипеда с ребрами A , B , C . Так как (A ґ B )Ч C = A Ч (B ґ C ), знаки скалярного и векторного умножений можно менять местами, и произведение часто записывается как (A B C ). Это произведение равно определителю

Заметим, что (A B C ) = 0, если все три вектора лежат в одной и той же плоскости или, если А = 0 или (и) В = 0 или (и) С = 0 .

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА

Предположим, что вектор U является функцией одной скалярной переменной t . Например, U может быть радиус-вектором, проведенным из начала координат до перемещающейся точки, а t – временем. Пусть t изменится на небольшую величину D t , что приведет к изменению U на величину D U . Это показано на рис. 9. Отношение D U /D t – вектор, направленный в том же направлении, что и D U . Мы можем определить производную U по t , как

при условии, что такой предел существует. С другой стороны, можно представить U как сумму компонент по трем осям и записать

Если U – радиус-вектор r , то d r /dt – скорость точки, выраженная как функция времени. Продифференцировав по времени еще раз, мы получим ускорение. Предположим, что точка перемещается вдоль кривой, показанной на рис. 10. Пусть s – расстояние, пройденное точкой вдоль кривой. В течение малого интервала времени D t точка пройдет расстояние D s вдоль кривой; положение радиус-вектора изменится на D r . Следовательно D r /D s – вектор направленный как D r . Далее

есть единичный вектор, касательный к кривой. Это видно из того, что при приближении точки Q к точке P , PQ приближается к касательной и D r приближается к D s.

Формулы для дифференцирования произведения подобны формулам для дифференцирования произведения скалярных функций; однако, так как векторное произведение антикоммутативно, порядок умножения должен быть сохранен. Поэтому,

Таким образом, мы видим, что, если вектор является функцией одной скалярной переменной, то мы можем представить производную почти также, как в случае скалярной функции.

Вектор и скалярные поля.

Градиент.

В физике часто приходится иметь дело с векторными или скалярными величинами, которые меняются от точки к точке в заданной области. Такие области называются «полями». Например, скаляр может быть температурой или давлением; вектор может быть скоростью движущейся жидкости или электростатическим полем системы зарядов. Если мы выбрали некоторую систему координат, то любой точке P (x , y , z ) в заданной области соответствует некоторый радиус-вектор r (= x i + y j + z k ) и также значение векторной величины U (r ) или скаляра f (r ), связанных с ним. Предположим, что U и f определены в области однозначно; т.е. каждой точке соответствует одна и только одна величина U или f , хотя различные точки могут, конечно, иметь различные значения. Допустим, что мы хотим описать скорость, с которой U и f изменяются при передвижении по этой области.

Простые частные производные, такие, как ¶ U /¶ x и ¶f /¶ y, нас не устраивают, потому что они зависят от конкретно выбранных координатных осей. Однако можно ввести векторный дифференциальный оператор, независимый от выбора осей координат; этот оператор называется «градиентом».

Пусть мы имеем дело со скалярным полем f . Сначала в качестве примера рассмотрим контурную карту области страны. В этом случае f – высота над уровнем моря; контурные линии соединяют точки с одним и тем же значением f . При движении вдоль любой из этих линий f не меняется; если двигаться перпендикулярно этим линиям, то скорость изменения f будет максимальной. Мы можем каждой точке сопоставить вектор, указывающий величину и направление максимального изменения скорости f ; такая карта и некоторые из этих векторов показаны на рис. 11. Если мы проделаем это для каждой точки поля, то получим векторное поле, связанное со скалярным полем f . Это поле вектора, называемого «градиентом» f , который записывается как grad f или Сf (символ С также называется «набла»).

В случае трех измерений, контурные линии становятся поверхностями. Малое смещение D r (= i D x + j D y + k D z ) приводит к изменению f , которое записывается как

где точками обозначены члены более высоких порядков. Это выражение можно записать в виде скалярного произведения

Разделим правую и левую части этого равенства на D s , и пусть D s стремится к нулю; тогда

где d r /ds – единичный вектор в выбранном направлении. Выражение в круглых скобках – вектор, зависящий от выбранной точки. Таким образом, df /ds имеет максимальное значение, когда d r /ds указывает в том же направлении, выражение, стоящее в скобках, является градиентом. Таким образом,

– вектор, равный по величине и совпадающий по направлению с максимальной скоростью изменения f относительно координат. Градиент f часто записывается в виде

Это означает, что оператор С существует сам по себе. Во многих случаях он ведет себя, как вектор, и фактически является «векторным дифференциальным оператором» – одним из наиболее важных дифференциальных операторов в физике. Несмотря на то, что С содержит единичные векторы i , j и k , его физический смысл не зависит от выбранной системы координат.

Какова связь между Сf и f ? Прежде всего предположим, что f определяет потенциал в любой точке. При любом малом смещении D r величина f изменится на

Если q – величина (например масса, заряд), перемещенная на D r , то работа, выполненная при перемещении q

откуда следует, что E действует в направлении r и его величина равна q /(4pe 0r 3).

Зная скалярное поле, можно определить связанное с ним векторное поле. Также возможно и обратное. С точки зрения математической обработки скалярными полями оперировать легче, чем векторными, так как они задаются одной функцией координат, в то время как векторное поле требует три функции, соответствующие компонентам вектора в трех направлениях. Таким образом, возникает вопрос: дано векторное поле, может ли мы записать связанное с ним скалярное поле?

Дивергенция и ротор.

Мы видели результат действия С на скалярную функцию. Что произойдет, если С применить к вектору? Имеются две возможности: пусть U n a da D

если D A ® 0. Это выражение максимально, когда k и rotU указывают в одном и том же направлении; это означает, что rotU – вектор, равный удвоенной угловой скорости жидкости в точке P . Если жидкость вращается относительно P, то rotU № 0, и векторы U будут вращаться вокруг P . Отсюда и возникло название ротора.

Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса)

Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса) является обобщением формулы (4) для конечных объемов. Она утверждает, что для некоторого объема V , ограниченного замкнутой поверхностью S ,

и справедлива для всех непрерывных векторных функций U , имеющих непрерывные первые производные всюду в V и на S . Мы не будем приводить здесь доказательство этой теоремы, но ее справедливость можно понять интуитивно, представляя объем V разделенным на ячейки. Поток U через поверхность, общую для двух ячеек обращается в нуль, и только ячейки, находящиеся на границе S внесут вклад в поверхностный интеграл.

Теорема Стокса

является обобщением уравнения (6) для конечных поверхностей. Она утверждает, что

где C – замкнутая кривая и S – любая поверхность, ограниченная этой кривой. U и ее первые производные должны быть непрерывны всюду на S и C .